名?！稄?qiáng)基計(jì)劃》初升高銜接講義（上）TOC\o"1-3"\h\u第一講代數(shù)式 21.知識要點(diǎn) 22.例題精講 23.習(xí)題鞏固 34.自招鏈接 45.參考答案 4第二講方程 131.知識要點(diǎn) 132.例題精講 143.習(xí)題鞏固 154.自招鏈接 155.參考答案 16第三講函數(shù) 291.知識要點(diǎn) 292.例題精講 293.習(xí)題鞏固 314.自招鏈接 325.參考答案 33第四講不等式 441.知識要點(diǎn) 442.例題精講 443.習(xí)題鞏固 454.自招鏈接 465.參考答案 46第五講圓 551.知識要點(diǎn) 552.例題精講 553.習(xí)題鞏固 584.自招鏈接 605.參考答案 61第六講幾何證明 741.知識要點(diǎn) 742.例題精講 743.習(xí)題鞏固 764.自招鏈接 775.參考答案 78第一講代數(shù)式1.知識要點(diǎn)代數(shù)式包括在整個(gè)初中我們學(xué)習(xí)的整式、分式、根式等相關(guān)內(nèi)容.在自招中所占的比例較大，無論在填空還是在解答晚上再中都可以找到代數(shù)式的身影.首先我們來看一下代數(shù)式章節(jié)幾個(gè)重要的公式（以下列舉課本中未涉及的公式）：，，，，，.2.例題精講若，，，求的值得．已知，求、的值．若，則的值是______．計(jì)算．已知、、是實(shí)數(shù).若、、之和恰等于1，求證：這三個(gè)分?jǐn)?shù)的值有兩個(gè)為1，一個(gè)為－1.設(shè)，其中、、、為常數(shù).若，，.試計(jì)算.對于所有的正整數(shù)，定義.若正整數(shù)滿足，則的最大值為______．求所有的三元有序整數(shù)組使得為正整數(shù).3.習(xí)題鞏固因式分解.因式分解.已知是方程的一根，求的值.若為正整數(shù)，且是的約數(shù)，求的所有可能值總和.若，求的值.計(jì)算.（1）若實(shí)數(shù)使得，求的值；（2）若實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，求證：一定是無理數(shù).已知實(shí)數(shù)、、滿足，求的值.已知，求證.已知.求.4.自招鏈接求的最小值.我們學(xué)過等差數(shù)列的求各公式，請利用，推導(dǎo)的公式.5.參考答案例題精講對于這樣的題目，第一次就直接代入是很不應(yīng)該的，我們先書寫公式：，然后把，，代入，得.這樣的題目在自招的試卷中出現(xiàn)的次數(shù)也是非常的多，應(yīng)熟練選用合適的公式.熟用完全平方公式（注意符號）：，所以.熟用立方差公式（注意符號）：.在自招試卷中下面這個(gè)公式非常重要：設(shè)，，，則.又，故.從而可知，.故 .在自招試卷中，算式中出現(xiàn)省略號的話，我們一般把通項(xiàng)寫出來，然后進(jìn)行變形，從而找出規(guī)律..所以，原式.由題設(shè)，且，即則，，，，.所以或者或者中，必有一個(gè)成立.不妨設(shè)，則將，，分別代入三個(gè)分式，可得三個(gè)分式的值分別為1、1、－1.對于數(shù)字規(guī)律明顯的試題，可以考慮使用因式定理來進(jìn)行化簡.因式定理：如果多項(xiàng)式能被整除，即是的一個(gè)因式，那么.反之，如果，那么是的一個(gè)因式.通過因式定理的推導(dǎo)，可判斷.所以.將具體的數(shù)字代入原不等式得：，通項(xiàng).原不等式化簡得：.當(dāng)你做到這一步的時(shí)候，可以嘗試對每一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算：，發(fā)現(xiàn)左右有相同的數(shù)字，那是因?yàn)?，所以，不等式或以化簡為，得：最大值?4.先證明引理（此引理曾單獨(dú)在自招試卷中出現(xiàn)）：若、、、均為有理數(shù)，則、、為有理數(shù).證明如下：設(shè)，所以，，則，，為有理數(shù)，同理、均為有理數(shù).由引理得、、為有理數(shù).設(shè)，，（分子分母互質(zhì)且為正整數(shù)）.因?yàn)椋?，同理，從而?分情況討論，不妨設(shè).（1），（，，）=（3，3，3），（2，3，6），（2，4，4）逐個(gè)代入，通過奇偶分析，可得當(dāng)（，，）=（2，4，4）時(shí)，有整數(shù)解：解得（2），（，，）=（1，2，2），通過奇偶分析無整數(shù)解.（3），（，，）=（1，1，1），通過奇偶分析無整數(shù)解.所以，滿足題目條件的為（4030，4030，28210），（4030，28210，4030），（28210，4030，4030）三組.習(xí)題鞏固..由于，則，又，所以，.為整數(shù)，則為整數(shù)，，2，4，8，16，取值總和為46.若，則，，故.若，則（等比性質(zhì)），故有，從而可知.原式.（1）（2）將平方：，又故，因此為無理數(shù)（無理數(shù)的證明請參考七年級第二學(xué)期課本閱讀材料）..，顯然，可得.,即，故，則，故.等式兩邊同時(shí)除以，可得，進(jìn)而，則，故，從而.故，展開并化簡，可得，即，從而.故.，，所以 自招鏈接根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道的最小值在時(shí)取得.，，分別求出最小值的取值范圍，可得時(shí)取的最小值，最小值為8.雖然有很多同學(xué)知道這個(gè)公式最后的答案為，我們先把可以利用的公式寫出來看看：.上面的式子中我們發(fā)現(xiàn)了需要推導(dǎo)的，那么下面就是尋找，我們可以把公式變?yōu)?然后依次類推：.我們把所有的式子相加：左邊，右邊，化簡得，所以.第二講方程1.知識要點(diǎn)一、代數(shù)方程分類：①整式方程；②分式方程；③無理方程.二、解方程的基本思想：①化分式方程為整式方程；②化高次方程為一次或二次方程；③化多元為一元；④化無理方程為有理方程.總之，最后轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程.三、解方程的基本方法：①解整式方程：一般采用消元（加減消元、代入消元、因式分解消元、換元法消元等），降次（換元降次、因式分解降次、輔助式降次等）等方法.②解分式方程：一般采用去分母，換元法，重組法，兩邊夾等方法.③解無理方程：一般采用兩邊平方，根式的定義、性質(zhì)、換元，幾何構(gòu)造，構(gòu)造三角函數(shù).四、二次方程中的韋達(dá)定理：我們一般在初二的時(shí)候?qū)W習(xí)韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理可以解決很多根與系數(shù)方面的問題，韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）若一元二次方程的兩根為、，則，.各位同學(xué)，還記得推導(dǎo)過程嗎？證法一：（求根公式推導(dǎo)）一元二次方程的求根公式是.則，.證法二：（待定系數(shù)法）若一元二次方程的兩根為、，那么方程可以表示為系數(shù)一一對應(yīng)，就可以得到，.2.例題精講已知關(guān)于的方程有無窮多個(gè)解，那么、值應(yīng)分別為__________.方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是__________.求方程全部相異實(shí)根.解方程組設(shè)、為方程的兩個(gè)實(shí)根，求的最大值與最小值.若為正整數(shù)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相異正整數(shù)根，求的值.關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值.關(guān)于的方程的四根成等差數(shù)列，求方程的解.若那么，的值為__________.設(shè)、、分別為的三邊，求證：關(guān)于的二次方程無實(shí)根.解無理方程：.3.習(xí)題鞏固方程的正整數(shù)解共有多少對？解方程組：求所有正實(shí)數(shù)，使得方程僅有整數(shù)根.是否存在質(zhì)數(shù)、，使得關(guān)于的一元二次方程有有理數(shù)根？求所有有理數(shù)，使得方程的所有根為整數(shù).設(shè)方程的根、也是方程的根，試求整數(shù)、的值.設(shè)與為方程的兩個(gè)實(shí)根，與為方程的兩個(gè)實(shí)根.求證：.設(shè)、、是方程的三個(gè)根，求的值.已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出所有可能的的值.已知方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值.已知關(guān)于的二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求負(fù)整數(shù)的值.4.自招鏈接若方程有4個(gè)非零實(shí)數(shù)根，且它們的數(shù)軸上對應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)等距離排列，求的值.解方程組5.參考答案例題精講因?yàn)殛P(guān)于的方程，即有無窮多個(gè)解.所以可得當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得（舍去），所以方程無解；當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得為任意實(shí)數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得（舍去），所以方程無解.綜上所述，原方程的解為；那么實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是無數(shù)個(gè).設(shè)，則原方程化為，則 ，即 ，即 ，可得 或.因此有 ，或 .則 或.因此 或，可得 或或.所以，原方程的根為，，，，.原方程組化為令，則 ，得 由分別減去、、得 ，得 由分別除以、、得 所以，解得. 所以原方程組的解為因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，所以，可得.由韋達(dá)定理，得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.原方程變形、因式分解為，.即，.由為正整數(shù)得1，2，3，5，11；由為正整數(shù)得2，3，4，7.所以2，3使得、同時(shí)為正整數(shù)，但當(dāng)時(shí)，，與題目不符，所以只有為所求.一元二次方程的整數(shù)解的典型難題，由根為整數(shù)無法得知實(shí)數(shù)是否為整數(shù)，解題的基本思路是消去實(shí)數(shù)，得到關(guān)于整數(shù)解、的典型方程.由可知，，故，.（由題意可知，且）因?yàn)?，，于是有，，兩式相減可得，，則.故，從而可知，或或或又且，故或或故，，.注：得出，后，直接有，；，，，由于上述兩個(gè)等式是同時(shí)成立的，故這樣的只能取，.此法不嚴(yán)密，如果是整數(shù)，此法可用，如果不是，就不能用.首先我們推導(dǎo)一下四次方程的韋達(dá)定理.設(shè)4個(gè)根分別為：、、、，則有，展開：，，，根據(jù)韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）有：為項(xiàng)的系數(shù)；為項(xiàng)的系數(shù)；為項(xiàng)的系數(shù)；為常數(shù)項(xiàng).下面我們來解答這道試題.根據(jù)題意，設(shè)根為，，，，那么根據(jù)推導(dǎo)的韋達(dá)定理有：；（項(xiàng)根與系數(shù)的關(guān)系）；（常數(shù)項(xiàng)根與系數(shù)的關(guān)系）上面兩個(gè)式子化簡，得，即，代入第二個(gè)式子得，則，即，可知或（舍）.又，所以，從而，.故原方程的解為，，，.注：有興趣的同學(xué)可以嘗試求出、.已知條件的結(jié)構(gòu)特征，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的方程，則、、、是關(guān)于的方程的根.將化為整式方程，得.由一元次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得.所以.關(guān)于的二次方程的判別式為.因?yàn)樵谌切沃袃蛇呏痛笥诘谌叄?，，，所以，?因?yàn)?，所?所以關(guān)于的二次方程無實(shí)根.（法一）設(shè)，，原方程化為，因?yàn)?，又因?yàn)?，所?所以、是二次方程的兩個(gè)根，而，或；所以或所以或.經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的根.（法二）原方程化為.設(shè)，，所以原方程化為.因?yàn)?，所以，即，，，，解得或；?jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的根.習(xí)題鞏固本題利用因式分解比較復(fù)雜，不易得出，注意到的最高次數(shù)是一次，用來表示，題目迎刃而解..由、均為正整數(shù)，可得，5，401，2005.所以方程共有四對正整數(shù)解.得，即，，或.（1）當(dāng)時(shí)，，代入②和③，得由④－⑤得，，解得或.若，代入④，得，，或.所以，或，若，則代入①，得，無實(shí)數(shù)解.（2）當(dāng)時(shí)，，代入②和③，得，.由⑥－⑦得，，解得或.若，代入⑥，得，，或.所以或16，18，25本題雖然形式上是有理數(shù)根的問題，但是因?yàn)椤⒍际钦麛?shù)，則也為整數(shù)，要求方程有有理數(shù)根，那么為平方數(shù)，和例題3、例題4的本質(zhì)相同.令，其中是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，則.由于，且與同奇偶，故同為偶數(shù).因此，有如下幾種可能情形：消去，解得，，，，.對于第1、3種情形，，從而，對于第2、5種情形，，從而（不合題意，舍去），對于第4種情形，是合數(shù)（不合題意，舍去）.又當(dāng)，時(shí)，方程為，它的根為，，它們都是有理數(shù).綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù).首先對和進(jìn)行討論.時(shí).原方程是關(guān)于的一次方程，時(shí)，原方程是關(guān)于的二次方程，由于是有理數(shù)，處理起來有些困難，這時(shí)用直接求根或判別式來做，均不能奏效.可用韋達(dá)定理，先把這個(gè)有理數(shù)消去.當(dāng)時(shí)，原方程為，所以.當(dāng)時(shí)，原方程是關(guān)于的一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為、，且，則消去得或即或所以或1.綜上所述，當(dāng)，0，1時(shí)，方程的所有根都是整數(shù).因?yàn)?、是方程的兩個(gè)根，，所以由韋達(dá)定理，得，，，從而，因?yàn)?、是方程的根，所?因?yàn)椋杂身f達(dá)定理，得，，，因?yàn)椋?，又因?yàn)榕c為方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，即，所以，，所以.因?yàn)槿畏匠虥]有項(xiàng)，所以它的所有根之和為0，即..故.由于為方程的根，故.對和也有同樣的式子，所以.故.因此.典型的方程整數(shù)解問題，注意充分利用是質(zhì)數(shù)這個(gè)條件.由于這個(gè)整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，所以是完全平方數(shù)，從而是完全平方數(shù).令，是整數(shù)，則.所以，，即或.若，令，則，由于是質(zhì)數(shù)，故，，此時(shí)方程為，，滿足條件.若，令，則，故，此時(shí)方程為，，滿足條件.綜上所述，所求的質(zhì)數(shù)為3或7.原方程整理為.設(shè)、為方程的兩個(gè)整數(shù)根，由韋達(dá)定理，，所以，為整數(shù).所以、均為整數(shù)，所以，所以.或.自招鏈接（法一）令，則原方程為，整理的，則由求根公式和題意得，所以四個(gè)非零實(shí)數(shù)根分別為，，，.由題意它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)等距離排列，所以得到，化簡得.（法二）由題意，4個(gè)非零實(shí)數(shù)根在數(shù)軸上對應(yīng)的4個(gè)等距點(diǎn)中有兩對關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可令，即，于是有解得.原方程組變?yōu)?即可得，即，當(dāng)時(shí)，原方程組變?yōu)榻獾猛?，?dāng)時(shí)，有第三講函數(shù)1.知識要點(diǎn)函數(shù)是初高中之間重要的橋梁，除了大家熟悉的一模二模考試中的考題外，函數(shù)還與不等式、方程有著一定的聯(lián)系，做這類題目的一般步驟為：畫圖，確定范圍，列出不等式（或等式），求解.一元二次不等式的解集：二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個(gè)不等的實(shí)根x1、x2有兩個(gè)相等的實(shí)根無實(shí)根的解集或一切實(shí)數(shù)的解集無解無解如果在區(qū)間（a，b）上有，則至少存在一個(gè)，使得.此定理即為區(qū)間根定理，又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時(shí)候會發(fā)揮巨大的威力.2.例題精講對于每個(gè)x，函數(shù)y是，，這三個(gè)函數(shù)的最小值.則函數(shù)y的最大值是.已知拋物線與雙曲線有三個(gè)交點(diǎn)、、.則不等式的解集為.已知函數(shù)且使成立的x的值恰好有三個(gè)，則k的值為.求的最小值.若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（－1，0），則的值的變化范圍是（）.（A） （B）（C） （D）（1）畫出的函數(shù)圖象；（2）根據(jù)圖象求出方程的解.已知二次函數(shù)（其中a、b、c為整數(shù)且a≠0），對一切實(shí)數(shù)x恒有，求此二次函數(shù)的解析式.若拋物線與連結(jié)兩點(diǎn)M（0，1）、N（2，3）的線段MN（包括M、N兩點(diǎn)）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.已知a、b、c為正整數(shù)，且拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求的最小值.二次函數(shù)，，，求M的最小值.二次函數(shù)滿足：（1）；（2）對任意實(shí)數(shù)x有成立，求.問同時(shí)滿足條件：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）的二次函數(shù)是否存在？證明你的結(jié)論.已知，求證：.已知.（1）若有實(shí)根，求證：也有實(shí)數(shù)根；（2）若無實(shí)數(shù)根，求證：也無實(shí)數(shù)根.3.習(xí)題鞏固求函數(shù)的最大值.若對任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.求函數(shù)（2016層絕對值符號）與x軸圍成的閉合圖形的面積.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，，，求的取值范圍.求證：對一切實(shí)數(shù)a，方程至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)滿足，.求的取值范圍.若方程有一根小于，其余三根都大于，求m的取值范圍.二次函數(shù)，若時(shí)，，求m、n、k應(yīng)滿足的條件.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求a、b.已知，且，.求證：有一根x0，滿足.已知滿足6a、2b、、d均為整數(shù)，求證：對任意的整數(shù)x，均取整數(shù)值.二次函數(shù)滿足時(shí)，求的解析式.二次函數(shù)滿足，，求的最小值.求所有的二次函數(shù)，a、b為實(shí)數(shù)，且存在三個(gè)取自1，2，3，…，9的不同整數(shù)m、n、p，使得.試求實(shí)數(shù)a、b使得拋物線、與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，且相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.4.自招鏈接德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)該函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)有如下四個(gè)命題：①；②對任意恒有成立；③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，對任意的恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)、、，使得△ABC為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）.A.1 B.2 C.3 D.4如圖，該函數(shù)由分段的線性函數(shù)組合而成，由于形狀像很多頂帽子，被稱為“Euclid帽子函數(shù)”.在數(shù)學(xué)、工程等領(lǐng)域的插值問題中有很高的應(yīng)用價(jià)值.（1）試寫出其函數(shù)表達(dá)式；（2）求二次函數(shù)與“Euclid帽子函數(shù)”的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）試構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，使其與“Euclid帽子函數(shù)”有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在和之間.5.參考答案在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出y1、y2、y3的圖象，進(jìn)而可得函數(shù)y的圖象，易知，當(dāng)時(shí)，y有最大值.兩曲線的圖象如圖3-2，若，則，此時(shí)，.若，則，此時(shí)，由圖象知.綜上，不等式的解集為或.如圖3-3，觀察圖象易知，直線y=3與函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即k=3時(shí)，使y=k成立的x的值恰好有三個(gè)交點(diǎn)..幾何意義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（5，0）的距離之和.原題即求：拋物線上的點(diǎn)P到與的距離之和最短是多少？易知.先來常規(guī)代數(shù)法.將（0，1）和代入得：，，則化為.頂點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限.解不等式組：得，代入，得.答案：D.除了以上的做法，選擇題我們還可以畫圖象（如圖3-4）來解決.點(diǎn)E在點(diǎn)D、F之間.由對稱軸的位置可知點(diǎn)D在點(diǎn)B的左邊，那么E點(diǎn)位置也應(yīng)在B點(diǎn)左側(cè)；二次函數(shù)拋物線是曲線，從C點(diǎn)開始彎下去了，那么E點(diǎn)當(dāng)然在F點(diǎn)下方，同學(xué)們可以畫一畫極端情況：相信你能發(fā)現(xiàn)0與2只能無限接近卻無法達(dá)到.我們先來體會一下絕對值在函數(shù)圖象中的表現(xiàn).如圖3-5，比較一下與，圖中虛線部分為，加了絕對值之后時(shí)的圖象就變?yōu)閷?shí)線部分，滿足絕對值的意義，函數(shù)值為負(fù)的部分翻折上去變成正的了.接著我們考慮：，這個(gè)大家都知道，是將向下平移3個(gè)單位，那么又會出現(xiàn)函數(shù)值為負(fù)的部分，所以得繼續(xù)將負(fù)數(shù)部分翻折上去，如圖3-6.重復(fù)剛才的過程兩次：將向下平移3個(gè)單位，再把負(fù)數(shù)部分翻折上去，得到；再向下平移3個(gè)單位，把負(fù)數(shù)部分翻折上去，得到，如圖3-7.（2）有了作圖的經(jīng)驗(yàn)，我們可以輕松畫出，將兩函數(shù)圖象放一起，交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為所求方程的解，我們還是來看圖象（圖3-8）：兩函數(shù)圖象分別為實(shí)線和虛線，構(gòu)成了很多等腰直角三角形，交點(diǎn)橫坐標(biāo)一目了然.答案：.對一切實(shí)數(shù)x恒成立，由②得：.令，則為開口向下且與x軸至多只有一個(gè)公共點(diǎn)的拋物線或?yàn)椴辉趚軸上方的常值函數(shù)，又由①得，則或.先討論簡單的：當(dāng)時(shí)，常值函數(shù)，則，.由①得，即恒成立.由，得，矛盾.所以這種情況不存在.當(dāng)時(shí)，..由①得，即恒成立.則.結(jié)合③④，發(fā)現(xiàn)：，所以，即，得.若，則c無整數(shù)解；若，則.所以，，，，二次函數(shù)解析式為.線段MN的函數(shù)解析式為.于是，原問題等價(jià)于方程在0—2之間有兩個(gè)不同的實(shí)根.整理，得.令.要使得在0—2之間內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)根，不僅要考慮端點(diǎn)，還要考慮判別式和對稱軸，則有解得.令，依題意，得：由①得；由③得..因?yàn)椋瑒t.所以，.從而，.故.因此，.取，得，.符合條件，因此，的最小值為11.由已知得：，，所以所以.又當(dāng)時(shí)，，故M的最小值是.設(shè).由（1）知，所以.由（2）知，所以，即，所以.從而.又因?yàn)?，即對任意x成立，故，從而，得，則.假設(shè)存在滿足條件的二次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，則矛盾.所以不存在.若，不等式顯然成立.若，令則.又二次項(xiàng)系數(shù)，所以拋物線與x軸有交點(diǎn).故，即.（1）若x0是的實(shí)數(shù)根，則，即是的實(shí)數(shù)根.（2）若無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，對于一切實(shí)數(shù)都成立，，所以無實(shí)數(shù)根.同理當(dāng)時(shí)，對于一切實(shí)數(shù)都成立，所以無實(shí)數(shù)根.習(xí)題鞏固注意到表示點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之差的絕對值，則，于是，y最大值為，此時(shí)，.可分類討論.當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，.由恒成立得.另解：數(shù)形結(jié)合，只不過這次“形”用的是函數(shù)圖象.設(shè)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，滿足恒成立，易見的斜率a的取值范圍為.只有一層絕對值時(shí)，其面積為0，有兩層絕對值時(shí)，其面積為1……有k層絕對值時(shí)，其面積為.那么2016層絕對值，其面積為2015.由已知得則a、b是是方程的兩根且.所以故.又，則.設(shè)，則，.由至少有一個(gè)實(shí)根.由，.令，則有兩個(gè)正根.一根小于1，另一根大于4..又，所以且.，對稱軸.（1）當(dāng)時(shí)，則.（2）當(dāng)時(shí)，則（舍去）.（3）當(dāng)時(shí)，則或（舍去）.綜上：或.設(shè)，由已知可得.故（1）若，則，即，.（2）若，則.若，則，.若，則，.綜上，有一根x0滿足..因?yàn)?a、2b、、d均為整數(shù)，對任意的整數(shù)x，有、為整數(shù)，故對任意的整數(shù)x，均取整數(shù)值.由已知得，，則， ①， ② ③由①+2②+③得，所以每個(gè)等號都成立，故.由已知，則，令，則.當(dāng)時(shí)等號成立，所以最小值為3.或或或

.設(shè)與分別與x軸交于、；、，.因?yàn)閮蓲佄锞€有交點(diǎn)，所以由圖象可知，即.不妨設(shè)，故，.可知兩拋物線交點(diǎn)在第四象限，由圖象可知：，則，且.所以或（舍）.綜上，結(jié)合對稱性得或.自招鏈接這算考查函數(shù)思想的閱讀理解題了吧，別怕，我們好歹學(xué)過一點(diǎn)函數(shù)知識，基本思想還是具備的，一個(gè)個(gè)來看.命題①錯(cuò)：或0，為有理數(shù)，則，矛盾.命題②對：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，也為有理數(shù)，；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，也為無理數(shù)，.命題③對：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，也為有理數(shù)，；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，也為無理數(shù)，.命題④對：由于、、只能取0或1，要構(gòu)成三角形就不能同時(shí)取0，或同時(shí)取1，不妨設(shè)，則x1、x2為無理數(shù)，x3為有理數(shù)，作圖看看能否構(gòu)造；x3隨便取個(gè)有理數(shù)即可.答案：C（1）容易想到的就是寫成分段函數(shù)：（n為整數(shù)）.也可以寫成一個(gè)表達(dá)式，注意到圖象中這段，恰好是，可以利用高斯函數(shù)達(dá)到目的：，其是[x]表示不大于x的最大整數(shù).或者根據(jù)前面例題總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，寫成這樣的形式：（偶數(shù)個(gè)絕對值）.（2）求交點(diǎn)，先考慮圖象法，圖象法比較直觀，但無法精確求值，如圖：由圖象知：時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)沒有交點(diǎn).注意：當(dāng)a接近最高點(diǎn)的時(shí)候，需要驗(yàn)證一下這條直線（不含端點(diǎn)）和二次函數(shù)一定沒有交點(diǎn).（3）.第四講不等式1.知識要點(diǎn)不等式章節(jié)是一個(gè)相對綜合的章節(jié)，會與方程、函數(shù)相結(jié)合進(jìn)行考核.一般的題型為，解不等式，證明不等式，求最大值和最小值等.在這個(gè)章節(jié)中我們要學(xué)習(xí)一些在初中能力范圍內(nèi)可以接受的重要不等式.不等式（a、b為實(shí)數(shù)）是不等式中最基本最重要的一個(gè)，它有許多變形，如：，，，，.不等式或可以被推廣，例如由于有恒等式：，即知當(dāng)a、b、c均為正實(shí)數(shù)時(shí)必有：.或把a(bǔ)、b、c代以、、則可有：.2.例題精講已知n、k均為正整數(shù)，且滿足不等式．若對于某一給定的n，只有唯一的一個(gè)k使不等式成立，求所有符合要求的中的最大數(shù)和最小數(shù)．已知x、y、z為非負(fù)數(shù)，且滿足，．求的最大值和最小值．甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)每人有31個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365個(gè)．問：三個(gè)小組共有多少名同學(xué)？若不等式有解，求的取值范圍．關(guān)于x的不等式的解包含了不等式，求a的取值范圍．解不等式．已知直線過點(diǎn)，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，當(dāng)面積最小時(shí)，求k與b的值．如果并且，則的最大值為______．在的邊、、上分別取點(diǎn)D、E、F，試證在、、中至少有一個(gè)面積不大于．設(shè)，，…，為不同的正整數(shù)，求證：．證明：．（柯西不等式二元形式）若（x、y、z為實(shí)數(shù)），求的最小值．（利用柯西不等式）3.習(xí)題鞏固已知關(guān)于x的不等式組．（1）若不等式組無正整數(shù)解，求a的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式組的解集中恰含了3個(gè)正整數(shù)解．代數(shù)式的最小值為多少？設(shè)a、b是正整數(shù)，且滿足，，求的值．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程．在坐標(biāo)系平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，試在二次函數(shù)的圖象上找出滿足的所有整點(diǎn)，并說明理由．證明：（1）；（2）．已知x、y、z為正實(shí)數(shù)且，試證明：．證明：．設(shè)，證明：．已知，，求證：．已知，且，證明：．設(shè)，，證明：．4.自招鏈接如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1、2、3，那么，適合這個(gè)不等式組的整數(shù)對共有多少對？下凸函數(shù)的定義：恒成立，則稱為正凸函數(shù)．已知為下凸函數(shù)，對于． ①（1）當(dāng)時(shí)，求證①式．（2）當(dāng)時(shí)，求證①式．5.參考答案因?yàn)椋?，即，可寫成．因?yàn)閷τ诮o定的n、k值是唯一的，所以，從而，．當(dāng)時(shí)，代入得，是唯一解，所以n的最大值是84．又由，顯然．當(dāng)時(shí)，代入，得，k沒有整數(shù)解．當(dāng)時(shí)，代入，得，k也無正整數(shù)解．當(dāng)，11，12時(shí)，代入，均無k整數(shù)解．當(dāng)時(shí)，代入，得有唯一整數(shù)解，符合要求．所以是滿足條件的最小值．綜上所述，n的最大值是84，n的最小值是13．把含三個(gè)未知數(shù)的方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于y和z的二元方程組，根據(jù)x、y、z為非負(fù)數(shù)來確定x的取值范圍，w全用x表示，從而求得w的最大值和最小值．由，解得．因?yàn)閤、y、z均為非負(fù)數(shù)，所以，，，于是．解得，所以．由得，所以，w的最大值是（當(dāng)，，時(shí)取到），w的最小值是（當(dāng)，，時(shí)取到）．方法一：設(shè)甲組同學(xué)a人，乙組同學(xué)b人，丙組同學(xué)c人，由題意得，怎樣解三元一次不定方程？運(yùn)用放縮法，從求出的取值范圍入手．因?yàn)?，得，所以．因?yàn)?，得，所以，因此?3．當(dāng)時(shí)，得，此方程無正整數(shù)解，故，所以．故，三個(gè)小組共有12名同學(xué)．方法二：三組的核桃總數(shù)是365個(gè)（聯(lián)想一年是365天），甲組同學(xué)每人有28個(gè)（聯(lián)想一年只有2月份有28天），乙組同學(xué)每人有30個(gè)（聯(lián)想一年只有4、6、9、11月，一共4個(gè)月），丙組同學(xué)每人有31個(gè)（聯(lián)想一年只有1、3、5、7、8、10、12月，一共7個(gè)月）．所以，三個(gè)小組共有名同學(xué)．方法一：可以通過零點(diǎn)分段法，解得．方法二：可以利用絕對值的幾何意義．因?yàn)?、分別表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)和3的距離，所以表示數(shù)軸上的某個(gè)點(diǎn)到和3的距離和，無論怎么移動(dòng)，某個(gè)點(diǎn)到和3的距離和為4，所以．由已知，得，．當(dāng)時(shí)，解集是任意解，包含．當(dāng)時(shí)，，要包含，則必有，解得．當(dāng)時(shí)，，不能包含．所以或．原不等式．所以原不等式的解集是或．在因式分解前，為增強(qiáng)直觀性，可將分子、分母最高項(xiàng)的系數(shù)都化為正數(shù)，然后再進(jìn)行因式分解，否則比較容易出錯(cuò)．另外，如圖4-1最后求解可以用數(shù)軸標(biāo)根穿線法，原則是“奇穿偶不過”，即因式的指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，畫線時(shí)讓線穿過去；當(dāng)因式的指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，穿線讓曲線與x軸相切．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，．所以直線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)．因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．所以當(dāng)面積的最小值為4時(shí)，，．式子比較復(fù)雜，觀察發(fā)現(xiàn)可以約分，先化簡：原式．第二個(gè)分式直接就有最大值，就是不知道能否取到，先放著，我們來研究第一個(gè)分式：分子分母都存在變量，無法判斷最值，用分式的性質(zhì)．第一個(gè)分式的分子分母同時(shí)除以：原式．想到基本不等式，則原式．其實(shí)我們還可以利用萬能的判別式法：設(shè)，化為一元二次方程：．算出判別式：，即，則．所以，原式，當(dāng)時(shí)，等號成立，所以最大值為．回想起鳥頭定理，可以得出這三個(gè)三角形的面積和原三角形面積之比，然后進(jìn)行分析．如圖4-2所示，設(shè)，，，，，．因?yàn)椋碛?，，于是．由此即知本題結(jié)論正確．，，…，．又因，，…，為不同的正整數(shù)，于是不妨設(shè)，故有，，…，，從而，，…，，即有，所以由，可得．證法一：，等號當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)成立．證法二：若，則原式正確．現(xiàn)設(shè)，考慮二次三項(xiàng)式：成立，故應(yīng)有，此式與原式等價(jià)．，其中等號僅當(dāng)或者時(shí)取到，故最小值為．習(xí)題鞏固解不等式組得，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為．（1）顯然時(shí)，均不合題意．當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，得，所以原不等式組無正整數(shù)解時(shí)，a的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，不等式組的解集中均有無數(shù)個(gè)正整數(shù)解．當(dāng)時(shí)，依題意得，解之得．所以當(dāng)時(shí)，原不等式組的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解．原式．用換元的思想 原式．的基本模型．原式．當(dāng)，時(shí)，原式取到最小值為6．因?yàn)椋琣、b是正整數(shù)，所以．因?yàn)椋?，，所以．因?yàn)閎是正整數(shù)，所以或．當(dāng)時(shí)，由，得，不存在這樣的整數(shù)a．當(dāng)時(shí)，由，得，由于a是整數(shù)，因此．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)確實(shí)滿足已知條件．所以，，所以．根據(jù)平均值不等式，有，，．故．上式中，前一個(gè)等號，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)取到，第二個(gè)等號當(dāng)且僅當(dāng)x、y、z為三個(gè)正數(shù)或者兩負(fù)一正時(shí)取得，故得解為：，，，．由，得，即．（1）當(dāng)時(shí)，，解得．對于這個(gè)范圍內(nèi)的x的整數(shù)值，當(dāng)，4，7，9時(shí)，相應(yīng)的y均為整數(shù)值，此時(shí)滿足條件的整點(diǎn)有、、、．（2）當(dāng)時(shí)，，解得．對于這個(gè)范圍內(nèi)的x的整數(shù)值，當(dāng)，時(shí)，相應(yīng)的y均為整數(shù)值，此時(shí)滿足條件的整點(diǎn)有、．故滿足條件的整點(diǎn)共有以上6個(gè)．（1）．（2）．利用可有：．反復(fù)運(yùn)用，即．．利用柯西不等式得．．由已知，即有，或者，易證命題成立．自招鏈接不等式組解得．因?yàn)閤只能取三個(gè)整數(shù)，2，3．故m只能取這7個(gè)數(shù)，n只能取這6個(gè)數(shù)．所以一共對．（1）當(dāng)時(shí)，即證：．不妨設(shè)，則．．（2）當(dāng)時(shí)，留給讀者思考．第五講圓1.知識要點(diǎn)在自招考試中，對于拓展Ⅱ教材中的知識點(diǎn)必須掌握．處理圓中比例線段的問題，通常用到圓冪定理．圓冪定理是初中幾何中最重要的定理之一．相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．相交弦定理：圓的弦相交于圓內(nèi)的一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)內(nèi)分（分點(diǎn)在線段內(nèi)）成的兩條線段長的乘積相等．即如圖5-1所示，有．切割線定理：圓的弦延長相交于圓外一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)外分（分點(diǎn)在線段的延長線上）成的兩線段長的乘積相等，并且等于這點(diǎn)到圓的切線長的平方．即如圖5-2所示，有．2.例題精講如圖5-3，是的切線．從的中點(diǎn)作割線，分別交于點(diǎn)、，連結(jié)、，分別交于點(diǎn)、．求證：．如圖5-4，四邊形內(nèi)接于以為直徑的半圓，且，、的延長線相交于點(diǎn)．，，已知，求的長已知為等腰底邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作半圓與兩腰相切于點(diǎn)、，過半圓上任一點(diǎn)作半圓的切線，分別交、于點(diǎn)、，求的值．如圖5-7，正中與平行的中位線和的外接圓弧交于，和交于點(diǎn)，求．如圖5-9，過的頂點(diǎn)、分別作其外接圓的切線、交于點(diǎn)，連結(jié)分別交的邊及其外接圓于點(diǎn)、．求證：．如圖5-10，的弦，垂足為，以為一邊作正方形，點(diǎn)在上．若的半徑等于10，弦的弦心距為5，求正方形的邊長．如圖5-12，甲、乙兩名滑冰運(yùn)動(dòng)員分別在圓形滑冰場的點(diǎn)、處，，，且，乙以的速度從點(diǎn)沿著圓形滑冰場邊順時(shí)針方向滑行，在乙離開點(diǎn)的同時(shí)，甲以的速度也從點(diǎn)沿著一條直線滑行，這條直線能使甲、乙在給定的速度下最早相遇．則最早相遇的時(shí)間在（）內(nèi)．A． B． C． D．如圖5-14，與外切于點(diǎn)，、的半徑分別為2、1，為的切線，為的直徑，分別交、于點(diǎn)、．求的值．如圖5-16，已知是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，于點(diǎn)，半圓、分別以、為直徑，、均與半圓內(nèi)切，亦與相切，并分別與半圓、相外切．若、的面積之和為，則的值為多少？3.習(xí)題鞏固已知四邊形內(nèi)接于直徑為3的圓，對角線和的交點(diǎn)是，是直徑，，且，求四邊形的周長．如圖，已知圓的直徑上有兩定點(diǎn)、和圓心等距離，是圓周上任意一點(diǎn)，連結(jié)、分別延長交圓于點(diǎn)、，求證：是定．如圖，在以為圓心的兩個(gè)同心圓中，、是大圓上任意兩點(diǎn)，過、作小圓的割線和．求證：．如圖，已知的弦、相交于點(diǎn)，，，，切于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)，，求的長．在中，已知，，，為內(nèi)角平分線，以為弦作一圓與相切，且與、分別交于點(diǎn)、，求的．如圖所示，若，，與交于點(diǎn)，且，，求．兩個(gè)角的邊交于點(diǎn)、、、．已知，這兩個(gè)角的平分線互相垂直，證明：點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓．如圖所示，如果凸五邊形中，且．求證：．如圖所示，在銳角中，，垂足為點(diǎn)；，垂足為點(diǎn)；，垂足為點(diǎn)．若點(diǎn)為的外心，求證：．如圖所示，的外接圓半徑為，，垂足為點(diǎn)；，垂足為點(diǎn)；，垂足為點(diǎn)．求證：．如圖，在箏形中，，，的平分線交于點(diǎn)．已知、、、四點(diǎn)共圓．則的度數(shù)是多少？如圖，已知與相離，自點(diǎn)向作切線、（、為切點(diǎn)）分別交于點(diǎn)、；自點(diǎn)向作切線、（、為切點(diǎn)）分別交于點(diǎn)、．假定、兩點(diǎn)在連心線的同側(cè)．求證：．4.自招鏈接如圖所示，在梯形中，，，，，且，求的長．如圖，切于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，弦，的延長線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，是的中點(diǎn)．已知，．求的長．5.參考答案因?yàn)槭堑那芯€，是的切線，是的割線，所以．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，即．又因?yàn)?，所以∽．所以．因?yàn)?，則，所以，所以．注意到，所以∽，因此只需求出與半徑之間的關(guān)系．因?yàn)?，所以所對的圓心角等于所對的圓周角，即．利用平行線分線段成比例以及圓冪定理可以聯(lián)立解得與半徑之比．如圖5-5，連結(jié)、．設(shè)半徑為．因?yàn)榈?，所以，所以．設(shè)，則．所以．由切割線定理有：，即．所以，所以．所以．因?yàn)椋?，所以∽．所以．又因?yàn)?，所以．如圖5-6，連結(jié)、、、、．由切線的性質(zhì)得，，，且由切線長定理得，，所以，，，所以．因?yàn)?，所以，所以∽．所以，即，所以．如圖5-8，設(shè)、分別為、中點(diǎn)，兩端延長，交圓于點(diǎn)，，易見．設(shè)，．則由相交弦定理有，解得．由，知，，，于是．因?yàn)?、是的切線，所以∽，∽．故，．又，則，即．由于∽，∽，從而，，．兩式相乘得．所以，．如圖5-11，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連結(jié)、．易知，，．不妨設(shè)正方形的邊長為，則．由相交弦定理得，即， ①又． ②將式②代入式①并化簡整理得．因?yàn)椋?，所以，正方形的邊長為．答案：C如圖5-13，射線、分別交于點(diǎn)、．在上依次取點(diǎn)、．、分別交于點(diǎn)、，過點(diǎn)分別作弦、的垂線，垂足分別為、．設(shè)交于點(diǎn)．則．故． ①由相交弦定理知．則．顯然，，．故． ②①＋②得．由點(diǎn)、的任意性得．設(shè)甲、乙最早相遇的時(shí)間為．此時(shí)，乙的位置為點(diǎn)．設(shè)的中點(diǎn)為．由，得．則乙至少滑行了．又，故乙在時(shí)間時(shí)已滑過了點(diǎn)．則．于是，．因此，乙至少滑行了．由，知乙在時(shí)間時(shí)已滑過了點(diǎn)．又，故甲沿直線滑到弧上任一點(diǎn)（除點(diǎn)外）所用時(shí)間小于．從而，．所以，答案為．如圖5-15，連結(jié)，則過點(diǎn)．連結(jié)并延長交于點(diǎn)．因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，為的重心．又過點(diǎn)，則，且為的中點(diǎn)．由，知．即．又四邊形為圓內(nèi)接四邊形，則．故∽．由，有．令．則．又，故．解得．所以，，．則．如圖5-17，設(shè)、、、、的半徑分別為、、、、，與切于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)、、．易知，四邊形是矩形，則．故．在和中，，即．故．同理，．由題設(shè)知．則．故．習(xí)題鞏固如圖，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，，易證∽，則，故，．又．故，．而，即．所以．又，即，所以．而，，，所以．又，所以．故四邊形的周長為．連結(jié)，本題中、是定點(diǎn)，由相交弦定理是定值，是定值，又因?yàn)椤⒃谝粋€(gè)三角形內(nèi)，滿足一定的數(shù)量關(guān)系，故取、為變參量．設(shè)，，圓半徑為（常量），（常量）．根據(jù)相交弦定理得．所以．同理可證．在中，是上中線，且，所以定值．設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，由圓冪定理得．因?yàn)橄?、交于點(diǎn)，所以由相交弦定理得．因?yàn)?，，，所以．因?yàn)闉榍芯€，由切割線定理得：．因?yàn)?，所以，（舍去），所以．如圖，連結(jié)．由，得．則∽．易知，．又，因此，．以為圓心，以為半徑作圓，則該圓過、，且在圓上．延長交圓于另一點(diǎn)．由相交弦定理知．依題意，，，是的外心，所以，因?yàn)?，所以，．又與是對頂角，因此，是的外角．所以．于是，所以、、、四點(diǎn)共圓．如圖，連結(jié)．因?yàn)椋ㄒ阎?，所以、、、四點(diǎn)共圓，故，又有、、、四點(diǎn)共圓．于是．在與中，因?yàn)椋ㄒ阎ㄒ炎C），且三角形內(nèi)角和為，所以．說明其實(shí)，當(dāng)證得、、、也四點(diǎn)共圓之后，推得：．如圖，延長交于點(diǎn)，連結(jié)．由“雙垂直模型”可知，而由、、、四點(diǎn)共圓可知，由、、、四點(diǎn)共圓可知，從而，故得證．由“雙垂直模型”可知，而由、、、四點(diǎn)共圓可知，從而．由∽可知（注意到是、、、的直徑即可），從而．如圖，連結(jié)交于點(diǎn)．設(shè)、交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)．易知在線段上．連結(jié)、．由、、、四點(diǎn)共圓知．由，知，則．又，則、、、四點(diǎn)共圓．由，知．所以，．從而，，即．因此，．證法一：如圖，連結(jié)、、、、．因?yàn)榍杏邳c(diǎn)，切于點(diǎn)，所以．于是，、、、四點(diǎn)共圓．因此，，．在等腰與中，易知．所以，、、、四點(diǎn)共圓．于是，．從而，．同理，．故．證法二：如圖，過、分別向連心線引垂線，垂足分別為、，連結(jié)、．由，得∽．同理，∽．由，，知，所以，，同理，．故．自招鏈接如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連結(jié)、、．設(shè)與交于點(diǎn)．由，知點(diǎn)、到的距離相等．則．設(shè)，．由，得．故、、、四點(diǎn)共圓．由，得．故．又∽．故．由角平分線的性質(zhì)得．又因?yàn)?，所以，，．于是，由，解得．故．如圖，延長、交于點(diǎn)．易知是半圓．連結(jié)，則是的直徑．由，≌．又，則．由得．于是，．由切割線定理得．由勾股定理得．易知∽．所以，．于是，，即．第六講幾何證明1.知識要點(diǎn)幾何證明一般考查：（1）證明線段數(shù)量關(guān)系；（2）證明角數(shù)量關(guān)系；（3）證明線段位置關(guān)系.需要掌握，全等三角形判定，特殊四邊形定義與性質(zhì)，中位線性質(zhì)等.輔助線方面：中線倍長，旋轉(zhuǎn)思想，平行線與垂線等均有出現(xiàn).2.例題精講如圖6-1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交AD延長線于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)G.求證：.如圖6-3，把△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使頂點(diǎn)A變成A'，B變成B'.求證：△OAB'中AB'邊上的中線與△OA'B中A'B邊上的高共線.如圖6-5，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA、CB到點(diǎn)E、F，使，過點(diǎn)E、F分別作CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P.求證：.已知AD是△ABC的高（在形內(nèi)）.給出下列四個(gè)條件：①；②；③；④.一定能得到的有______個(gè).（A）1 （B）2（C）3 （D）4在△ABC中，已知，∠C=60°.分別以AB、BC、CA為邊向形外作三個(gè)正三角形，即△ABC'、△BCA'、△CAB'.問S△ABC與S△ABC'、S△BCA'、S△CAB'之間存在怎樣的關(guān)系式？請你作出判斷并加以證明.設(shè)△ABC的三邊長為，，.若，，則△ABC是什么特殊三角形？如圖6-10，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，，求證：.設(shè)a、b、c為銳角△ABC的三邊長，ha、hb、hc.為對應(yīng)邊上的三條高.求證：已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過O引三條邊的平行線DE∥BC，F(xiàn)G//CA，HI//AB，D、E、F、G、H、I為各邊上的點(diǎn)（如圖6-11），記S2為六邊形DGHEFI的面積，S2為△ABC的面積.證明：..已知△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)O、I分別是△ABC的外心、內(nèi)心，且.求證：.3.習(xí)題鞏固如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，，E為邊AB上一點(diǎn)，，且.連結(jié)DE與對角線AC交于點(diǎn)H，連結(jié)BH.給出下列結(jié)論：①；②△CDE為等邊三角形；③④其中，正確的結(jié)論是（）.（A）①② （B）①②④ （C）③④ （D）①②③④如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是三條高AD、BE、CF的垂足，連結(jié)DE、EF、FD，求證：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)、E分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于點(diǎn)M、N.求證：.如圖，過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，再過P作圓的一條割線分別與圓交于點(diǎn)C、D，過AB上任一點(diǎn)Q作PA的平行線分別與直線AC、AD交于點(diǎn)E、F.證明：.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD交于點(diǎn)O.則與的大小關(guān)系是________（填“相等”或“不相等”）.如圖，已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，對角線AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心.求證：（1）OI是△IBD外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.如圖，已知O1和O2交于P、Q兩點(diǎn)，過PQ上任意一點(diǎn)M作