第10章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)振動(dòng)的傳播就是波.機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波,水波和聲波都屬于機(jī)械波.但是,并不是所有的波都依靠介質(zhì)傳播,光波、無線電波可以在真空中傳播,它們屬于另一類波—電磁波.微觀粒子也具有波動(dòng)性,這種波稱為物質(zhì)波或德布羅意波.各類波雖然其本源不同,但都具有波動(dòng)的共同特性,并遵從相似的規(guī)律.我們就從機(jī)械波開始討論.1§10.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件當(dāng)用手拿著繩子的一端并作上下振動(dòng)時(shí),繩子將形成一個(gè)接著一個(gè)的凸起和凹陷,并由近及遠(yuǎn)地沿著繩子傳播開去,這一個(gè)接著一個(gè)的凸起和凹陷沿繩子的傳播,就是一種波動(dòng).顯然,繩子上的這種波動(dòng),是由于繩子上手拿著的那一點(diǎn)上下振動(dòng)所引起的,對(duì)于波動(dòng)而言,這一點(diǎn)就稱為波源.繩子就是傳播這種振動(dòng)的彈性介質(zhì)。我們可以把繩子看作一維的彈性介質(zhì),組成這種介質(zhì)的各質(zhì)點(diǎn)之間都以彈性力相聯(lián)系,一旦某質(zhì)點(diǎn)離開其平衡位置,則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)與鄰近質(zhì)點(diǎn)之間必然產(chǎn)生彈性力的2作用,此彈性力既迫使這個(gè)質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置,同時(shí)也迫使鄰近質(zhì)點(diǎn)偏離其平衡位置而參與振動(dòng).另外,組成彈性介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)都具有一定的慣性,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在彈性力的作用下返回平衡位置時(shí),質(zhì)點(diǎn)不可能突然停止在平衡位置上,而要越過平衡位置繼續(xù)運(yùn)動(dòng).所以說,彈性介質(zhì)的彈性和慣性決定了機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播過程.說明：1）在波的傳播過程中,雖然波形沿介質(zhì)由近及遠(yuǎn)地傳播著,而參與波動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)并沒有隨之遠(yuǎn)離,只是在自己的平衡位置附近振動(dòng).所以,波動(dòng)是介質(zhì)整體所表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；32）彈性介質(zhì)是產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的必要條件,而對(duì)于其他類型的波并不一定需要這個(gè)條件；3）在波的傳播過程中，伴隨著振動(dòng)能量的傳播。4二、橫波和縱波在波動(dòng)中,如果參與波動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直,這種波稱為橫波；如果參與波動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向相平行,這種波稱為縱波.上述繩波就是橫波。橫波有波峰和波谷?？v波：如一根水平懸掛的長彈簧,在其一端用手壓縮或拉伸一下,使其端部沿彈簧的長度方向振動(dòng).由于彈簧各部分之間彈性力的作用,端部的振動(dòng)帶動(dòng)了其相鄰部分的振動(dòng),而相鄰部分又帶動(dòng)它附近部分的振動(dòng),因而彈簧各部分將相繼振動(dòng)起來，從而形成縱波。5彈簧上的縱波波形不再像繩子上的橫波波形那樣表現(xiàn)為繩子的凸起和凹陷,而表現(xiàn)為彈簧圈的稠密和稀疏,如圖10.1所示.圖中彈簧圈的振動(dòng)方向與波的傳播方向相平行.對(duì)于縱波,除了質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向平行于波的傳播方向這一點(diǎn)與橫波不同外,其他性質(zhì)與橫波無根本性的差異,所以對(duì)橫波的討論也適用于縱波,對(duì)縱波的討論也適用于橫波.圖10.16說明：1）有的波既不是純粹的縱波,也不是純粹的橫波,如液體的表面波.當(dāng)波通過液體表面時(shí),該處液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的,既有與波的傳播方向相垂直的方向上的運(yùn)動(dòng),也有與波的傳播方向相平行的方向上的運(yùn)動(dòng).這種運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性,是由于液面上液體質(zhì)點(diǎn)受到重力和表面張力共同作用的結(jié)果.2)介質(zhì)的彈性和慣性決定了機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播過程。彈性介質(zhì)，無論是氣體、液體還是固體,其質(zhì)點(diǎn)都具有慣性。至于彈性,對(duì)于流體和固體卻有不同的情形.固體的彈性,既表現(xiàn)在當(dāng)固體發(fā)生長變(或體變)7時(shí)能夠產(chǎn)生相應(yīng)的壓應(yīng)力和張應(yīng)力,也表現(xiàn)在當(dāng)固體發(fā)生剪切時(shí)能夠產(chǎn)生相應(yīng)的剪應(yīng)力。所以,在固體中,無論質(zhì)點(diǎn)之間相對(duì)疏遠(yuǎn)或靠近,還是相鄰兩層介質(zhì)之間發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng),都能產(chǎn)生相應(yīng)的彈性力使質(zhì)點(diǎn)返回其平衡位置.這樣,固體既能夠形成和傳播縱波,也能夠形成和傳播橫波.流體的彈性只表現(xiàn)在當(dāng)流體發(fā)生體變時(shí)能夠產(chǎn)生相應(yīng)的壓應(yīng)力和張應(yīng)力,而當(dāng)流體發(fā)生剪切時(shí)卻不能產(chǎn)生相應(yīng)的剪應(yīng)力.這樣,流體只能形成和傳播縱波,而不能形成和傳播橫波.8三、波射線和波振面波射線和波振面都是為了形象地描述波在空間的傳播而引入的概念。從波源沿各傳播方向所畫的帶箭頭的線,稱為波射線,用以表示波的傳播路徑和傳播方向。波在傳播過程中,所有振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面,稱為波振面。波振面有不同的形狀.波在傳播過程中波振面有無窮多個(gè).在各向同性的均勻介質(zhì)中,波射線與波振面相垂直.球面波平面波圖10.29四、描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量波速u：是單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)傳播的距離.波速也就是波面向前推進(jìn)的速率波長λ：波在傳播過程中,沿同一波射線上相位差為2π的兩個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必定相同,它們之間的距離為一個(gè)波長.（橫波、縱波的情況下）周期T：一個(gè)完整的波（即一個(gè)波長的波）通過波射線上某點(diǎn)所需要的時(shí)間頻率v：頻率表示在單位時(shí)間內(nèi)通過波線上某點(diǎn)的完整波的數(shù)目.是描述波的四個(gè)重要物理量.10在固體中橫波的波速為：B定義為流體發(fā)生單位體變需要增加的壓強(qiáng),即固體材料的剪切模量固體材料的密度縱波在固體中的傳播速率為固體材料的楊氏模量在流體中只能形成和傳播縱波,其傳播速率可以表示為流體的體變模量負(fù)號(hào)是由于當(dāng)壓強(qiáng)增大時(shí)體積縮小。11可以看出，波在彈性介質(zhì)中的傳播速率決定于彈性介質(zhì)的彈性和慣性,彈性模量是介質(zhì)彈性的反映,密度則是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)慣性的反映.說明：對(duì)確定介質(zhì)（u恒定），波長λ與v成反比；對(duì)于確定的波源(v或T恒定),λ與u成正比(與介質(zhì)有關(guān))作業(yè)(P153):10.10根據(jù)波速、波長、波的周期和頻率的上述定義,我們不難想象,每經(jīng)過一個(gè)周期,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)完成一次全振動(dòng),同時(shí)振動(dòng)狀態(tài)沿波射線向前傳播了一個(gè)波長的距離；在1s內(nèi),質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)了v

次,振動(dòng)狀態(tài)沿波射線向前傳播了v

個(gè)波長的距離,即波速,所以12§10.2平面簡諧波一般情況下的波是很復(fù)雜的,但存在一種最簡單也是最基本的波,這就是當(dāng)波源作簡諧振動(dòng)時(shí),所引起的介質(zhì)各點(diǎn)也作簡諧振動(dòng)而形成的波,這種波稱為簡諧波.任何一種復(fù)雜的波都可以表示為若干不同頻率、不同振幅的簡諧波的合成.波振面為平面的簡諧波稱為平面簡諧波.以下所討論的就是這種波.13一、平面簡諧波的波函數(shù)假設(shè)在各向同性的均勻介質(zhì)中沿x軸方向無吸收地傳播著一列平面簡諧波,在波射線上取一點(diǎn)0作為坐標(biāo)原點(diǎn),該波射線就是x軸.假設(shè)在t時(shí)刻處于原點(diǎn)0的質(zhì)點(diǎn)的位移可以表示為現(xiàn)在來考察距0為x的點(diǎn)P的振動(dòng)位移。振動(dòng)沿著x軸方向傳播,每傳到一處,那里的質(zhì)點(diǎn)將以同樣的振幅和頻率重復(fù)著原點(diǎn)0的振動(dòng).只是相位落后。P處質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于0點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)相位落后了于是點(diǎn)P的振動(dòng)應(yīng)寫為14上式就是沿x軸正方向傳播的平面簡諧波的表示式,稱為平面簡諧波波函數(shù).由ω、v、T、λ和u諸量之間的關(guān)系,平面簡諧波波函數(shù)還可以表示成另一些形式,如15討論：在簡諧波波函數(shù)中,包含了兩個(gè)自變量,即x和t.1）當(dāng)x一定時(shí),就是對(duì)于波射線上一個(gè)確定點(diǎn),位移y是t的余弦函數(shù),它表示了該確定點(diǎn)作簡諧振動(dòng)的情形.2）當(dāng)t一定時(shí),即對(duì)于某一確定瞬間,位移y是x的余弦函數(shù),它表示了在該瞬間介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移分布.3）當(dāng)選擇一定的y值時(shí),式表示了x與t的函數(shù)關(guān)系.例如,在t時(shí)刻,x處質(zhì)點(diǎn)的位移為y',經(jīng)過了Δt時(shí)間,位移y'出現(xiàn)在x+△x處,由式可得16這表示,振動(dòng)狀態(tài)y'以波速u沿波的傳播方向移動(dòng).于是可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)x和t都在變化時(shí),波動(dòng)方程式表示整個(gè)波形以波速u沿波射線傳播,這就是行波.4）波動(dòng)方程式中x前的負(fù)號(hào)表示距離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的地方,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位越落后,因而表示波是沿x軸正方向傳播的.假如波是沿x軸負(fù)方向傳播的,考察點(diǎn)P的振動(dòng)相位比坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)相位超前,式中的負(fù)號(hào)就應(yīng)改為正號(hào).波動(dòng)方程式其他表示式中也是如此.5）另外,上面在推導(dǎo)平面簡諧波波函數(shù)時(shí),為簡便起見,假定坐標(biāo)原點(diǎn)的初相位為零,而在一般情況下坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)應(yīng)寫為17注意：該復(fù)數(shù)的實(shí)部才是我們關(guān)心的平面簡諧波波函數(shù).6）與簡諧振動(dòng)可以用復(fù)數(shù)表示一樣,平面簡諧波波函數(shù)也可用復(fù)數(shù)來表示例10.1以y=0.04cos2.5πtm的形式作簡諧振動(dòng)的波源,在某種介質(zhì)中激發(fā)了平面簡諧波,并以100m/s的速率傳播.1)寫出此平面簡諧波的波函數(shù)；2)求在波源起振后1.0s、距波源20m處質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度.解：1)取波的傳播方向?yàn)閤軸的正方向,波源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn),這樣平面簡諧波波函數(shù)的一般形式可寫為182）在x=20m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)可表示為在波源起振后1.0s,該處質(zhì)點(diǎn)的位移為該處質(zhì)點(diǎn)的速度為注意：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度與波的傳播速度是兩個(gè)完全不同的概念,不能將它們混淆.該處質(zhì)點(diǎn)的加速度為負(fù)號(hào)表示加速度的方向與位移的正方向相反.19例10.2有一列平面簡諧波,坐標(biāo)原點(diǎn)按照的規(guī)律振動(dòng).已知A=0.10m,T=0.50s,λ=10m,試求解以下問題：1）寫出此平面簡諧波的波函數(shù)；2）求波射線上相距2.5m的兩點(diǎn)的相位差；3）假如t=0時(shí)處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移為y0=0.05m,且向平衡位置運(yùn)動(dòng),求初相位并寫出波函數(shù).解：1）要寫波函數(shù),第一步是建立坐標(biāo)系.既然坐標(biāo)原點(diǎn)已經(jīng)給定,則可以取過坐標(biāo)原點(diǎn)的波射線為x軸,x軸的指向與波射線的方向一致.對(duì)于這樣的選擇,在波函數(shù)中20x前的符號(hào)必定是負(fù)號(hào).第二步就是求出坐標(biāo)為x的質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移.因?yàn)樘幱趚的質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的相位都比處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的相位落后,根據(jù)已知條件得t時(shí)刻x點(diǎn)的相位為這樣,我們就得到下面的波函數(shù)通式212）設(shè)一點(diǎn)的位置在x,與其相距2.5m的另一點(diǎn)的位置在x+2.5m,這兩點(diǎn)的相位差為3）這一問的要求就是根據(jù)所給條件求出φy=0.05m代入坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)方程中,可得Φ的正負(fù)要由t=0時(shí)刻處于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢來決定.已知初始時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的位移為正值,并向平衡位置運(yùn)動(dòng),所以與這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量在初始時(shí)刻處于第一象限,φ應(yīng)取π/3，則22二、波動(dòng)方程及其推導(dǎo)為了從動(dòng)力學(xué)角度研究波的傳播規(guī)律,這里假設(shè)一列平面縱波沿橫截面為S、密度為ρ的均勻直棒無吸收地傳播,取棒沿x軸,并將此波的波函數(shù)一般地表示為在棒上任取一棒元△x,如圖10.3中AB所示.當(dāng)波尚未到達(dá)時(shí),截面A和截面B分別處于x和x+△x的位置.當(dāng)波到達(dá)時(shí),棒元所發(fā)生的形變是長變(或被拉伸,或被壓縮),并且各處的長變不同,截面A圖10.323處的位移為y,截面B處的位移為y+△y,因而分別達(dá)到圖中的A'和B'位置.棒元若被拉伸,則兩端面受到的彈性力分別為f1和f2,如圖12.3所示.于是可以列出棒元的運(yùn)動(dòng)方程棒元原長為△x,當(dāng)波傳到時(shí),棒元的長變?yōu)?y+△y)－y=△y,所以拉伸應(yīng)變?yōu)椤鱵/△x,當(dāng)所取棒元無限縮小時(shí),拉伸應(yīng)變可寫為?y/?x.正如前面所說,當(dāng)波傳到時(shí),各處的拉伸應(yīng)變是不同的,我們把x處的拉伸應(yīng)變記為(?y/?x)x.根據(jù)胡克定律,作用于棒元x處的彈性力f1的大小可以表示為24同樣，x+△x處彈性力的大小為直棒材料的楊氏模量棒元所受合力為縱波的波動(dòng)方程25說明：這個(gè)方程式雖然是從均勻直棒中推出的,但適用于一般的固體彈性介質(zhì).對(duì)于橫波的情形.能夠產(chǎn)生和傳播橫波的彈性介質(zhì)必定是固體,因?yàn)橹挥泄腆w在發(fā)生剪切時(shí)能夠產(chǎn)生剪應(yīng)力.當(dāng)橫波沿橫截面積為S、密度為ρ的均勻直棒無吸收地傳播時(shí),直棒各處將發(fā)生剪切,并且不同位置上剪應(yīng)變的量也不同,因而產(chǎn)生或受到的剪應(yīng)力也不同.圖12.4畫出了棒元△x發(fā)生剪切的示意圖,由圖可見,棒元的剪應(yīng)變可表示為△y/△x.同樣，x和x+△x處所受彈性力的大小應(yīng)分別表示為26棒元所受合力為直棒材料的剪切模量x處的剪應(yīng)變根據(jù)牛頓第二定律,列出該棒元的運(yùn)動(dòng)方程圖10.427由上兩式整理后得橫波的波動(dòng)方程，它適用于能夠傳播橫波的一切介質(zhì).說明：各種可能的縱波波函數(shù)和各種可能的橫波波函數(shù)都適應(yīng)各自的波動(dòng)方程。當(dāng)然平面簡諧波波函數(shù)必定是上兩波動(dòng)方程的解.代入波動(dòng)方程可得：作業(yè)(P153)：10.12，10.1528§10.3波的能量和能流一、波的能量及能量密度當(dāng)波傳播到介質(zhì)中的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)上,這個(gè)質(zhì)點(diǎn)將發(fā)生振動(dòng),因而具有了動(dòng)能；同時(shí)由于該處介質(zhì)發(fā)生彈性形變,因而也就具有了勢能.原來靜止的質(zhì)點(diǎn),動(dòng)能和勢能都為零,由于波的到來,質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng),于是具有了一定的能量.此能量顯然是來自波源.所以,我們可以說,波源的能量隨著波傳播到波所到達(dá)的各處.波源能量隨波動(dòng)的傳播,可以用平面簡諧縱波沿直棒傳播為例加以說明.為此仍然借助于圖10.3所示棒元的情形來討論.波尚未到達(dá)時(shí),截面A和截面B分別29處于x和x+△x的位置.當(dāng)波到達(dá)時(shí),截面A的位移為y,截面B的位移為y+△y,因而分別到達(dá)圖中A'和B'處.如果棒的密度為ρ,截面面積為S,該棒元的質(zhì)量為△m=ρS△x,它所具有的動(dòng)能為圖10.330棒元的原長為△x,當(dāng)波傳到時(shí)棒元的形變?yōu)?y+Δy)－y=Δy,所以應(yīng)變?yōu)榘粼捎谛巫兌a(chǎn)生的彈性力的大小為棒元的勢能可由下式表示31可見,勢能的表示式與動(dòng)能的表示式完全相同,都是時(shí)間的周期函數(shù),并且大小相等,相位相同.這種情況與單個(gè)簡諧振子的情況完全不同.當(dāng)波傳到棒元AB時(shí),棒元的總的機(jī)械能為可見,在行波的傳播過程中,介質(zhì)中給定質(zhì)點(diǎn)的總能量不是常量,而是隨時(shí)間作周期性變化的變量.這表明,介質(zhì)中所有參與波動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)都在不斷地接受來自波源的能量,又不斷把能量釋放出去.在這方面波動(dòng)與振動(dòng)的情況是完全不同的,對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng),總能量是恒定的,因而不傳播能量.而振動(dòng)能量的輻射,實(shí)際上是依靠波動(dòng)把能量傳播出去的.32介質(zhì)中單位體積的波動(dòng)能量,稱為波的能量密度,可以表示為波的能量密度是隨時(shí)間作周期性變化的,通常取其在一個(gè)周期內(nèi)的平均值,這個(gè)平均值稱為平均能量密度.因?yàn)檎液瘮?shù)的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值是1/2,所以波的平均能量密度可以表示為可見，波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方和介質(zhì)密度的乘積成正比.這個(gè)公式雖然是從平面簡諧縱波在棒中的傳播導(dǎo)出的,但是對(duì)于所有機(jī)械波都是適用的.33二、波的能流和能流密度波強(qiáng)能量隨著波的傳播在介質(zhì)中流動(dòng),因而可以引入能流的概念.單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中垂直于波射線的某面積的能量,稱為通過該面積的能流.在介質(zhì)中取垂直于波射線的面積S,則在單位時(shí)間內(nèi)通過S面的能量等于體積uS

內(nèi)的能量,如圖10.5所示.顯然,通過S面的能流是隨時(shí)間作周期性變化的,通常也取其在一個(gè)周期內(nèi)的平均值,這個(gè)平均值稱為通過S面的平均能流,并表示為單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波射線的單位面積的平均能流,稱為能流密度,也稱波強(qiáng)度,表示為圖10.534三、波的吸收前面討論中,我們假設(shè)媒質(zhì)是完全彈性均勻的,波在傳播過程中媒質(zhì)不消耗波的能量,因此波在各點(diǎn)的振幅不變.實(shí)際上,平面波在均勻媒質(zhì)中傳播時(shí),媒質(zhì)總是要吸收波的一部分能量,因此,波的強(qiáng)度和振幅都將逐漸減小,所吸收的能量將轉(zhuǎn)換成其它形式的能量（如媒質(zhì)的內(nèi)能）,這種現(xiàn)象稱為波的吸收.有吸收時(shí),平面波振幅的衰減規(guī)律可用下述方法求出.通過極薄厚度dx的一層媒質(zhì)后,振幅的衰減(－dA)正比于此處的振幅A,也正比于dx,即吸收系數(shù)35由于波強(qiáng)與振幅的平方成正比,所以平面波波強(qiáng)的衰減規(guī)律是作業(yè)(P154)：10.2036§10.4電磁波若在空間某處有一個(gè)電磁振蕩,在這里就有交變的電流或電場,它在自己周圍激發(fā)交變的有旋磁場,后者又在自己周圍激發(fā)有旋電場……交變的有旋電場和有旋磁場互相激發(fā),在空間傳播開來,從而形成電磁波.機(jī)械波和電磁波作為兩種形態(tài)的波,具有相似的規(guī)律,本節(jié)僅討論平面電磁波及與之相關(guān)的一些問題.一、平面電磁波的性質(zhì)在距波源(電偶極子)的距離r很大時(shí)，波振面近似為平面，即平面電磁波。對(duì)于定態(tài)平面電磁波，可推出波函數(shù)為37赫茲偶極振子振蕩的角頻率,也是電磁波的角頻率上兩式是平面電磁波方程可以證明,平面電磁波具有以下性質(zhì)：1）平面電磁波是橫波2）E和H相互垂直，3）電磁波的傳播速度4）E與H同相，振幅比為5）電場能等于磁場能38在遠(yuǎn)離偶極振子處,E和H在每一瞬時(shí)的分布如圖10.6所示.因?yàn)榕紭O振子加有交變電流,E和H都作正弦或余弦的周期性變化,兩者的周期相同圖10.639二、電磁波的能量電磁波所攜帶的電磁能量,稱為輻射能,單位時(shí)間內(nèi),通過垂直于傳播方向的單位面積的輻射能,稱為輻射強(qiáng)度（或能流密度、坡印廷矢量）.在靜電學(xué)和靜磁學(xué)中,我們知道,電場和磁場的能量體密度分別為因?yàn)樯鲜瞿芰渴荅

和H的函數(shù),可知輻射能的傳播速度就是電磁波的傳播速度u,輻射能的傳播方向就是電磁波的傳播方向.設(shè)dA為垂直于電磁波傳播方向的截面積,在介質(zhì)不吸收電磁能量的條件下,在dt

時(shí)40間內(nèi),通過面積dA的輻射能應(yīng)為wdAudt,設(shè)S為單位時(shí)間內(nèi)通過單位垂直面積的輻射能,亦即輻射強(qiáng)度,在量值上為因?yàn)檩椛淠艿膫鞑シ较?、E

的方向及H

的方向三者相互垂直,通常將輻射強(qiáng)度用矢量式表示為41三、電磁波譜我們已經(jīng)知道了電磁波的兩種形態(tài)：一類是用于通訊、廣播和電視范圍的所謂“無線電波”,另一類就是“光波”,它們都具有電磁波的共同性質(zhì).例如在真空中都以u(píng)=c=3×108ms-1的速度傳播,具有橫波性質(zhì)等.但他們的另一些物理性質(zhì)卻具有較大的區(qū)別.例如中、長波能繞過(繞射)高山、房屋,將電臺(tái)的廣播信號(hào)送到收音機(jī)的天線回路中,而光表現(xiàn)為直線傳播(直進(jìn)性).此外,光還能給予我們不同顏色的感覺,例如紅、黃、藍(lán)等等.這些重大的差別來源于它們具有不同的頻率,或者說它們具有不同的波長.42我們知道,波的傳播速度u(對(duì)于真空中的電磁波u=c)與波的頻率f

、波長λ之間滿足關(guān)系u=fλ,而電磁波的傳播速度都是相同的.顯然,頻率高的波長短,頻率低的波長長.電磁波的不同性能來源于不同波長(或頻率),我們按波長(或頻率)的順序把所有電磁波排列起來,稱為電磁波譜,如圖10.8所示.圖10.743無線電波對(duì)我們頗為重要,其波段劃分及其主要用途見表10.1所示.表10.1無線電波波段劃分44為什么不同波長(頻率)的電磁波用途不同？就其傳播特點(diǎn)而言,長波、中波由于它們的波長很長,繞射能力強(qiáng).短波繞射能力小,靠電離層向地面反射來傳播,能傳得很遠(yuǎn).超短波、微波,由于波長短,在空間按直線傳播,并容易被障礙物所反射,所以遠(yuǎn)距離傳播要借助中間站.位于微波和可見光之間的電磁波,給人以熱的感覺,常稱為熱輻射,又由于它位于可見光紅光部分之外,波長長于紅光,又稱紅外線.波長比可見光最短波長(紫光)還短的電磁波,稱為紫外線,紫外線有較強(qiáng)的殺菌本領(lǐng).45波長比紫外線更短的是“X”射線,又稱倫琴射線（1895年倫琴發(fā)現(xiàn)）,X射線穿透能力很強(qiáng).波長比X射線更短的是“γ”射線,它來自宇宙射線或從某些放射性元素衰變過程中自發(fā)地發(fā)射出來.研究γ射線可以幫助我們了解原子核的結(jié)構(gòu).46§10.５惠更斯原理

波的反射、折射和衍射一、惠更斯原理波動(dòng)的起源是波源的振動(dòng),波動(dòng)的傳播是由于媒質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用.如果媒質(zhì)是連續(xù)分布的,媒質(zhì)中任何一點(diǎn)的振動(dòng)將直接引起鄰近各點(diǎn)的振動(dòng),因而在波動(dòng)中任何一點(diǎn)都可看作新的波源.例如,水面上有一任意波動(dòng)傳播,如圖10.9所示,在前進(jìn)中遇到一個(gè)障礙物AB,AB上有一小孔O,小孔的孔徑a與波長λ相比很小,這樣,我們就可以看到,穿圖10.947過小孔的波是圓形的波,與原來的形狀將無關(guān),這說明小孔可以看作是一個(gè)新的波源．惠更斯（Huygens,Christian）總結(jié)了上述現(xiàn)象,與1690年提出,媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn),都可以看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時(shí)刻,這些波的包跡就決定新的波振面.這就是惠更斯原理.說明：原理對(duì)任何波動(dòng)過程都是適用的,不論是機(jī)械波還是電磁波,不論這些波動(dòng)經(jīng)過的媒質(zhì)是均勻的還是非均勻的,只要知道了某一時(shí)刻的波振面,便可根據(jù)這一原理用幾何方法來決定次一時(shí)刻的波振面,因而在廣泛的范圍內(nèi)解決了波的傳播問題.48下面舉例說明惠更斯原理的應(yīng)用.如果已知平面波在某時(shí)刻的波振面,用惠更斯原理也可求出在次一時(shí)刻的波振面,如圖10.10(b)所示...很大的球面波波振面上的一小部分,事實(shí)上可看作平面波振面.例如從太陽射出的球面光波,到達(dá)地面時(shí),就可以看作是平面波.圖10.1049說明：1）當(dāng)波動(dòng)在均勻的各向同性媒質(zhì)中傳播時(shí),用上述作圖法所求得的波振面形狀總是不變的,當(dāng)波在不均勻的或在各向異性的媒質(zhì)中傳播時(shí),在考慮波速可能發(fā)生變化的前提下,同樣可用上述作圖法求出波振面,顯然,這時(shí)波振面的幾何形狀和波的傳播方向都有可能發(fā)生變化.2）應(yīng)該指出,惠更斯原理并沒有說明各個(gè)子波在傳播中對(duì)某一點(diǎn)的振動(dòng)究竟有多少貢獻(xiàn),這將在光學(xué)部分中介紹菲涅耳對(duì)惠更斯原理的補(bǔ)充時(shí),就清楚了.50二、波的反射和折射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)波從一種媒質(zhì)進(jìn)入另一種媒質(zhì)時(shí),部分波將被兩媒質(zhì)交界面反射,這部分波稱為反射波；而另一部分波則透過交界面進(jìn)入另一媒質(zhì),并改變了傳播方向,這部分波稱為折射波.實(shí)驗(yàn)和理論都證明,機(jī)械波和光波都滿足反射和折射定律：1)反射線和折射線都在由入射線與界面法線所組成的同一平面內(nèi).2)反射角(反射線與界面法線的夾角)等于入射角(入射線與界面法線的夾角).3)51下面利用惠更斯原理來證明最后一條定律.如圖10.11所示,OQ為媒質(zhì)Ⅰ(波速為u1)與媒質(zhì)Ⅱ(波速為u2)的交界面.波以入射角i從媒質(zhì)Ⅰ傳播到界面,OA

為此時(shí)的波前.其后,部分波進(jìn)入媒質(zhì)Ⅱ而速度改變?yōu)閡2,另一部分波繼續(xù)在媒質(zhì)Ⅰ中以速度u1傳播.設(shè)波從A點(diǎn)傳播至界面Q點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為τ,則AQ=u1τ；同一時(shí)間,O點(diǎn)的波在媒質(zhì)Ⅱ中傳播至B點(diǎn),OB=u2τ.圖10.1152在界面OQ上各點(diǎn)作出相應(yīng)的次級(jí)子波,并畫出其包跡BQ,即折射波的波前,則垂直它的波射線為折射線,折射角為i’以上兩式相除,即得折射定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為介質(zhì)1的折射率介質(zhì)2相對(duì)1的折射率53三、波的衍射當(dāng)波在傳播過程中遇到障礙物時(shí),其傳播方向繞過障礙物發(fā)生偏折的現(xiàn)象,稱為波的衍射.如圖10.12所示,平面波通過一狹縫后能傳到按直線前進(jìn)所形成的陰影區(qū)域內(nèi),這一現(xiàn)象可用惠更斯原理作出解釋.當(dāng)波振面到達(dá)狹縫時(shí),縫處各點(diǎn)成為子波源,它們發(fā)射的子波的包跡在邊緣處不再是平面,從而使傳播方向偏離原方向而向外延伸,進(jìn)入縫兩側(cè)的陰影區(qū)域。圖10.1254§10.6波的迭加原理、波的干涉和駐波一、波的疊加原理大量實(shí)驗(yàn)表明：兩列或兩列以上的波可以互不影響地同時(shí)通過某一區(qū)域；在相遇區(qū)域內(nèi)共同在某質(zhì)點(diǎn)引起振動(dòng),是各列波單獨(dú)在該質(zhì)點(diǎn)所引起的振動(dòng)的合成.這一規(guī)律稱為波的疊加原理.在我們的日常生活中經(jīng)常可以看到波動(dòng)遵從疊加原理的例子.當(dāng)水面上出現(xiàn)幾個(gè)水面波時(shí),我們可以看到它們總是互不干擾地互相貫穿,然后繼續(xù)按照各自原先的方式傳播；我們能分辨包含在噪雜聲中的熟人的聲音；收音機(jī)的天線通常有許多55頻率不同的信號(hào)同時(shí)通過,然而我們可以接收到其中任一頻率的訊號(hào),并與其他頻率的信號(hào)不存在時(shí)的情形大體相同.也正是由于波動(dòng)遵從疊加原理,我們可以根據(jù)傅立葉分析把一列復(fù)雜的周期波表示為若干個(gè)簡諧波的合成.二、波的干涉現(xiàn)象和規(guī)律波的疊加原理告訴我們,兩列或兩列以上的波相遇時(shí),相遇區(qū)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)應(yīng)是各列波單獨(dú)引起的振動(dòng)的合成.如果兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同并且相位差恒定的波相遇,我們會(huì)觀察到,在交疊56區(qū)域的某些位置上,振動(dòng)始終加強(qiáng),而在另一些位置上,振動(dòng)始終減弱或抵消,這種現(xiàn)象稱為波的干涉.能夠產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波,稱為相干波,它們是頻率相同、振動(dòng)方向相同并且相位差恒定的波,這些條件稱為相干條件.激發(fā)相干波的波源,稱為相干波源.圖10.13中的S1和S2是兩個(gè)相干波源,它們發(fā)出的兩列相干波在空間的點(diǎn)P相遇,點(diǎn)P到S1和S2的距離分別為r1和r2.下面來分析點(diǎn)P的振動(dòng)情形.為了保證相干條件的滿足,我們假設(shè)波源S1圖10.1357和S2的振動(dòng)方向垂直于S1、S2和點(diǎn)P所在的平面.兩個(gè)波源的振動(dòng)為簡諧振動(dòng),即波到達(dá)點(diǎn)P時(shí)的振幅若分別為A1和A2,則到達(dá)點(diǎn)P的兩個(gè)振動(dòng)可寫為波源的振幅波源的初相58兩列相干波在空間任意一點(diǎn)P所引起的兩個(gè)振動(dòng)的相位差是不隨時(shí)間變化的；由它決定的點(diǎn)P的合振動(dòng)的振幅A也是不隨時(shí)間變化的.但它是空間坐標(biāo)的函數(shù)，其值決定了合振動(dòng)振幅的大小在相應(yīng)空間點(diǎn)是加強(qiáng)還是減弱。討論：592).在相位差△φ或波程差δ介于以上兩種情況之間的點(diǎn)上,合振動(dòng)的振幅介于上述振幅最大值和最小值之間.圖10.14是兩個(gè)相位相同的相干波源和發(fā)出的波在空間相遇并發(fā)生干涉的示意圖.圖中實(shí)線表示波峰,虛線表示波谷.在兩波的波峰與波峰相交處或波谷與波谷相交處,合振動(dòng)的振幅為最大；在波峰與波谷相交處,合振動(dòng)的振幅為最小.用水面波可以進(jìn)行波的干涉現(xiàn)象的演示.圖10.1460三、駐波當(dāng)兩列振幅相同的相干波沿同一直線相向傳播時(shí),合成的波是一種波形不隨時(shí)間變化的波,稱為駐波.駐波實(shí)際上是波的干涉的一種特殊情況.我們可以在一根緊張的弦線上觀察到駐波.如圖10.15所示,將弦線的一端系于電動(dòng)音叉的一臂上,弦線的另一端系一砝碼,砝碼通過定滑輪P對(duì)弦線提供一定的張力,調(diào)節(jié)刀口B的位置,就會(huì)在弦線上出現(xiàn)駐波.當(dāng)音叉振動(dòng)時(shí),在弦線上激發(fā)了自左向右傳播的波,此波傳播到固定點(diǎn)B時(shí)被反射,因而在弦線上又出現(xiàn)了一列自右向左傳播的反射波.這兩列波是相干圖10.1561波,必定發(fā)生干涉而形成駐波.當(dāng)駐波出現(xiàn)時(shí),弦線上有些點(diǎn)始終靜止不動(dòng),這些點(diǎn)稱為波節(jié)；有些點(diǎn)的振幅始終最大,這些點(diǎn)稱為波腹.圖10.16（P145）表示兩列同頻率、同振幅的簡諧波分別沿x軸正方向(以鎖線表示)和沿x軸負(fù)方向(以虛線表示)傳播,在不同時(shí)刻的波形以及它們的合成波(以實(shí)線表示),即駐波.由圖可見,波節(jié)（用“·”表示）是始終不動(dòng)的,整個(gè)合成波被波節(jié)分成若干段,每一段的中央是波腹（用“+”表示）.每一段上各點(diǎn)都以相同的相位振動(dòng),而振幅不同,波腹的振幅最大；相鄰兩段上各點(diǎn)的振動(dòng)相位相反.由圖中還可以看到,形成駐波以后,沒有振動(dòng)狀態(tài)或相位的逐點(diǎn)傳播,只有段與段之間的相位突變,這與行波完全不同.62駐波表達(dá)式的推導(dǎo)由刀口B反射的波是一列同頻率、同振幅并自右向左傳播的波,可以表示為根據(jù)疊加原理,合成的波為取x軸沿弦線向右,并把點(diǎn)C取為坐標(biāo)原點(diǎn).這樣,自左向右傳播的波可以表示為63若把上式看作駐波方程,則括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)就是振幅.振幅應(yīng)取絕對(duì)值,所以上式括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)取絕對(duì)值就是振幅.由式可以求得波腹和波節(jié)的位置.波腹是振幅最大的位置,應(yīng)滿足下面的關(guān)系波節(jié)是靜止不動(dòng)的位置,振幅為零,應(yīng)滿足下面的關(guān)系可見,相鄰波腹或相鄰波節(jié)的距離都是半波長.64駐波的能量.當(dāng)駐波形成時(shí),介質(zhì)各點(diǎn)必定同時(shí)達(dá)到最大位移,又同時(shí)通過平衡位置.我們就分析這兩個(gè)狀態(tài)的情形：當(dāng)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)達(dá)到最大位移時(shí),各質(zhì)點(diǎn)的速度為零,即動(dòng)能為零,而介質(zhì)各處卻出現(xiàn)了不同程度的形變,越靠近波節(jié)處形變量越大.所以在此狀態(tài)下,駐波的能量以彈性勢能的形式集中于波節(jié)附近.當(dāng)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置時(shí),各處的形變都隨之消失,彈性勢能為零,而各質(zhì)點(diǎn)的速度都達(dá)到了自身的最大值,以波腹處為最大.所以在這種狀態(tài)下,駐波的能量以動(dòng)能的形式集中于波腹附近.由這兩種狀態(tài)的情形可見一般.于是我們可以得出這樣的結(jié)論：在駐波中,波腹附近的動(dòng)能與波節(jié)附近的勢能之間不斷進(jìn)行著互相轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)移,卻沒有能量的定向傳播.65在圖10.15中,反射點(diǎn)B是固定不動(dòng)的,此處成為駐波的波節(jié),這說明反射波與入射波在點(diǎn)B的相位是相反的.也就是說,入射波在此處轉(zhuǎn)變?yōu)榉瓷洳〞r(shí)產(chǎn)生了π的相位躍變,相當(dāng)于再傳播半個(gè)波長后再發(fā)射,所以在固定點(diǎn)B所產(chǎn)生的π相位躍變,通常稱為半波損失.假若反射點(diǎn)B是自由的,此點(diǎn)將成為駐波的波腹,則反射波與入射波在此處是同相位的,因而不存在半波損失.反射點(diǎn)是形成波節(jié)還是形成波腹，是由波阻抗來決定的.介質(zhì)的波阻抗Z定義為：66可見,波阻抗是反映介質(zhì)性質(zhì)的物理量.如果波被波阻抗較小的介質(zhì)反射回來,反射點(diǎn)形成波腹；如果波被波阻抗較大的介質(zhì)反射回來,反射點(diǎn)形成波節(jié).例10.3在同一介質(zhì)中有兩個(gè)相干波源分別處于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,假設(shè)由它們發(fā)出的平面簡諧波沿從P到Q連線的延長線方向傳播.已知PQ=3.0m.兩波源的頻率ν=100Hz,振幅相等,P的相位比Q的相位超前π/2,介質(zhì)提供的波速u=400m/s.在P、Q連線延長線上Q一側(cè)有一點(diǎn)S,S到Q的距離為r,試寫出兩波源在該點(diǎn)產(chǎn)生的分振動(dòng),并求它們的合成.67解取點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn),取過P、Q和S的直線為x軸,方向向右,如圖10.17所示,與波射線的方向一致.根據(jù)題意,P的振動(dòng)比Q的振動(dòng)超前π/2,適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)零點(diǎn),使φQ=0,同時(shí)根據(jù)已知條件可以求得設(shè)兩波的振幅為A,于是可以寫出P波源和Q波源在點(diǎn)S的分振動(dòng)分別為

圖10.17例10.3示圖68在波射線上任何一點(diǎn),這兩個(gè)振動(dòng)的合成都滿足在同一條直線上兩個(gè)同頻率的簡諧振動(dòng)的合成,合振動(dòng)的振幅決定于兩個(gè)分振動(dòng)在該點(diǎn)的相位差.在點(diǎn)S兩個(gè)分振動(dòng)的相位差為正好滿足干涉相消,即點(diǎn)S靜止不動(dòng).從△φ的表示式中我們還可以看到,△φ與r無關(guān),即無論S處于Q右側(cè)的什么位置上,總是滿足干涉相消的條件的.所以說,在x軸上Q以右的整個(gè)區(qū)域都滿足干涉相消的條件,處于這個(gè)區(qū)域的所有介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)實(shí)際上都是靜止不動(dòng)的.69§10.7多普勒效應(yīng)一、機(jī)械波的多普勒效應(yīng)當(dāng)波源和觀察者都相對(duì)于介質(zhì)靜止時(shí),觀察者所觀測到的波的頻率與波源的振動(dòng)頻率一致.當(dāng)波源和觀察者之一,或兩者以不同速度同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者所觀測到的波的頻率將高于或低于波源的振動(dòng)頻率,這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng).多普勒效應(yīng)在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)?？梢杂龅?例如,當(dāng)火車由遠(yuǎn)處開來時(shí),我們所聽到的汽笛聲高而尖,當(dāng)火車遠(yuǎn)去時(shí)汽笛聲又變得低沉了。下面分析波源和觀察者都相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),發(fā)生在兩者連線上的多普勒效應(yīng)。70觀察者所觀測到的波的頻率,取決于觀察者在單位時(shí)間內(nèi)所觀測到的完整波的數(shù)目,或者說取決于單位時(shí)間內(nèi)通過觀察者的完整波的數(shù)目,即現(xiàn)在假設(shè)波源相對(duì)于介質(zhì)靜止,觀察者以速率V0向著波源運(yùn)動(dòng).這時(shí)觀察者在單位時(shí)間內(nèi)所觀測到的完整波的數(shù)目要比它靜止時(shí)多.在單位時(shí)間內(nèi)他除了觀察到由于波以速率u傳播而通過他的u/λ個(gè)波以外,還觀測到由于他自身以速率V0運(yùn)動(dòng)而通過他的V0/λ個(gè)波.所以觀察者在單位時(shí)間內(nèi)所觀測到的完整波的數(shù)目為波在該介質(zhì)中的傳播速率波長71顯然,當(dāng)觀察者以速率V0離開靜止的波源運(yùn)動(dòng)時(shí),在單位時(shí)間內(nèi)所觀測到的完整波的數(shù)目要比它靜止時(shí)少V0/λ.因此,他所觀測到的完整波的數(shù)目總之,當(dāng)波源相對(duì)于介質(zhì)靜止、觀察者在介質(zhì)中以速率V0運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者所接收到的波的頻率可表示為對(duì)觀察者相對(duì)于介質(zhì)靜止,而波源以速率VS向著觀察者運(yùn)動(dòng).這時(shí)在波源的運(yùn)動(dòng)方向上,向著觀察者一側(cè)波長縮短了,如圖10.18所示.正號(hào)對(duì)應(yīng)于觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)72顯然,當(dāng)波源以速率VS

離開觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者所觀測到的波的頻率應(yīng)為圖中O表示觀察者,S表示波源.在向著觀察者一側(cè),波長比波源靜止時(shí)縮短了VS/v;在背離觀察者一側(cè),波長比波源靜止時(shí)伸長了VS/v.所以到達(dá)觀察者處的波長不再是λ=u/v,而是λ'=(u/v)－(VS/v).這樣,觀察者所觀測到的波的頻率為圖10.1873總之,當(dāng)觀察者相對(duì)于介質(zhì)靜止,而波源在介質(zhì)中以速率VS運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察者所觀測到的波的頻率可以表示為綜合以上兩種情況,觀察者以速率V0、波源以速率VS同時(shí)相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng),觀察者所觀察到的頻率可以表示為式中的符號(hào)是這樣選擇的：分子取正號(hào)、分母取負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于波源和觀察者沿其連線相向運(yùn)動(dòng)；分子取負(fù)號(hào)、分母取正號(hào)對(duì)應(yīng)于波源和觀察者沿其連線相背運(yùn)動(dòng).負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)74以上關(guān)于彈性波多普勒效應(yīng)的頻率改變公式,都是在波源和觀察者的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在沿兩者連線的方