幾何垂直平分線與角平分線綜合練習(xí)在初中幾何學(xué)習(xí)中，垂直平分線與角平分線是兩大核心線段，它們的性質(zhì)在證明線段相等、角度相等，以及解決實際位置問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。本文將通過概念回顧、題型分類解析與綜合練習(xí)，幫助讀者深化對這兩個概念的理解，掌握其綜合應(yīng)用的解題策略。一、核心概念回顧1.垂直平分線（中垂線）定義：經(jīng)過線段中點且垂直于該線段的直線，稱為這條線段的垂直平分線（或中垂線）。性質(zhì)：線段垂直平分線上的任意一點，到這條線段的兩個端點的距離相等（“距離相等”是核心結(jié)論，可用于證明線段相等）。判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（常用于確定點的位置）。2.角平分線定義：從角的頂點出發(fā)，將角分成兩個相等角的射線，稱為這個角的角平分線。性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等（“距離相等”是核心結(jié)論，可用于證明線段相等或距離關(guān)系）。判定：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上（常用于確定角內(nèi)點的位置）。二、題型分類解析題型1：概念辨析與基礎(chǔ)應(yīng)用例題1：下列說法正確的是（）①線段的垂直平分線是直線；②角平分線是射線；③到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；④到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。解析：①正確：垂直平分線是“直線”（包含線段的中垂線所在的直線，而非線段本身）。②正確：角平分線是從頂點出發(fā)的“射線”（而非線段）。③正確：這是垂直平分線的判定定理（點滿足“到兩端距離相等”→點在線的垂直平分線上）。④正確（初中階段默認(rèn)“角的內(nèi)部”）：這是角平分線的判定定理（點滿足“到兩邊距離相等”→點在角的平分線上）。因此答案為①②③④。題型2：單一性質(zhì)的直接應(yīng)用例題2：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，已知△BCE的周長為10，BC=4，求AB的長。解析：由垂直平分線的性質(zhì)，AE=BE（E在AB的垂直平分線上，到A、B距離相等）?！鰾CE的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC（替換BE為AE）。而AE+EC=AC，因此周長=AC+BC=10。已知BC=4，故AC=10-4=6。又AB=AC（等腰三角形），所以AB=6。題型3：雙性質(zhì)綜合應(yīng)用（垂直平分線+角平分線）例題3：如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，DE是AB的垂直平分線（交AB于E，交BC于D），DF⊥AC于F。求證：DF=?DC。解析：1.連接AD（垂直平分線常用輔助線：連接端點與線上點，構(gòu)造等腰三角形）。2.由AB=AC，∠BAC=120°，得∠B=∠C=30°（等腰三角形內(nèi)角和）。3.DE是AB的垂直平分線，故AD=BD（垂直平分線性質(zhì)），∠BAD=∠B=30°（等腰三角形底角相等）。4.計算∠DAC：∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°。5.DF⊥AC，故△DFC是直角三角形（∠DFC=90°）。6.在Rt△DFC中，∠C=30°，根據(jù)“30°角對的直角邊是斜邊的一半”，得DF=?DC。題型4：實際情境建模例題4：某社區(qū)計劃建一個公共活動中心，要求：①到兩條交叉公路（形成∠AOB）的距離相等；②到公路旁兩個小區(qū)A、B的距離相等。如何確定活動中心的位置？解析：條件①：到∠AOB兩邊距離相等的點，在∠AOB的角平分線上（包含內(nèi)角平分線和外角平分線，共2條）。條件②：到A、B距離相等的點，在線段AB的垂直平分線上。因此，活動中心的位置是角平分線與垂直平分線的交點（可能有1~2個交點，需結(jié)合實際位置判斷）。三、綜合練習(xí)題練習(xí)1（基礎(chǔ)綜合）如圖，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D。若AB=3，BC=5，求△ABD的周長。提示：利用垂直平分線性質(zhì)（AD=DC），將△ABD的周長轉(zhuǎn)化為AB+BC。練習(xí)2（角平分線+特殊三角形）∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=2，求PE和OP的長。提示：角平分線性質(zhì)得PE=PD；在Rt△OPD中，∠AOP=30°，利用“30°角對的直角邊是斜邊的一半”求OP。練習(xí)3（垂直平分線+等腰三角形）△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E。求證：BD=?DC。提示：連接AD，利用垂直平分線性質(zhì)（AD=BD）、等腰三角形內(nèi)角和（∠B=∠C=30°），結(jié)合直角三角形性質(zhì)推導(dǎo)。四、解題策略總結(jié)1.性質(zhì)關(guān)聯(lián)：垂直平分線關(guān)注“中點、垂直、距離相等”，角平分線關(guān)注“平分角、距離相等”。兩者的“距離相等”是核心關(guān)聯(lián)點，可通過線段相等建立聯(lián)系。2.輔助線技巧：垂直平分線：連接線段端點與線上點（如例題3中連接AD），構(gòu)造等腰三角形。角平分線：過點作角兩邊的垂線（如例題4中PD、PE），構(gòu)造直角三角形。3.綜合思維：結(jié)合三角形內(nèi)角和、等腰/直角三角形性質(zhì)（如30°角的直角三角形）、全等三角形等知識，將復(fù)雜問題拆解為“單一性質(zhì)應(yīng)用”的組合。通過對垂直平分線與角平分線的概念深化、題型突破與綜合練習(xí)，讀者可逐步掌