特訓(xùn)11特殊平行四邊形動態(tài)幾何壓軸題

一、解答題

I.如圖1,正方形488的邊長為1,E為邊BC上一點(不與點B、C重合)，垂直于AE的一條直線MN

分別交人4、AE.CD于點“、P、N.

(1)①求證：AE=MN；

②連接AN、NE、EM,章談亨里四邊形ANEW的面積S的取值范圍.

(2)如圖2,若垂足P為AE的中點，連接8。，交MN于點、F,連接石尸，求—A所的度數(shù).

(3)如圖3,當垂足P在正方形A3CO的對角線8。上時，作NHLBD,垂足為“，點E在邊8C上運動過程

中，PH的長度是否變化？若不變，求出尸H的長；若變化，說明變化規(guī)律.

2.在矩形48C。中，4A=8,BC=16,E、尸是直線AC上的兩個動點，分別從A、C兩點同時出發(fā)相向

而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為/秒，其中(0<Y10).

圖1圖2圖3圖4

⑴如圖1,M、N分別是AK、C。中點，當四邊形EW/W是矩形時，求，的值.

⑵若G、”分別從點A、。沿折線A-B—C,C-O-A運動，與耳?相同的速度同時出發(fā).

①如圖2,若四邊形EGFH為菱形,求/的值；

②如圖3,作人。的垂直平分線交八。、3C于點P、Q,當四邊形PGQH的面積是矩形人以笫面積的9，

則I的值是.

③如圖4,在異于G、〃所在矩形邊上取P、Q,使得PD=BQ,順次連接PGQH,請直接寫出四邊形PGQH

周長的最小值：.

3.如圖①，點E為正方形A8CO內(nèi)一點，NAE8=90。,將RsABE繞點、8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。,得到△CBE

(點A的對應(yīng)點為點。).延長AE交于點凡連接。E.

猜想證明：

(1)四邊形/3&FE的形狀是;

(2)如圖②，若DA=DE,請猜想線段。尸與FE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(3)如圖①，若48=15,CF=3,求的長.

4.如圖，正方形A6C。的頂點。處有一等腰直角三角形CEP,ZPEC-90%連接AP,BE.

(1)若點E在BC上時，如圖1,線段AP和BE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若將圖1中的ACEP順時針旋轉(zhuǎn)使P點落在CD上，如圖2,貝心1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,

請證明；若不成立，請說明理由；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上延長HP,BE交于F點、,若DP=PC=2,求3尸的長.

圖1圖2圖3

5.如圖1,在矩形紙片ABC。中，4B=3cm,AO=5cm,折疊紙片使B點落在邊A。上的E處，折痕為尸Q,

過點E作EF//AB交PQ于尸，連接BF.

(1)求證：四邊形4PEP為菱形：

(2)當點石在AO邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點。與點C重合時(如圖2),求菱形BPEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊胡、8C上移動，求出點后在邊AO上移動的最大距離.

6.如圖所示，在正方形AAC。中，點石是邊上一動點(不與A,B重合)，延長84至點F,使人r

連接CE,DF.

(1)判斷四邊形CEF。的形狀，并說明理由；

⑵如圖①，連接AC,過點￡作￡77_1_4。，垂足為點〃.

①證明：AH=EH；

②若BE：AE=\：夜，求的度數(shù)；

③如圖②，連接在點￡的運動過程中，唾的值是否發(fā)生變化？若不變，求出g的值；若變化，請

HFHF

說明理由.

⑴連接84、GH.

①如圖1,若點G在邊AB上，猜想3〃和G"的關(guān)系，并給予證明：

②若將圖1中的正方形AEAG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在對角線C4的延長線上，請你在圖2中補全圖

形，猜想8”和G〃的關(guān)系，并給予證明.

(2)如圖3,若4C=5,A尸=3,將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn),連接請你直接寫出E4的取值范圍

8.如圖1所示，將一個邊長為2的正方形488和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一

個大的長方形4班尸.現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)角為1.

(1)當點D0恰好落在邊E尸上時，點接到邊。C的距離為,旋轉(zhuǎn)角。；

(2)皿圖2,G為8c的中點，且0。＜。＜90。，求證：GD=ED;

⑶小長方形繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，QCD與△C&7能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角。

的值；若不能，說明理由.

9.如圖，四邊形48co為菱形，AB=2,NA8C=60。，點E為邊8c上動點(不含端點)點8關(guān)于直線AX

的對稱點為點R點”為。尸中點.

(1)若NE4E=30。，求Z)H的長；

(2)作CG_LAE,垂足為G,當CG=及時，求/84E的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，設(shè)射線GH交于“，求CM的長.

10.如圖I,矩形A8C。中，AB=2&，4。=4,在8c邊上取點E,使將△ABE向左平移到△DCF

的位置，得到四邊形AE/7).

（1）求證：四邊形AFFO是菱形；

（2）如圖2,將AOC產(chǎn)繞點。旋轉(zhuǎn)至△DG4,連接GE,求線段GE的長；

（3）如圖3,設(shè)尸、Q分別是七尺八石上的兩點，且/尸。。=67.5。，試探究線段PF、AQ、PQ之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

11.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4^,E為對角線AC上的動點（點E不與A,C重合），

連接BE,將射線EB繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)120。后交射線AD于點F.

（1）如圖1,當AE=AF時，求/AEB的度數(shù)：

（2）如圖2,分別過點B,F作EF,BE的平行線，且兩直線相交于點G.

①試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形BGFE的周長的最小值；

②連接AG,設(shè)CE=x,AG=y,請直接寫；Hy與x之間滿足的關(guān)系式，不必寫出求解過程.

12.在矩形A8CD中，AB=4,4）=3,現(xiàn)將紙片折轉(zhuǎn)，點。的對應(yīng)點記為點P,折痕為￡尸（點E、尸是折痕

與矩形的邊的交點），再將紙片還原.

（1）若點。落在矩形ABCQ的邊4B上（如圖1）.

①當點P與點A重合時，ZDEF=°,當點E與點A重合時，/DEF=°,

②當點E在人8上時，點尸在。C上時（如圖2）,若求四邊形E/平。的周長.

（2）若點尸與點。重合，點E在匕線段與線段。交于點M（如圖3）,當時，請求出線

（3）若點P落在矩形的內(nèi)部（如圖4）,且點石、廠分別在A。、OC邊上，請直接寫出八戶的最小值.

13.如圖1,點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG,

線段EB和GD相交于點H.

（1）求證：EB二GD且EB_LGD；

（2）若AB=2,AG=應(yīng)，求腳的長;

(3)如圖2,正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0vav90。),連結(jié)DE,BG,ABG與一D4E的面積之差是

否會發(fā)生變化？若不變，請求出與心以七的面積之差；若變化，請說明理由.

14.如圖.四邊形ABC。、8EFG均為正方形.

(1)如圖1,連接AG、CE,請直接寫出AG和的數(shù)量和位置關(guān)系(不必證明).

(2)將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)打角(0°<^<180°),如圖2,直線AG、CE相交于點形.

①4G和CE是否仍然滿足(1)中的結(jié)論？如果是，請說明理由：如果不是，請舉出反例：

②連結(jié)求證："8平分NAME.

(3)在(2)的條件下，過點人作AN上MB交MB的延長線于點N,請直接寫出線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系.

15.圖1,在正方形A8CO中，A8=8,。為線段8c上一點，連接AP,過點8作3QJLA尸，交CD于點Q.將

BQC沿8Q所在直線對折得到8QC',延長交于點N.

(1)求證：BP=CQ.

(2)若BP=LPC,求AN的長.

3

(3)如圖2,延長QN交出的延長線于點例，若8P=x(0<x<8),記.8WC的面積為S,求S與x之間的

函數(shù)關(guān)系式.

16.如圖I,正方形CEFG繞正方形人8co的頂點C旋轉(zhuǎn)，連接人凡點M是人尸中點.

(1)當點G在上時，如圖2,連接8M、MG,求證：BM=MG；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當點8、G、/三點在同一直線上，若AB=5,CE=3,則MF=；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當點G在對角線4c上時，連接。G、MG,請你畫出圖形，探究。G、MG的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

17.如圖①，在等腰Rt/BC中，NB4C=90。，點E在AC上(且不與點A、C重合)，在—ABC的外部作

等腰用C￡D,使NC瓦＞=90。，連接入。，分別以八8,人。為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接入尺

⑴請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;

(2)①將△C￡O繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若AB=2小,CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當平行四邊形

ABFQ為菱形時，直接寫出線段AE的長度.

18.如圖1,將A48C紙片沿中位線折疊，使點A的對稱點。落在8C邊上，再將紙片分別沿等腰及

和等腰ADHC的底邊上的高線方、祐折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形

進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.

圖3圖4

(1)將YA8CD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形A&G,則操作形成的折痕分別是線段和

S矩杉.榜：S、ABCD=

(2)丫686紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形七方6"，若EF=5,EH=12,求4)的長；

(3)如圖4,梯形48CQ紙片滿足4)//4C,ADvBC,ABJ.BC,A8=8,CQ=10.小明把該紙片折疊,

得到疊合氐力.畛請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AZ)、3c的長.

19.在正方形/WC。中，點E為邊上一點(不與點3、C重合)，垂直于AE的一條直線MN

分別交A3,AE,CD于點M,P,N.

(1)①如圖1，判斷線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(2)如圖2,若垂足尸為AE的中點，連接3D,交MNJ?點Q,連接KQ,則乙MQ=.

(3)若垂足P在對角線8。上，正方形的邊長為8.

①如圖3,若BM=1，BE=3,則8P=；

②如圖4,連接AN,將.APN沿著AN翻折，點P落在點P，處，A。的中點為S,則PS的最小值為.

20.在菱形A8C。中，ZABC=60°,P是直線8。上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊VAPE(4,P,E按

逆時針排列)，點七的位置隨點尸為位置變化而變化.

(1)如圖I,當點尸在線段4〃上，且點E在菱形A5CD內(nèi)部或邊上時，連接CE,則42與CE的數(shù)量關(guān)系是

，與CE的位置關(guān)系是________；

(2)如圖2,當點P在線段3。上，且點￡在菱形44C。外部時，(I)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以

證明；若不成立，請說明理由；

(3)當點。在直線8。上時，其他條件不變，連接砥，若A8=2,BE=而,請直接寫出VAPE的面積.

21.如圖1,點G是正方形A8C。對角線03的延長線上任意一點，以線段BG為邊作一個正方形"比6,線

段CE和AG相交于點”.

(1)求證：CE=AG,CE1AG.

(2)若八8=2,BGT,求CE的長.

(3)如圖2,正方形跳戶G繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)。(0＜。＜90°),連結(jié)AE、CG,*CG與沙班:的面積之差是否

會發(fā)生變化？若不變，請求出一BCG與二A5E的面積之差；若變化，請說明理由.

22.已知：正方形ABCQ中，NMAN=45。,/MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,0c(或它

們的延長線)于點M,N.當NM4N繞點A旋轉(zhuǎn)到=時(如圖I),易證BM+DN=MN.

⑴當/MAN繞點、A旋轉(zhuǎn)到助0HON時(如圖2),線段BM,ON和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想,

并加以證明.

(2)當NM4N繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM,ON和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你

的猜想.

(3)圖3中若A8=3,MN=5,求二AMV的面積為.

23.(探索發(fā)現(xiàn))如圖①，四邊形ABC。是正方形，M,N分別在邊C/)、8c上，且N/0VV=45。，我們把這

種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將AWM繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)90。，點。與點8重合，得到一ABE,連接AM、AN、MN.

圖1圖2

(1)試判斷OM,4MMN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

(2)如圖①如果正方形的邊長為4,求三角形CMN的周長；

(3)如圖②，點M、N分別在正方形A8CO的邊3C、8的延長線上，NM4N=45。，連接MN,請寫出

MN、DM、8N之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

⑴若48=6；

①如圖1,若點E在BC邊上,”的長為；

②P、E、C三點在同一直線上時，求AP的長；

(2)如圖3,當點“是A。的中點時，此時點E落在矩形A8CZ)內(nèi)部，延長BE交DC于點F,若點產(chǎn)是CO的

二等分點，求AB的長.

25.在學(xué)習(xí)了正方形后，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)對正方形進行了探究，聰明的你也加入探究吧:

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E為BC邊上任意一點(點E不與B,C重合)，點尸在線段AE上，過點

F的直線分別交人8,CD于點M,M

此時，①NAE8與NAMN有什么數(shù)量關(guān)系？(直接寫出即可)

②AE與MN之間又有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(2)如圖2：當點尸為4E中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線BD,MN與B。交于點G,連接AE

此時有結(jié)論：BF=FG,請利用圖2做出證明.

(3)如圖3：當點石為直線8c上的動點時，如果(2)中的其他條件不變，直線MN分別交直線AB,CO于

點M，N,請你繼續(xù)探究線段8戶與R7之間的數(shù)量關(guān)系.并證明你的結(jié)論.

26.點尸是線段AB上的動點，分別以AP,"為邊在A3的同測作正方形APCD與正方形PBb.

(1)如圖1,連結(jié)A尸、BC,判斷A廠與C8的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖2,將正方形乃跳?繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點E落在線段上，EF交PC于點、G,若DA=DF,

AF=10,求S.CEG。

(3)如圖3,將方形尸8￡尸繞點尸旋轉(zhuǎn)至如圖的位置，且AP=P8,連結(jié)A尸，作/。夕尸的角平分線交A/于

點”，請寫出A”、PH、”產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

特訓(xùn)11特殊平行四邊形動態(tài)幾何壓軸題

一、解答題

1.如圖1,正方形A8C。的邊長為1,E為邊上一點(不與點8、C重合)，垂直于A￡

的一條直線MN分別交A6、AE.CO于點A/、P、N.

(1)①求證：AE=MN；

②連接AN、NE、EM,息談耳中四邊形ANEW的面積S的取值范圍.

(2)如圖2,若垂足P為AE的中點，連接80,交MN于點F,連接石產(chǎn)，求NAE/的度數(shù).

(3)如圖3,當垂足P在正方形A8CQ的對角線8。上時，作NH工BD,垂足為“，點E在邊

8C上運動過程中，P"的長度是否變化？若不變，求出PH的長；若變化，說明變化規(guī)律.

【答案】(1)①見解析；②四邊形ANEW的面積S的取值范圍為g<S<l

⑵NA￡F=45。

(3)不變，PH=—

2

【分析】(1)①過點8作8尸〃MN于點E由正方形的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線可得出四邊形

M8FN為平行四邊形，即得出MN=BF,BFLAE,從而得出NA8F+N8AE=90。，進而可

證明ZBAE=ZCBF.即可利用“ASA”證明△4跖=/\"才，得出AE=BF,從而證明AE=MN；

G)由AE_LM7V,可得出5=QAE1再根據(jù)A3<AEv/1C1,即得出從而得出

g<S<2；

(2)連接AF,過點F作”/〃AB，分別交AO,8c于點”，/.由所作輔助線即可得出

HUAD,HILBC,HI=AB=AD.^BD是正方形"CO的對角線，可得出ZBAD=45°,

即證明刈“尸是等腰直角三角形，得出H慶，RAH=FI,再根據(jù)線段垂直平分線的判定和

性質(zhì)得出4"二五石.即可利用“HL”證明一47尸三尸/E,得出4/77=/尸印，從而可求出

ZAFE=90°,即可求出NE4E=NA斯=45。；

(3)過點P作尸。，8于點Q,PG_LA￡)于點G,延長MN,使PF=PN,連接4F、BF、

AN,過點N作NK〃BC,交8Q于點K由所作輔助線結(jié)合題意易求出4PG=/N尸Q,

即可利用“ASA”證明-AGPNPQN,得出AQ=/W,從而得出NP/W=N/WP=45。，進而

可證明N84〃=NDW,即可利用“SAS”證明一8Ab=LDW,得出N/W〃=NAON=90。，

即說明凡B,。三點共線.由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證明出OH=〃K.又可證

明一NPK=FPB(ASA),得出BP=PK,從而得出尸〃=PK+K，=』BQ=立.

(1)

①證明：由正方形的性質(zhì)可知NA8E=N8C￡)=90。，AB=BC,ABCD.

如圖，過點B作點?

???四邊形MBFN為平行四邊形，

:,MN=BF,BF上AE,

JZABF+/BAE=9(T.

VZS4BF+ZCBF=90°,

/.NBAE=NCBF.

NBAE=NCBF

，在aAB石和△8b中JAB=BC,

^ABE=ZBCF=90°

/.AABE^ABCF(ASA),

：.AE=BF,

:?AE=MN；

(2)VAELMN,

：.S=-AEMN=-AE2,

22

?：E為邊BC上一息(不與點8、C重合)，

AB<AE<AC.

???正方形ABC。的邊長為1,

AAB=\,AC=&，

；?l〈AE〈O,

A-<S<2；

2

(2)

如圖，連接4凡過點/作小〃/W，分別交AD,BC于點H,I,

???四邊形ABC。是正方形，

/./ABC=/BAD=/BCD=NADC=90。.

HI//AB,

，ZAH/=90°,

，四邊形A8/”為矩形，

/.HI±AD,HI工BC,HI=AB=AD.

???3。是正方形43co的對角線，

，NB4￡>=45。，

???△〃2是等腰直角三角形，

：.HD=HF,AH二FI.

〈MN是AE的垂直平分線，

：.AF=FE.

,,\AF=FE

，在RtAA“尸和Rt"7E中「J

AH=Fl

/.AHF=FIE(HL),

???ZAFH=/FEI,

???NAFH+NEF7=90。,

???ZAFE=90°,

???△AFE是等腰直角三角形，

AZ￡4F=ZAEF=45°；

(3)

PH的長度不變，理由如下：

過點。作尸Q，C。于點Q，氏7_14。于點6,延長MM使PF=PN,連接人尸、BF、AN,

過點、N作NK〃BC,交BD于點、K,

???四邊形A8C。是正方形，

???ZADP=NCDP=45。.

VPQLCD,PGLAD,

:.PG=PQ,NGPQ=90〉.

?/ZAPN-匕GPQ-90°,

???ZAPG=/NPQ.

又???ZAGP=NPQN=90°,

/..AGP=PQW(ASA),

JAP=PN.

又?:ZAPN=90。,

???NRW=N/W尸=45。.

?:PF=PN,APLPN,

：,AF=AN,

：.ZAFP=ZANF=45°,

ZFAN=90°=ZBAD,

J/BAF=/DAN.

乂?.?A8=AO,

/.^BAF=^DAN(SAS),

???^ABF=NADN=9(F,

/.ZABF+ZABE=180°,

:,F,B,C三點共線.

,:NK〃BC,

???ZDKN=ZDBC=45°=/BDC,ZDNK=ZDCB=90°,

:?DN=KN.

又，:NHA.DK,

:?DH=HK.

???NK〃BC,

???NKNP=/PFB.

又,：ZNPK=/FPB,PN=PF,

:?NPUFPB(ASN),

：,BP=PK,

:.PH=PK\KH='BD=①.

22

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角

三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性強，困難題型.正確的作出輔助線是解題

關(guān)鍵.

2.在矩形A8C。中，A3=8,BC=16,E、尸是直線AC上的兩個動點，分別從A、C兩

點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為/秒，其中(0W/W10).

圖1圖2圖3圖4

⑴如圖1,M、N分別是AB、C。中點，當四邊形即力W是矩形時，求/的值.

（2）若G、〃分別從點A、C沿折線A—8—C,C—0-A運動，與EF相同的速度同時出發(fā).

①如圖2,若四邊形EGFH為菱形，求f的值；

②如圖3,作AC的垂直平分線交4）、8C于點尸、Q,當四邊形PGQH的面積是矩形ABCD

面積的晟，則，的值是.

③如圖4,在異于G、，所在矩形邊上取P、。，使得PD=BQ,順次連接PGQH,請直

接寫出四邊形PGQ"周長的最小值：.

【答案】⑴2后-4或2不+4

⑵①7；②，③166

【分析】（1）連接MN交AC卜點。，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到EF=MN,分點E在點“上

方和點E在點F下方兩種情況進行討論，即可求出/的值；

（2）①連接MN交AC于點。，結(jié)合菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)證明△ECG,從而

證出直線G”是線段4C的垂直平分線，設(shè)8G=x,則GC=16—x,在RtZXABG中，利用

勾股定理求出入的值，求出入8+垢的值，即可求解/的值；②連接AQ、PC,根據(jù)題意求

出四邊形PGQ”的面積，證明四邊形GQ"P是平行四邊形，推出“GQp=S?/Q=gSpGQ〃，

求出S幡形八吩二~S矩形八8C0,再根據(jù)S&QQP=S梯""80/>-5甌82-S^G”即口I求出，的值；③作G關(guān)

于8c的對稱點為點G',連接G，。、GH,過點G'作0c的垂線，交。C延長線于點M,

當G'、Q、”三點共線時，G'Q+Q〃的值最小，即GQ+Q”的值最小，最小值為GH的長

度，此時四邊形PG?！敝荛L最小，根據(jù)勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：連接MN交AC于點。，如圖所示

BC

圖1

???四邊形48CO是矩形，AB=8,fiC=16

???AC=yjAB2+BC?=>/8;+162=8后

?:M、N分別是A3、CD中點

：?MN=BC=16,OA=OC=4也

???四邊形的V是矩形

???EF=MN=\6

：.OE=OF=2

當點￡在點尸上方時，AE=OA-OE=4召-8

當點E在點尸下方時，AE=OA+OE=4y/5+8

???速度均為每秒2個單位長度

:.，的值為2石-4或2石+4

(2)解：①連接AG、GH,GH交AC于點0,如圖所示

圖2

???四邊形EGF”為菱形

/.OF.=OF,GHAC,GE=FH,NHFE=NFEG

???4AFH+NHFE=180°,ZCEG+ZFEG=180°

：.ZAFH=ZCEG

???矩形A8CO

???ZFAH=ZECG

在△NV/和反‘G中

NFAH=/ECG

VZAFH=ZCEG

FH=GE

：.AFAH^AECG(AAS)

：.FA=EC

：,OA=OC

???直線GH是線段AC的垂直平分線

：.GA=GC

設(shè)8G=x,則GC=16-x

在RtZXABG中，AB1+BG2=AG2

：.82+X2=(I6-X)2,解得：x=6

/.A8+BG=14

???，的值為7

②連接AQ、PC,如圖所示

圖3

v四邊形PGQH的面積是矩形A3CO面積的二

32

，四邊形PGQ”的面積為：—x8xl6=60

32

???QP是AC的垂直平分線

???AQ=QC,AP=PC

由①可得：BQ=6,DP=6

由題意可得：BG=DH,5=ND

???△GBgAHDP(SAS)

???GQ=PH

同理可得：/XEAG且△QC”(S4S)

???PG=QH

，四邊形GQH尸是平行四邊形

S&GQP=S&HPQ=]SPCJQd=30

由題怠可得：s^ABQP=|S^.ABCD=1x8xl6=64

—

=S梯形加W-S/kGa？S^GAP

：.30=(6+10)x8x1-6x(8-2r)xl-10x2rxl,解得：r=|

，當四邊形PGQH的面積是矩形ABC。面積的||，則f的值是土,

J44

故答案是：I

③作G關(guān)于8C的對稱點為點G',連接G，Q、G'H,過點G'作。。的垂線，交。。延長線于

點例，如圖所示

由②可得：四邊形GQ"P是平行四邊形

???四邊形PGQH周長=2(GQ+Q")

??,對稱

?,.GQ=GQ

???GQ+QH=GQ+QH

當G'、。、〃三點共線時，G'Q+Q”的值最小，即GQ+Q”的值最小，最小值為GH的長

度，此時四邊形PG。”周長最小

,:GB=GB=DH=CM

JHM=DC=8

;GH=JGM，+MH?=V162+82=8/

???四邊形PGQH周長最小值為16檔.

故答案是：16石.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判

定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、最值等知識點，解題的關(guān)鍵是熟記特殊四邊形的

性質(zhì)，在解題中靈活運用.

3.如圖①，點石為正方形A/3C。內(nèi)一點，ZAE/?=90°,將口△A/法繞點4按順時針方向

旋轉(zhuǎn)90。，得到△CBE(點4的對應(yīng)點為點C).延長AE交于點E連接?！?/p>

猜想證明：

(1)四邊形3￡正的形狀是；

(2)如圖②，若D4=Q￡請猜想線段CE與正的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(3)如圖①，若48=15,C尸=3,求DE的長.

【答案】(1)正方形

(2)CF=FE

(3)3717

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的特征可得到NE=NAE8=90。、NEBE-90。、BE=BE,再由NBEP

=180°-NAEB=90。，可判定四邊形8E/E是正方形；

(2)過點。作。G_L4E于點G,由得AG=；AE,再證明△AOGgZX/ME,且由

四邊形BE尸E是正方形，得到打E=AG=^CE,可證得結(jié)論：

(3)過點。作。G_LAE于點G,由旋轉(zhuǎn)及四邊形BETE是正方形可得如下關(guān)系：AE=CEt

=FE+CF=FE+3=BE+3,在用△84七中根據(jù)勾股定理求出/蘇、AE的長，由(1)可知，

△AOGmXBAE,得到OG=BE,AG=BEf再由勾股定理求出OE的長.

【解析】(1)四邊形8EFE是正方形.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)得，N￡=NAEB=90。，/EBE=90。,

ZBEF=I8O°-NAEB=90°,

???四邊形BEAE是矩形，

由旋轉(zhuǎn)得，BE=BE,

???四邊形8EFE是正方形.

(2)CF=FE,

證明：如圖2,過點。作QG_L4E卜點G,則NQG4=N4瓦?=90。，

圖2

■:DA=DE,

：,AG=^AE,

???四邊形ABC。是正方形,

：.DA=AB,ZDAB=9()0,

，NA4E+ND4G=90。，

*/ZADG+ZDAG=90°,

JZADG=ZBAEf

在R4F中

ZADG=NBAE

ZAGD=NAEB,

AD=AI3

：,^ADG^ABAE(A4S),

:?AG=BE；

;四邊形6EAE是正方形，

:,BE=FE,

：.AG=FE,,

由旋轉(zhuǎn)得，AE=CE,

?苧石=/￡，

：.FE=；AE=；C￡,

:?CF=FE.

(3)如圖3,過點短作。GJ_AE于點G,

圖3

,:BE=FE，CF=3,

：.AE=CEf=FE,+CF=FE'+3=BE+3,

,：AE2+BE2=AB2,且AB=15,

.,.(BE+3)2+BE2=(15)2,

解得，8E=9或8E=-12(不符合題意，舍去),

?"E=9+3=12,

由(2)得，AADG經(jīng)ABAE,

：.DG=AE=\2,AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=\2-9=3,

,?ZDGE=90°,

,DE=JDG'GE?=A/122+32=3后.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，構(gòu)造全等

三角形.

4.如圖，正方形4BCO的頂點。處有一等腰直角三角形CKP,ZPEC=90°,連接AP,BE.

(1)若點E在上時，如圖1,線段A尸和BE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若將圖1中的戶順時針旋轉(zhuǎn)使P點落在CO上，如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍

然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上延長AP,BE交于F點,若。P=PC=2,求8尸的長.

【分析】(1)首先說明A,P,C三點共線，設(shè)正方形4BC。的邊長為1,CE=x,根據(jù)正方

形和等腰直角三角形的性質(zhì)求出AP和的長，即可判斷；

(2)過點B作BHA.BE,且BH=BE,連接AH,EH,證明么ABH@/\BEC,得至ljAH=EC=PE,

/AHB=NCEB,從而證明四邊形是平行四邊形，同理可得AP二EH二&BE：

(3)過8,。分別作A尸的垂線，垂足為K,M,證明注△/%”,得到求

出AP,在△AZ)P中利用面積法求出。M,可得AM和8K,再利用勾股定理求出B/即可.

【解析】解：(1)???點E在BC上，APEC為等腰直角三角形，

：.PE=CE,ZPCE=45°,

???四邊形ABC。是正方形，

JZACB=45°,

???A,P,C三點共線，設(shè)正方形ABC。的邊長為1,CE=xt

：.PE=x,PC=^2x,AC"”=&,

：,AP=AC-PC=應(yīng)-=a(1-x),BE二BC-CE=1-x,

:?AP二丘B(yǎng)E；

(2)成立，

如圖，過點B作8H_L8E,且BH=BE,連接AH,EH,

AD

,?NABC二NEBH=9()0,

：.NCBE+NABE=NABH+NABE=9()。,

，NCBE=/ABH,

乂?：BH=BE,AB=BC,

:?△ABHgABEC(SAS)、

：,AH=EC=PE,NAHB=/CEB,

/.ZAHE=ZAHB-ZEHB=ZCEB-45°,

ZHEP=360。-ZCEB-NHEB-ZCEP

=360°-ZCEfi-45°-90°

=225°-NCEB,

/.ZAHE+ZHEP=NCEB-45°+225°-NCEB=180°,

：.AH//PE,

???四邊形是平行四邊形，

：,AP=EH=y/2BE；

(3)如圖，過8,。分另?.作4F的垂線，垂足為K,M,

ZBAD=ZBAK+ZDAM=90°,NA8K+NBAK=90。,

ZABK=ZDAM,

y.*：AB=AD,NAK8=NAWD=90。，

???△A8K絲△OAM(A4S),

：,BK=AM,

;四邊形八是正方形，DP=PC=2,

：.AD=CD=4,N4〃E=90。，

'AP二y/AD2+DP2=2x/5，

/.SAADP=-^ADXDP=-AP-DM,

22

：.-x4x2=-x2s/5DM

22t

，DM=—，

5

由（2）可.知：△E8H為等腰直角三角形，HE//AP,

/KBF=gNHBE=45。,

???N"=45。，

/.BF=—XV2=5^.

55

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)健是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

5.如圖【，在矩形紙片ABC。中，AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使8點落在邊AO上的七

處，折痕為PQ，過點E作比7/AA交尸。于F,連接B尸.

（1）求證：四邊形6五EP為菱形；

（2）當點石在AQ邊上移動時，折痕的端點P、。也隨之移動；

①當點。與點C重合時（如圖2）,求菱形BFEP的邊K;

②若限定P、。分別在邊BA、8c上移動，求出點E在邊40上移動的最大距離.

【答案】（1）見解析；（2）①gem；②2cm

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出尸B=PE,BF=EF,/BPF=/EPF,由平行線的性質(zhì)得出

NBPF=NEFP,證出NEPf^NEb,得出因此8P=8尸=￡尸=￡P(guān)，即可得出

結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出8C=AO=5cm,CD=AB=3cm,NA=ND=90。，由對稱的性質(zhì)

得出CE=BC=5cm,在Ri；，COE中，由勾股定理求出OE=4a〃，得出AE=AD-DE=\cnu

在Rl.APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=：cm即可；

②當點。與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時人七=3〃；當點P與點八重合時，

點E離點4最遠，此時四邊形4BQE為正方形，AE=AB=3cmt即可得出答案.

【解析】（1）證明：???折疊紙片使B點落在邊4。上的E處，折痕為PQ,

???點B與點E關(guān)于PQ對稱，

:?PB=PE,BF=EF,NBPF=NEPF,

又,：EFHAB,

:?NBPF=/EFP,

NEPF=NEFP,

:?EP=EF,

:?BP=BF=EF=EP,

工四邊形BFEP為菱形;

(2)解：①..?四邊形A8CO是矩形，

：.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,ZA=ZD=90°,

???點B與點E關(guān)于P。對稱，

,.CE=BC=5cm,

在Rt.CDE中,DE=yJcE2-CD2=4c/〃，

,\AE=AD-DE=5cm-4c〃?=lev”；

在RtAPE中，AE=1,AP=3-PB=3-PE,

：.EP2=l2+(3-EP)2,

解得：EP=*m,

???菱形"EP的邊長為

②當點。與點C重合時，如圖2：

點E離點A最近，由①知，此時AE=\cm；

當點P與點4重合時，如圖3所示：

點E離點A最遠,此時四邊形A8QE為正方形，AE=AB=3cm,

???點E在邊A。上移動的最大距離為2cm.

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的

性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度.

6.如圖所示，在正方形A8CO中，點正是邊48上一動點(不與4,B重合)，延長84至點

F,使力尸連接C￡,DF.

(I)判斷四邊形CEFO的形狀，并說明理由；

⑵如圖①，連接AC,過點E作F，_L4C,垂足為點從

①證明：AH=EH；

②若BE：AE=1：0,求N8CE的度數(shù)；

③如圖②，連接"A在點E的運動過程中，黑CF的值是否發(fā)生變化？若不變，求出C案F的

HrHr

值；若變化，請說明理由.

圖①圖②

【答案】(1)平行四邊形，證明詳見解析；(2)①詳見解析；②22.5。；③不變，&.

【分析】(1)由AF=BE,得出AB=EF.由正方形的性質(zhì)得出CD=AB二BC,CD〃AB,即可

證出四邊形CEFD是平行四邊形；

(2)①由正方形的性質(zhì)，得到NEAH=45。，由NAHE=90。，則△AEH是等腰直角三角形,

即可得到AH=EH；

②由等腰三角形的性質(zhì)，得到=則BE二EH,然后證明△BCE^^HCE,即可得

到答案；

ArAFlCFl

③由把=空二&，ZEAH=ZHEA=45°,得至ACEs^EFH,即可得至1」匕=&.

EFEHHF

【解析】解：(1)???四邊形ABCD是正方形，

ACD=AB=BC,CD〃AB.

VAF=BE,

AAB=EF.

/.CD=EF,CD/7EF.

，四邊形CEFD是平行四邊形.

(2)①???四邊形ABCD是正方形，

,ZEAH=45°,

VEH1AC,

/.ZAHE=90°,

???△AEH是等腰直角三角形，

/.AH=EH；

②:△AEH是等腰直角三角形，

?'?AE=>/2EH，

VBE：AE=I：6,

AE=>JiBE，

，EH=BE,

*/CE=CE,ZB=ZCHE=90°,

.,.△BCE^AHCE(HL),

/.ZBCE=ZHCE,

VZBCH=45°,

AZBCE=22.5°；

③由△AEH是等腰直角三角形,

/.ZEAH=ZHEA=45°,

在等腰直角△ABC中，有普=也

AB

AB=EF,

A

AE=6EH，

△ACE^AEFH,

CEACAE

HFEFEH

黑的值不變，系揚

HFHF

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、全等三

角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)

等知識；本題綜合性強，有一定難度.

7.已知，四邊形A8CO和四邊形42/P都是正方形，點，為。尸的中點.

⑴連接8”、GH.

①如圖1,若點G在邊AB上，猜想3〃和GH的關(guān)系，并給予證明：

②若將圖I中的正方形WG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在對角線C4的延長線上，請你

在圖2中補全圖形，猜想8"和G”的關(guān)系，并給予證明.

⑵如圖3,若AC=5,AF=3,將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，連接EH.請你直接寫出EH

的取值范圍___________.

【答案】(1)①HG=HB、HB上HG；②"G=HG證明見解析

(2)[<EH<4

【分析】(1)①連接AC.ARAH,證明，ABH%CBH(SSS),HGA^,HGF(SSS),證明

是等腰直角三角形，即可得證；

②延長交A力于點M,連接AF,A〃,E”,8G,證明BCH^.MFW(AAS),

.AHEAGHF(SAS),得出HG=HB,根據(jù)等邊對等角，設(shè)

NHBA=4HAB=a/HCE=2HEC=。,ZAHE=4GHF=9,根據(jù)外角的性質(zhì)得出

2(a+/?+e)=NM”G=90。，即可證明〃G_L〃8；

(2)連接EG,根據(jù)，6-后〃《〃￡?6石+〃6,當6在〃￡：上時，HE最大,HE=HG+EG,

當后在裕上時，HE最小,HE=\,即可求解.

【解析】(1)①如圖，連接ACAE4”，

???四邊形48co和四邊形用6都是正方形,

???ZC4B=NFAB=45°,BC=AB,AG=GF,

：.NC4F=90。，

???”為。尸的中點,

:?AH=CH=HF,則N1=N2,

在、ABH,CBH中,

AB=CB

<BH=BH,

CH=AH

：?ABH@&CBH(SSS),

???ZBCH=/BAH,NCBH=ZHBA=45°,

在JYGA_"G”中，

HF=HA

,HG=HG,

AG=FG

AHGA^,〃Gr(SSS),

,N3=/4，

，ZWF=Z14-Z2=Z3+Z4,

???Z1=Z4,

???NHGB=Z4+ZHAB=Z1+/HCB=ZACB=45°,

/./BHG=90。,

??.48G是等腰直角三角形，

JHG=HB,HB1HG；

②HG=HB,HB工HG,

證明：如圖，延長交4。于點“，連接AF,A”,