專題突破練3解三角形必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2024全國(guó)甲,文12)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,b2=94ac,則sinA+sinC=(A.32 B.2C.72 D.2.(多選題)(2025重慶沙坪壩模擬)某興趣小組準(zhǔn)備對(duì)一座紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測(cè)量,并繪制出測(cè)量方案示意圖如圖,A為紀(jì)念碑的最頂端,B為紀(jì)念碑的基座(B在A的正下方,即AB⊥BC,AB⊥BD),在紀(jì)念碑所在廣場(chǎng)內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取C,D兩點(diǎn),測(cè)得CD的長(zhǎng)為m.興趣小組成員利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠ADB,∠BDC,若已知m,∠ACB,∠BCD,則下列各測(cè)量數(shù)據(jù)中,能計(jì)算出紀(jì)念碑高度AB的是()A.∠ADB B.∠BDC C.∠ADC D.∠ACD3.(多選題)(2025浙江金華二模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足a2+b2c2=433S△ABC,其中S△ABC是△ABC的面積,則下列條件能使△ABC成為銳角三角形的是(A.A=π6 B.a=2,b=C.a=2,c=3 D.b=3,c=24.(10分)(2023新高考Ⅱ,17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為3,D為BC的中點(diǎn),且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB(2)若b2+c2=8,求b,c.5.(13分)(2025山東威海模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+(1)求A;(2)已知M是邊BC上的點(diǎn),AM⊥AB,AM=3,求2b+c的最小值.6.(13分)(2025山東濟(jì)寧二模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a(2cosB)=b(1+cosA).(1)證明:2a=b+c;(2)若△ABC的面積為34bc,證明:△ABC為等邊三角形關(guān)鍵能力提升練7.(13分)(2025江蘇蘇州模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(2a3c)cosB=3bcosC.(1)求角B的大小;(2)若c=3,a+b=2,求△ABC的面積;(3)若a=2,且△ABC為銳角三角形,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.核心素養(yǎng)創(chuàng)新練8.(多選題)(2025江蘇蘇北七市三模)定義:一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”.在△ABC中,BC=1,BC邊上的高等于tanA,以△ABC的各邊為直徑向△ABC外分別作三個(gè)半圓,記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)閃,其直徑為d,則下列選項(xiàng)正確的是()A.AB2+AC2=3B.△ABC面積的最大值為5C.當(dāng)∠ABC=π2時(shí),d=D.d的最大值為6

答案：1.C解析由b2=94ac,得sinAsinC=49sin2B=13,又b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=94ac,所以a2+c2=134ac,即sin2A+sin2C=134sinAsinC=1312,則(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=74,所以sin2.ABC解析由題意,因?yàn)锳B⊥BC,AB⊥BD,且BC∩BD=B,BC?平面BCD,BD?平面BCD,所以AB⊥平面BCD.對(duì)于A,在△ABC,△ABD中,借助直角三角形用AB表示出BC,BD,然后在△BCD中由余弦定理解三角形求得AB,故A正確;對(duì)于B,在△BCD中,根據(jù)m,∠BCD,∠BDC,可利用正弦定理求得BC,再根據(jù)tan∠ACB求得AB,故B正確;對(duì)于C,由∠ACB,∠BCD,借助直角三角形和余弦定理,用AB和CD表示出BC,BD,AC,AD,然后結(jié)合∠ADC在△ACD中利用余弦定理列方程,解方程求得AB,故C正確;對(duì)于D,根據(jù)m,∠ACB,∠BCD,∠ACD四個(gè)條件,無法通過解三角形求得AB,故D錯(cuò)誤.故選ABC.3.BC解析因?yàn)閍2+b2c2=433S△由余弦定理可得2abcosC=433×12absinC,所以tanC=3.因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3.對(duì)于A,當(dāng)A=π6時(shí),B=π2,此時(shí)△ABC是直角三角形,故A不符合題意;對(duì)于B,當(dāng)a=2,b=3時(shí),由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=4+92×2×3×cosπ3=7,所以c=7,所以cosB=4+7-92×2×7>0,所以B為銳角,由b>c>a,所以B>C>A,此時(shí)△ABC是銳角三角形,故B符合題意;對(duì)于C,當(dāng)a=2,c=3時(shí),由余弦定理可得9=b2+42×2×b×cosπ3,解得b=1+6,所以cosB=4+9-(1+6)22×2×3>0,所以B為銳角,由b>c>a,所以B>C>A,此時(shí)△ABC是銳角三角形,故C符合題意;對(duì)于D,當(dāng)b=3,c=2時(shí),由余弦定理可得4=a2+92×3×a×cosπ34.解(1)(方法一正弦定理+余弦定理)由題意可知S△ABC=12acsinB=3,故acsinB=23在△ABD中,有ADsin由∠ADC=π3,得∠ADB=2π3,所以1sinB=csin將②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD22AD·BDcos2π3,即c2=12+222×1×2×-12在△ABD中,cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=(方法二余弦定理)因?yàn)锳D為△ABC的中線,所以S△ABC=2S△ADC=2×12×a2×1×sinπ3在△ADC中,由余弦定理知b2=12+222×1×2×cosπ3=3在△ABD中,c2=AB2=12+222×1×2×cos2π3=在△ABC中,cosB=c2+a2-b22ca=7+16-327(2)(方法一)在△ABC中,由AD=12AB+12AC,得|AD|2=14|AB+AC|2=14由余弦定理得2AB·AC=|AB|2+|AC|2|BC|故|AD|2=14(2|AB|2+2|AC|2|BC|2即AD2=12(b2+c2)14a2,得a=由S△ABC=12bcsinA和b2+c2a2=2bccosA,得S△ABC=14(b2+c2a2)tan得tanA=3<0,故A∈π2,π又因?yàn)镾△ABC=12bcsinA,所以bc=4由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2.(方法二幾何法)過點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H(圖略).在△ABC,△ABD中,由余弦定理得cosB=a2解得a2=2(b2+c2)4.將b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)4中得a=23S△ABC=12BC·AH=12×23AH=3,則又因?yàn)锳D=1,所以點(diǎn)H與點(diǎn)D重合,即AD為邊BC的中垂線,所以b=c=AD2+5.解(1)因?yàn)閎+ca-b=sinA+sinBsinC,所以b+ca-b=a因?yàn)?<A<π,所以A=2(2)由S△ABC=S△ABM+S△ACM可得12bc·32=1即bc=2c+b,可得2b+所以2b+c=(2b+c)(2b+1c)=4+2當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí),等號(hào)成立,所以2b+c的最小值為9.6.證明(1)由正弦定理得sinA(2cosB)=sinB(1+cosA),即2sinAsinAcosB=sinB+sinBcosA,所以2sinA=sinB+sinAcosB+cosAsinB,所以2sinA=sinB+sin(A+B),所以2sinA=sinB+sinC,由正弦定理得2a=b+c.(2)因?yàn)?2bcsinA=34bc,所以sinA=32,因?yàn)?a=b+c,所以易知A為銳角,所以A=π3.由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc,又a=b+c2,代入化簡(jiǎn)得b=c,7.解(1)∵(2a3c)cosB=3bcosC,由正弦定理可得(2sinA3sinC)cosB=3sinBcosC,∴2sinAcosB=3(sinBcosC+cosBsinC)=3sin(B+C)=3sinA,∵A∈(0,π),則sinA>0,∴cosB=32,又B∈(0,π),∴B=(2)∵c=3,a+b=2,由余弦定理b2=a2+c22accosB,得a2+32a×3×32=b2,∴a2+33a=(2a)2,解得a=1,∴S△ABC=12acsin(3)在△ABC中,由正弦定理asinA=b∴b+c=1+2sin(=1+2(=3=3+又△ABC為銳角三角形,∴0<A<π2,0<π-A-π6∴1<1tanA2<3,∴3+1<b+c<23,∴3+3<a+b+c<2+23,故△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(3+38.ABD解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.由三角形的面積公式可得S△ABC=12bcsinA=12tanA,所以cosA=1bc.由余弦定理,得b2+c2a2=2,所以b2+c2=3,故A正確;由S△ABC=12bcsinA=tanA2,又b2+c2=3≥2bc=2cosA,所以cosA≥23,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=62時(shí),等號(hào)成立.所以tanA=1-