數(shù)學(xué)小能手選拔賽2025年強(qiáng)化卷一.選擇題。（共10題）

1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x>2}，則A∩B等于（）

A.{x|1≤x≤2}B.{x|2<x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|x>2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域是（）

A.(0,2)B.(1,3)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.R

3.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=5，a?=13，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.2B.3C.4D.5

4.若向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，則向量a+b的模長(zhǎng)等于（）

A.√10B.√13C.√14D.√15

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的概率是（）

A.1/3B.1/4C.1/2D.2/3

6.已知點(diǎn)P(x,y)在直線y=2x-1上，且滿足x2+y2=5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x可以是（）

A.1B.2C.3D.4

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

8.不等式|x-1|>2的解集是（）

A.{x|x>3}B.{x|x<-1}C.{x|x>3或x<-1}D.{x|-1<x<3}

9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期T等于（）

A.πB.2πC.π/2D.π/4

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(a,-b)B.(-a,b)C.(a,b)D.(-a,-b)

二.填空題（共10題）

1.若f(x)=x2-4x+3，則f(2)的值等于______。

2.不等式3x-7>5的解集為______。

3.在等比數(shù)列{a?}中，已知a?=2，a?=16，則該數(shù)列的公比q等于______。

4.向量u=(1,2)與向量v=(x,1)共線，則x的值為______。

5.執(zhí)行以下程序段：S=0;i=1;Whilei<=5:S=S+i;i=i+1;EndWhile;輸出S的值為______。

6.在△ABC中，若a=3，b=2，C=60°，則c的值為______（結(jié)果保留根號(hào)）。

7.函數(shù)y=|x-1|在區(qū)間[0,3]上的最大值是______，最小值是______。

8.若sinα=1/2，且α為銳角，則cosα的值為______。

9.拋擲兩枚均勻的硬幣，恰好一枚正面向上的概率是______。

10.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是______，半徑r等于______。

三.判斷題。（共5題）

1.0是自然數(shù)，也是整數(shù)。

2.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)。

3.在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則a?+a?=a?+a?。

4.若A是集合B的子集，則集合B中所有的元素也是集合A的元素。

5.函數(shù)y=cos(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)。

四.計(jì)算題（共6題）。

1.解方程：2(x-1)=x+3。

2.化簡(jiǎn)：√18+√50-2√8。

3.計(jì)算極限：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)。

4.在△ABC中，已知a=√3，b=1，C=30°，利用正弦定理求角A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

5.計(jì)算不定積分：∫(x3-2x+1)/xdx。

6.已知直線l?:2x+y-3=0和直線l?:x-2y+4=0，求兩條直線夾角的余弦值。

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為1000元，每件產(chǎn)品的可變成本為50元，售價(jià)為80元。若要實(shí)現(xiàn)月利潤(rùn)2000元，每月至少需要銷售多少件產(chǎn)品？

2.從甲地到乙地有兩條路可走，第一條路全程50公里，第二條路全程40公里。已知騎自行車每小時(shí)行10公里，步行每小時(shí)行5公里。某人從甲地出發(fā)到乙地，先騎自行車x公里，再步行到乙地，共用時(shí)6小時(shí)。求騎自行車的路程x。

3.在一個(gè)底面半徑為3厘米，高為5厘米的圓錐形容器中注入水，水面高度為4厘米。求水的體積。

4.某班級(jí)進(jìn)行籃球投籃比賽，甲同學(xué)每次投籃命中率為0.7，乙同學(xué)每次投籃命中率為0.6。兩人各投籃3次，求兩人恰好命中次數(shù)相同的概率。

5.一艘船在靜水中的速度為20公里/小時(shí)，水流速度為5公里/小時(shí)。船從A港順流航行到B港，再逆流航行回到A港，全程共花了8小時(shí)。求A港到B港的距離。

6.某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，他們平均每天課外閱讀的時(shí)間。得到樣本數(shù)據(jù)如下（單位：分鐘）：20,30,25,40,35,30,25,20,45,40,35,30,25,20,30,35,40,25,30,20,45,35,30,25,40,35,30,20,25,40,35,30,25,20,45,40,35,30,25,20,30,35,40,25,30,20。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間的樣本均值和樣本方差。

六.思考題

1.結(jié)合你所學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，論述函數(shù)單調(diào)性與奇偶性之間的關(guān)系，并舉例說明。

2.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，分別列舉兩個(gè)重要的性質(zhì)，并說明這些性質(zhì)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值。

3.討論向量的線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）在幾何形中的表示及其應(yīng)用，例如在證明幾何問題或計(jì)算幾何量時(shí)的作用。

4.分析概率論中古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系，并說明在哪些實(shí)際問題中可以應(yīng)用這兩種概型進(jìn)行求解。

5.思考微積分中的極限概念是如何描述函數(shù)變化趨勢(shì)的，并解釋極限在解決函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)定義等問題中的基礎(chǔ)作用。

一.選擇題。（共10題）

1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.A8.C9.A10.D

解析：

1.A∩B={x|x∈A且x∈B}，即{x|1≤x≤3且x>2}={x|2<x≤3}，故選B。

2.定義域要求對(duì)數(shù)真數(shù)大于0，即x2-2x+1>0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)，故選C。

3.d=(a?-a?)/4=(13-5)/4=2，故選A。

4.a+b=(3-1,-1+2)=(2,1)，|a+b|=√(22+12)=√5，故選C。

5.偶數(shù)點(diǎn)有3種可能（2，4，6），總點(diǎn)數(shù)6種，概率為3/6=1/2，故選C。

6.將y=2x-1代入x2+y2=5，得x2+(2x-1)2=5，即5x2-4x-4=0，解得x=2或x=-4/5。又點(diǎn)在直線上，需滿足x2+y2=5，檢驗(yàn)x=-4/5時(shí)，y=-13/5，不滿足，故x=2，選B。

7.三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-60°-45°=75°，故選A。

8.|x-1|>2等價(jià)于x-1>2或x-1<-2，解得x>3或x<-1，故選C。

9.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，此處ω=2，故T=2π/2=π，故選A。

10.點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是(-a,-b)，故選D。

二.填空題（共10題）

1.32.x>43.24.-25.156.√77.3,08.√3/29.1/210.(2,-3),√13

解析：

1.f(2)=22-4*2+3=4-8+3=3。

2.3x-7>5?3x>12?x>4。

3.a?=a?*q3?16=2*q3?q3=8?q=2。

4.向量共線?存在λ使u=λv?(1,2)=λ(x,1)?1=λx且2=λ?λ=2且1=2x?x=1/2。此處向量v=(x,1)與u=(1,2)共線，應(yīng)有u=kv?(1,2)=k(x,1)?1=kx且2=k?k=2且1=2x?x=1/2。原題向量v=(x,1)與向量u=(1,2)共線，應(yīng)有u=kv?(1,2)=k(x,1)?1=kx且2=k?k=2且1=2x?x=1/2。

5.S=0+1+2+3+4+5=15。

6.根據(jù)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC?√3/sin60°=1/sin30°=c/sin30°?√3/(√3/2)=1/(1/2)=c/(1/2)?2=c/0.5?c=1。

7.函數(shù)在[0,3]上，y=|x-1|在x=1處取得最小值0，當(dāng)x=3時(shí)取得最大值|3-1|=2。

8.sinα=1/2且α為銳角，則α=30°，cosα=cos30°=√3/2。

9.兩枚硬幣，結(jié)果有(正正，正反，反正，反反)4種，恰好一枚正面向上為(正反，反正)2種，概率為2/4=1/2。

10.圓方程配方：(x-2)2+(y+3)2=22+32-(-3)=4+9+3=16，圓心(2,-3)，半徑r=√16=4。

三.判斷題。（共5題）

1.√2.×3.√4.√5.√

解析：

1.自然數(shù)集包含0，整數(shù)集也包含0，故正確。

2.例如(√2+√3)+(-√2-√3)=0，和為有理數(shù)，故錯(cuò)誤。

3.等差數(shù)列性質(zhì)：若m+n=p+q，則a?+a?=a_p+a_q，故正確。

4.子集定義：A?B?對(duì)任意x∈A，必有x∈B，故正確。

5.y=cos(x)滿足f(-x)=cos(-x)=cos(x)=f(x)，且定義域?yàn)镽，故是偶函數(shù)，正確。

四.計(jì)算題（共6題）。

1.解：2(x-1)=x+3?2x-2=x+3?2x-x=3+2?x=5。

2.解：√18+√50-2√8=3√2+5√2-4√2=4√2。

3.解：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

4.解：根據(jù)正弦定理a/sinA=b/sinB?√3/sinA=1/sin30°?√3/(√3/2)=1/(1/2)?2=sinA/0.5?sinA=1?A=90°。

5.解：∫(x3-2x+1)/xdx=∫(x2-2+1/x)dx=∫x2dx-∫2dx+∫1/xdx=x3/3-2x+ln|x|+C。

6.解：直線l?:2x+y-3=0的斜率k?=-2，直線l?:x-2y+4=0的斜率k?=1/2。兩直線夾角θ的余弦值cosθ=|k?-k?|/(√(k?2+k?2)√(k?2+k?2)|=|(-2)-(1/2)|/(√((-2)2+(1/2)2)√((-2)2+(1/2)2))=|(-4/2)-(1/2)|/(√(4+(1/4))√(4+(1/4)))=|-5/2|/(√(17/4)√(17/4))=5/2/(17/4)=5/2*4/17=10/17。

五.應(yīng)用題。（共6題）

1.解：設(shè)每月銷售x件，利潤(rùn)為L(zhǎng)元。

L=收入-成本=80x-(50x+1000)=30x-1000。

要實(shí)現(xiàn)月利潤(rùn)2000元，即L=2000，

30x-1000=2000

30x=3000

x=100。

答：每月至少需要銷售100件產(chǎn)品。

2.解：騎自行車x公里，用時(shí)x/10小時(shí)，步行(40-x)公里，用時(shí)(40-x)/5小時(shí)。

總時(shí)間：x/10+(40-x)/5=6。

去分母：x/10+2(40-x)/10=6

x+80-2x=60

-x=-20

x=20。

答：騎自行車的路程為20公里。

3.解：圓錐體積V=1/3*底面積*高。

底面半徑r=3，高h(yuǎn)=5，水面高度h'=4。

水的體積V_水=1/3*π*r2*h'=1/3*π*32*4=1/3*π*9*4=12π。

答：水的體積為12π立方厘米。

4.解：甲命中次數(shù)X～B(3,0.7)，乙命中次數(shù)Y～B(3,0.6)。

P(X=k)=C(3,k)*0.7^k*0.3^(3-k)，k=0,1,2,3。

P(Y=k)=C(3,k)*0.6^k*0.4^(3-k)，k=0,1,2,3。

兩人恰好命中次數(shù)相同，即P(X=k)=P(Y=k)，求和：

P(X=Y)=Σ[P(X=k)-P(Y=k)]k=0to3=Σ[C(3,k)*0.7^k*0.3^(3-k)-C(3,k)*0.6^k*0.4^(3-k)]k=0to3

=P(X=0)-P(Y=0)+P(X=1)-P(Y=1)+P(X=2)-P(Y=2)+P(X=3)-P(Y=3)

=[C(3,0)0.7^0*0.3^3-C(3,0)0.6^0*0.4^3]+[C(3,1)0.7^1*0.3^2-C(3,1)0.6^1*0.4^2]+[C(3,2)0.7^2*0.3^1-C(3,2)0.6^2*0.4^1]+[C(3,3)0.7^3*0.3^0-C(3,3)0.6^3*0.4^0]

=[1*1*0.027-1*1*0.064]+[3*0.7*0.09-3*0.6*0.16]+[3*0.49*0.3-3*0.36*0.4]+[1*0.343*1-1*0.216*1]

=0.027-0.064+0.189-0.288+0.147-0.432+0.343-0.216

=(0.027+0.189+0.147+0.343)-(0.064+0.288+0.432+0.216)

=0.664-1.000

=-0.336錯(cuò)誤，重新計(jì)算：

P(X=0)=C(3,0)0.7^0*0.3^3=1*1*0.027=0.027

P(Y=0)=C(3,0)0.6^0*0.4^3=1*1*0.064=0.064

P(X=1)=C(3,1)0.7^1*0.3^2=3*0.7*0.09=0.189

P(Y=1)=C(3,1)0.6^1*0.4^2=3*0.6*0.16=0.288

P(X=2)=C(3,2)0.7^2*0.3^1=3*0.49*0.3=0.441

P(Y=2)=C(3,2)0.6^2*0.4^1=3*0.36*0.4=0.432

P(X=3)=C(3,3)0.7^3*0.3^0=1*0.343*1=0.343

P(Y=3)=C(3,3)0.6^3*0.4^0=1*0.216*1=0.216

P(X=Y)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)

=0.027*0.064+0.189*0.288+0.441*0.432+0.343*0.216

=0.001728+0.054432+0.190512+0.074088

=0.32076

答：概率為0.32076。

5.解：設(shè)A港到B港距離為d公里。

順流速度=20+5=25公里/小時(shí)，逆流速度=20-5=15公里/小時(shí)。

順流時(shí)間=d/25，逆流時(shí)間=d/15。

總時(shí)間：d/25+d/15=8

去分母：3d/75+5d/75=8

8d/75=8

8d=8*75

8d=600

d=600/8

d=75。

答：A港到B港的距離為75公里。

6.解：樣本數(shù)據(jù)：20,30,25,40,35,30,25,20,45,40,35,30,25,20,30,35,40,25,30,20,45,35,30,25,40,35,30,20,25,40,35,30,25,20,30,35,40,25,30,20。

樣本容量n=50。

樣本均值：

Σx?=20+30+...+20=20*10+25*10+30*10+35*5+40*5+45*2=200+250+300+175+200+90=1315

x?=Σx?/n=1315/50=26.3。

樣本方差：

Σ(x?-x?)2=Σ(x?-26.3)2=(20-26.3)2*10+(25-26.3)2*10+(30-26.3)2*10+(35-26.3)2*5+(40-26.3)2*5+(45-26.3)2*2

=(-6.3)2*10+(-1.3)2*10+(3.7)2*10+(8.7)2*5+(13.7)2*5+(18.7)2*2

=39.69*10+1.69*10+13.69*10+75.69*5+187.69*5+349.69*2

=396.9+16.9+136.9+378.45+938.45+699.38

=2566.18

s2=Σ(x?-x?)2/n=2572.18/50=51.4436。

答：樣本均值為26.3，樣本方差為51.4436。

六.思考題

1.答：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性之間有一定關(guān)系。若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則其像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這通常會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間。例如，y=sin(x)是奇函數(shù)，在(0,π)上單調(diào)遞增，在(π,2π)上單調(diào)遞減。若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其像關(guān)于y軸對(duì)稱，這也可能影響單調(diào)性，如y=x2是偶函數(shù)，在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。一般而言，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同。但單調(diào)性與奇偶性沒有必然的包含關(guān)系，很多函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，同時(shí)具有單調(diào)性，如y=x。

2.答：等差數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則a?+a?=a?+a?。應(yīng)用價(jià)值：可用于快速計(jì)算數(shù)列中任意兩項(xiàng)之和，簡(jiǎn)化求和問題。例如，求S??=1+4+7+...+31，可看作等差數(shù)列首項(xiàng)1，公差3，項(xiàng)數(shù)10。利用性質(zhì)，S??=(a?+a??)/2*10=(1+31)/2*10=32*5=160。另一種方法是利用性質(zhì)：S??=(a?+a?)+(a?+a?)+...+(a?+a?)=5(a?+a?)=5a??=5(1+(10-1)*3)=5*31=155。更優(yōu)解法是直接求和公式S?=n/2*(2a?+(n-1)d)=10/2*(2*1+(10-1)*3)=5*(2+27)=5*29=145。但性質(zhì)在證明或涉及特定項(xiàng)時(shí)更便捷。等比數(shù)列性質(zhì)：等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則a?*a?=a?*a?。應(yīng)用價(jià)值：可用于快速計(jì)算數(shù)列中任意兩項(xiàng)之積，常用于涉及乘積的數(shù)列問題或證明。例如，證明等比中項(xiàng)性質(zhì)：若b是a與c的等比中項(xiàng)，則b2=ac?a,b,c成等比數(shù)列。又如，求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)積T?。

3.答：向量加法（平行四邊形法則或三角形法則）可用來(lái)求向量和，幾何上表示位移的疊加或力的合成。例如，求兩力合力。向量減法（a-b=a+(-b)）可用來(lái)求向量差，幾何上表示從終點(diǎn)到起點(diǎn)的向量或位移的抵消。例如，求追及問題中的相