專題01二次函數(shù)（7個考點清單+10種題型解讀）

年多支儕單

目錄

【考點題型一】二次函數(shù)的定義...................................................................3

【考點題型二】把廣數(shù)2+/u*+c化成頂點式.........................................................3

【考點題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).............................................................3

【考點題型四】畫二次函數(shù)y^Lx2+bx+c的圖象....................................................4

【考點題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問題............................................6

【考點題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集..........................7

【考點題型七】二次函數(shù)的平移...................................................................8

【考點題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.....................................................9

【考點題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問題.........................................10

【考點題型十】根據(jù)二次函數(shù)度of+班+。的圖象判斷有關(guān)的信息...................................12

【知識點01】二次函數(shù)的概念

一般地，形如）=。必+力大+c（小b,。是常數(shù)，〃火））的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

【知識點02】二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：產(chǎn)?2+隊+c（a,b,c為常數(shù)，。卻）.

（2）頂點式：y=a（x-h）2+k（a,h,A為常數(shù)，?#））,頂點坐標是（力，k）.

（3）交點式：y=a（x-ri）（x-xz）?其中xi,X2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，存0.

【知識點03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

解析式二次函數(shù)嚴辦2+力x+c（4,b,C是常數(shù)，存0）

b

對稱軸A2a

,b4ac-b'、

頂點

2a4a

a的符號a>0fl<0

-

圖象

開口方向開口向上開口向下

%b,4ac-b2士b4ac-b2

最值當x=--B'J,y最小優(yōu)=-------當工=一二-時，y------

2a4a2a4。

1

最點拋物線有最低點效物線有最高點

當歡-(時，y隨x的增大而減??；當X＜_與時，y隨工的增大而增

2a

增減性當心＞_烏時，y隨X的增大而增大

大；當■時，)，隨工的增大而

2a

減小

【知識點04】拋物線的平移

二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后

的解析式：二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式.

向上儂＞0)［或下(k0)1平移圉個單位一叵回

向右(方＞0)向右供＞0)

［或左(方＜0)］［或左8＜0)］

平移㈤個單位平移同個單位

尸代研向上(BO)［或下依0)］平移坳個單位］產(chǎn)g-杼+%

【知識點05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1)二次函數(shù)產(chǎn)aH+Zu+c(存0),當),=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=O(a/0).

2)cu:2+bx+c=O("0)的解是拋物線產(chǎn)*+/)x+c(HO)的圖象與x軸交點的橫坐標.

3)(1)〃Uac＞0=方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；

(2)岳Tac=0=方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；

(3)〃-4ac4)o方程沒有實數(shù)根，拋物線與上軸沒有交點.

【知識點06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和牛?產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是:

(1)列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍

(2)在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值

【知識點07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問題

二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、

最大(小)面積、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標

和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利

用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題FI中的一些隱含條件，以達到解題目的

反強型帳單

2

【考點題型一】二次函數(shù)的定義

【例1】（23-24九年級上?上海奉賢?期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+l13.y=—C.y=x2+2D.y=&+2

'2x'

【變式1-1]（23-24九年級上?上超松江?期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

■2

A.y=x-2B.y=x2C.y=x2-（x+l）:D.y=—

'x~

【變式1-2]（23-24九年級上?上每浦東新?期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+lB.y=x2+1

C.y=（x-l）2-x2D.>'=-V

AT

【變式1-3]（23-24九年級上?上每楊浦?期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

,2

A.y=ax1+/?,v+cB.y=（x-l）2-x2C.y-5x2D.y=—

''"x'

【變式1-4]（23-24九年級上.上鬼嘉定?期末）如果函數(shù)尸依-1）丁+6-1（人是常數(shù)）是二次函數(shù)，那

么上的取值范圍是.

（考點題型二】把產(chǎn)ax2+b/c化成頂點式

【例2】（23-24九年級上.甘肅的銀?期末）用配方法將函數(shù).丫=：/-2]+1寫成），=。"—〃）2+太的形式

是.

I13

【變式2-1]（23-24八年級下.云南昆明?期末）拋物線丁=//7的頂點坐標是.

【變式2-2]（23-24九年級上.四川廣元.期末）若把二次函數(shù)），=/-2工-2化為y=（.L〃『+A的形式，其

中方M為常數(shù)，則〃+攵=.

【變式2-3]（23-24九年級上.四川眉山?期末）已知二次函數(shù)y=2/+隊+c可以寫成）,=2（x則

〃十c的取值范圍是.

【變式2-4]（23-24九年級上?北京東城?期末）用配方法將二次函數(shù)曠=3/一21一4化為），=。（工—/?『十4

的形式為.

【考點題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【例3】（23-24九年級上.上海長寧?期末）下列關(guān)于拋物線y=2/+x—3的描述正確的是（）

3

題.

(1)填寫下表，并在坐標系中利用描點法畫出此拋物線;

-5

-

-

_

_

_

(2)請根據(jù)圖像直接寫出：當〉W0時，自變量x的取值范圍

【變式4-2](23-24九年級上.河南南陽?期末)【操作與探究】已知點P(x,y)在拋物線)，=/+4x+3上移

(1)在下圖的平面直角坐標系北川中畫出函數(shù)y=V+4X+3的圖象；

⑵認真觀察圖象，結(jié)合所學函數(shù)知識解答下列問題：

①函數(shù))，＜0時，工的取值范圍是:

②方程K+—=-4的根是；

x

③若無＜力時，y隨x的增大而減小，則力的取值范圍是；

④若當時，函數(shù)y的最小值是-1,最大值是3,直接寫出/〃的取值范圍.

【變式4-3](22-23八年級下?福建福州?期末)已知二次函數(shù)產(chǎn)-』一2-3.

5

T■

—

X—

3

…

T

七

.p

JLr

s

SL

T.*

-J

?41

■

（1）請在平面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

⑵若點。（乂），）在該函數(shù)圖象上

①當y>0時，則式的取值范圍為；

②當"1WXV7（/為常數(shù)）時，），隨X的增大而減小，則，的取值范圍是

X........-3-2-101........

y........03430........

【變式4-4]（23-24九年級上.河南南陽.期末）已知二次函數(shù)y=f-41+5.

（1）用配方法將二次函數(shù)的表達式化為y=（x-〃>+女的形式，并寫出頂點坐標;

（2）在平面直角坐標系xOy中畫出這個二次函數(shù)的圖象：

（3）結(jié)合圖象直接回答：當0c<3時，則y的取值范圍是.

【考點題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問題

【例5】（24-25九年級上?四川?期末）已知拋物線y=x2+（2?-l）x-3,若當時，函數(shù)的最大值

為I,則a的值為.

6

【變式5-1]（23-24九年級」:?浙江杭州?期末）已知函數(shù)），=3公—以+1,當工=_時，該函數(shù)V的最小值

是_.

【變式5-2]（23-24八年級下?重慶江北?期末）當x取一切實數(shù)時，二次函數(shù)y=2/+4x+/〃的最小4,則

常數(shù)機的值為

【變式5-3]（23-24九年級上.陜西西安?期末）已知二次函數(shù)），=以2_4以+3〃（其中a>0）,31<x<4

時，3'的最大值是4,則。的值為

【變式5?4】（23-24九年級上.浙江杭州?期末）已知二次函數(shù)y=ad-4aY+4q+l（awO）,則此函數(shù)的頂點

坐標是；若a<0,當時，函數(shù)有最小值則”

【考點題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集

【例6】（23?24力年級上?四川雅安?期末）表格對應值加下表:判斷關(guān)于x的方程/+/“+。=0的一個解

x的范圍是（）

X1234

ax2+bx+c-0.5512.522

A.0cx<1B,1<x<2C.2<x<3D.3<x<4

【變式6-1]（23-24九年級卜.?廣東東莞?期末）如圖是二次函數(shù)M=aF+飯+c和一次函數(shù)％=〃〃'+〃的圖

)

x>-2D.x<1

【變式6-2]（23-24八年級下.浙江寧波?期末）如圖是二次函數(shù)），=雙2+灰+。的部分圖像，由圖像可知不

等式a^+Ar+oO的解是.

7

o

【變式6-3］（23-24九年級上.廣東茂名.期末）根據(jù)下面的表格請你寫出方程?2+以+。=0

（。工0,a,b,c為常數(shù)）的一個近似解：.（精確到0.1）

X22.52.62.652.73

ax2+bx+c-1-0.25-0.040.07250.191

【考點題型七】二次函數(shù)的平移

【例7】（24-25九年級上?全國?期末）將拋物線y=f—4x先向上平移3個單位長度，再向右平移3個單

位長度，得到的拋物線的解析式是.

【變式7-1］（23-24九年級上?江蘇泰州?期末）在平面直角坐標系中，將函數(shù)y=2V的圖像先向右平移2

個單位長度，再向下平移5個單位長度，所得圖像的函數(shù)解析式為.

【變式7-2］（23-24九年級上?西藏?期末）將拋物線），=2（x-3『+/向左平移2個單位長度，耳向下平移3

個單位長度，則平移后拋物線解析式是.

【變式7-3］（23-24九年級上?山東濰坊?期末）二次函數(shù)產(chǎn)/一公-3的圖象先向左平移2個單位長度，再

向上平移3個單位長度，所得圖象的解析式的一般式為.

【變式7-4］（23-24九年級上?山東威海?期末）如圖，坐標平面上有一透明片，透明片上有一效物線y=W

及一點、P，夕的坐標（2,4）.若將此透明片向右、向上移動后，得拋物線的頂點坐標為（7,2）,則此時P

8

【考點題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式

【例8】（23-24九年級上.江蘇南京?期末）如圖是二次函數(shù)），=-工2+云+。的圖象.

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式及頂點坐標；

（2）當）〉。時x的取值范圍是.

【變式8-1］（23-24八年級下?福建福州?期末）已知二次函數(shù)>，=加+飯+c自變量x與函數(shù)），的部分對應

值如卜表：

X???-2-1023???

y???50-3-30???

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點坐標；

⑵點P為拋物線上一點，拋物線與x軸交于A、8兩點，若5^=12,求出此時點P的坐標.

【變式8-2］（22-23九年級上?江蘇鹽城?期末）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,0）,頂點坐標為（T-4）.

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）直接寫出該二次函數(shù)的圖象怎樣經(jīng)過上下平移恰好與x軸只有一個公共點;

⑶當0<x<3時，y的取值范圍為.

【變式8-3］（23-24八年級下?福建福州?期末）二次函數(shù)戶"+6?+，?圖象上部分點的橫縱坐標XV的對

9

應偉如表:

X???-5-4-3-2-1012rn…

y???-19-12-7-4-3-4-7n-19???

⑴這個二次函數(shù)的表達式為,對稱軸是

（2）表中的〃?=,〃=：

（3）若是這個函數(shù)圖象上的兩點，且大〈再〈T，則y%（填，'或或"〈”）；

（4）寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì).

【變式8-4］（23-24八年級下.云南.期末）已知拋物線），=/+反+。經(jīng)過點0,0）和點（0.3）.

（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）當自變量x滿足—1Kx43時，求），的取值范圍；

（3）洛此拋物線沿x軸平移機個單位后，當自變量工滿足1Wx<5時,），的最小值為5,求小的值.

【考點題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問題

【例9】（23-24八年級下?重慶九龍坡?期末）函數(shù)），=，/+也（〃?工0）與丁=〃氏+〃的圖象可能是（）

a4以中V.書T

【變式9-1］（23-24九年級上吶蒙古巴彥淖爾?期末）二次函數(shù)丁=O?+幾+C的圖象如圖所示，則一次函

數(shù)了=-如+。的圖象大致是（）

斗

4』5

10

【變式9-2]（23-24九年級上.廣東梅州.期末）函數(shù)），=辰2M與），=-與女，0）在同一直角坐標系中的圖

X

【變式9-4]（23-24九年級上?四川綿陽?期末）二次函數(shù)尸公、法+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)

）,=ax+〃的圖象和反比例函數(shù)丁=竺叱的圖象在同一平面直角坐標系中大致為（）

x

II

【考點題型十】根據(jù)二次函數(shù)yqd+法+c?的圖象判斷有關(guān)的信息

【例10】（23-24九年級上.江西.期末）二次函數(shù)尸加+/?+《"0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①

bc<0；②%+8=0；③機為任意實數(shù)，則4+〃之卬/+初〃；④。一力+。>0.其中正確的有（）

C.①④D.②④

【變式10-1】（23-24八年級下,湖南長沙?期末）已知拋物線），=*+飯+。的圖象.如圖所示，則下列結(jié)

論中，正確的有（）

?abc>0；②//>4〃c；?a-b+c<()；?2a-b>0i⑤a+c<l.

C.3個O.4個

【變式10-2]（23-24九年級上?北京大興?期末）如圖，在平面直角坐標系宜方中，二次函數(shù)

y=a$+云+4々<0）的圖象經(jīng)過點（o,[）,（2,1）.給出下面三個結(jié)論：①為-〃=0；②a+b+c>l；③關(guān)

于x的一元二次方程52+以+。-〃，=0（〃{1）有兩個異號實數(shù)根.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號

是

12

【變式1。-3]（23-24九年級上?山東聊城?期末）已知二次函數(shù)），=加+云+c（〃￥0）的圖象如圖所示，并

且關(guān)于x的一元二次方程法+c-〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論：①〃2-4址<0；②

而c>0；③a—A+cvO；?m>-2f⑤加+法+。+3=0無實數(shù)解，寫出正確的序號.

【變式10-4]（23-24九年級上.湖南長沙.期末）如圖，二次函數(shù)），="+加+《〃工0）的圖象與％軸交于

A,B兩點，與），軸交于C點，且對稱軸為x=l,點4坐標為（-1，0）.則下面的四個結(jié)論：①2〃+/?=0；

②加一2/?+c<0；?abc>0；④當><0時，x<l或x>2,其中正確的是

13

專題01二次函數(shù)(7個考點清單+10種題型解讀)

年多支儕單

目錄

【考點題型一】二次函數(shù)的定義...................................................................3

【考點題型二】把產(chǎn)d+bx+c化成頂點式.........................................................3

【考點題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).............................................................3

【考點題型四】畫二次函數(shù)/or2+加+。的圖象....................................................4

【考點題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問題............................................6

［考點題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集..........................7

【考點題型七】二次函數(shù)的平移...................................................................8

【考點題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.....................................................9

【考點題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問題.........................................10

【考點題型十】根據(jù)二次函數(shù)+以+。的圖象判斷有關(guān)的信息...................................12

【知識點01】二次函數(shù)的概念

一般地，形如尸aH+bx+c(67,b,c是常數(shù)，的出)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

【知識點02】二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：尸以2+區(qū)+。(。，b,c為常數(shù)，＜#0).

(2)頂點式：y=aCx-h)2+k(mh,2為常數(shù)，,頂點坐標是(力，k).

(3)交點式：y=a(X-A-|)(.x-xi),其中xi,X2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，存0.

【知識點03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

解析式二次函數(shù)產(chǎn)加+法+c(a,b,c,是常數(shù)，a和)

b

對稱軸「五

bAac-b2、

頂點v-■—,------)

2a4a

。的符號a>0?<0

y[/

\

圖象/X

開口方向開口向上開口向下

%b4ac-b2當―2時，),“4…2

最值當工=一丁時，y收小°產(chǎn)-------二1八rj，，嫉人a

2a4a2a4。

14

最點拋物線有最低點效物線有最高點

當歡-(時，y隨x的增大而減小；當X＜_與時，y隨工的增大而增

2a

增減性當心＞_烏時，y隨X的增大而增大

大；當■時，)，隨工的增大而

2a

減小

【知識點04】拋物線的平移

二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后

的解析式：二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式.

向上儂＞0)［或下(k0)1平移圉個單位一叵回

向右(方＞0)向右供＞0)

［或左(方＜0)］［或左8＜0)］

平移㈤個單位平移同個單位

尸代研向上(BO)［或下依0)］平移坳個單位］產(chǎn)g-杼+%

【知識點05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1)二次函數(shù)產(chǎn)aH+Zu+c(存0),當),=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=O(a/0).

2)cu:2+bx+c=O("0)的解是拋物線產(chǎn)*+/)x+c(HO)的圖象與x軸交點的橫坐標.

3)(1)〃Uac＞0=方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；

(2)岳Tac=0=方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；

(3)〃-4ac4)o方程沒有實數(shù)根，拋物線與上軸沒有交點.

【知識點06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和牛?產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是:

(1)列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍

(2)在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值

【知識點07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問題

二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、

最大(小)面積、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標

和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利

用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題FI中的一些隱含條件，以達到解題目的

反強型帳單

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【考點題型一】二次函數(shù)的定義

【例1】（23-24九年級上?上海奉賢?期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+l13.y=—C.y=x2+2D.y=&+2

'2x'

【答案】C

【知識點】二次函數(shù)的識別

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項分析即可，熟練掌握其定義是解決此題的

關(guān)鍵.

【詳解】4.y=2x+l是一次函數(shù)，故不符合題意；

B.-是反比例函數(shù)，故不符合題意；

2x

C.y=d+2是二次函數(shù)，故符合題意；

D.丁=際豆不是二次函數(shù)，故不符合題意；

故選：C.

【變式1-1]（23-24九年級上?上海松江?期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

■2

A.y=x-2B.y=x2C.>?=x2-（x+l）'D.y=—

x

【答案】B

【知識點】二次函數(shù)的識別

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如y=ad+云+c（a、b、c?是常

數(shù)，。工0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

根據(jù)二次函數(shù)的定義選擇正確的選項即可.

【詳解】4、y=x-2是??次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、）=/符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

C、），=丁一。+1）2=一2工-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

2

。、y不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意.

X

故選：B.

【變式1-2]（23-24九年級上.上海浦東新?期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+lB.y=x2+\

16

C.y=（x-\）2-x2D.y=—

x~

【答案】B

【知識點】二次函數(shù)的識別

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，形如丁:以、尿+c（a、

。、。為常數(shù)，〃工。）的函數(shù)，叫二次函數(shù).根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：人）=21+1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B.），=/+1是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

C.=+1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

D.），=二不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

x

故選:B.

【變式1-3］（23-24九年級上?上海楊浦?期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

,,2

A.y=ax1+bx+cB.y=（x-l）2-x2C.y=5x2D.y=—

【答案】C

【知識點】二次函數(shù)的識別

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐?判斷即可求解，熟記：“形如+

bx+c（a，0,其中6、「為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、當。=0時，原函數(shù)化為：y=〃x+c,則不是二次函數(shù)，故不符合題意；

B、y=（x-l）2-X2=X2-2X+1-X2=-2X+1,是一次函數(shù)，故不符合題意：

C、y=5/是二次函數(shù)，故符合題意；

2

。、y=r，分式形式，故不是二次函數(shù)，故不符合題意；

x~

故選C.

【變式1-4］（23-24九年級上.上海嘉定?期末）如果函數(shù)）=（4-1）V+依（人是常數(shù)）是二次函數(shù)，那

么上的取值范圍是.

【答案】k^\

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)

【分析】根據(jù)：“形如丁=奴2+云+4。￥0）,這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，得至此-IHO,即可.

17

【詳解】解：由題意，得："1H0,

???2"；

故答案為：2.

【考點題型二】把產(chǎn)4X2+Z?X+C,化成頂點式

【例2】（23-24九年級上.甘肅白銀.期末）用配方法將函數(shù)y=；i-2x+l寫成），=〃（..獷+女的形式

是_________________

【答案】y=i（x-2）2-l

【知識點】把y=ax^bx+c化成頂點式

【分析】本題主要考查了配方法，將），=g-—2x+l化為頂點式即可.

【詳解】解：）,=#-2x+l

^(x2-4x)+1

-以+4)-2+1

/if-1

故答案為：y=1（x-2）2-l

113

【變式2-1］（23-24八年級下.云南昆明?期末）拋物線y二-萬丁-1-5的頂點坐標是

【答案】（-1T）

【知識點】把y=ax2+bx+c化成頂點式

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.必須牢記二次函數(shù)的三種

形式：①一般式：y=ax2+bx+c-②頂點式：），=（工一〃『+攵：③兩根式：y=a（x-xj（x-%）.

利用配方法將拋物線的解析式），=-3--％-￡轉(zhuǎn)化為頂點式解析式，然后求其頂點坐標.

【詳解】解：??1y=-gx2-x-￥=-g（x+iy-6,

.*拋物線丁=-1x2-X-y的頂點坐標是（-1,-6）,

故答案為：（—1,-6）.

18

【變式2-2](23-24九年級上?四川廣元?期末)若把二次函數(shù)y=f-2.”2化為)，=(4-爐+4的形式，其

中力M為常數(shù)，則〃+k=.

【答案】-2

【知識點】把y-ax2+bx+c化成頂點式

【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點式.先由二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到〃M的值，即可求解.

【詳解】解：由題意得，y=x2—2x—2=x2—2.r+1—1—2=(x—1)'—3,

:.h=l,k=-3,

1.h+k=-2.

故答案為：—2.

【變式2-3](23-24九年級上?四川眉山?期末)已知二次函數(shù)丁=2/+法+?？梢詫懗蓜t

人+c的取俏范闈是.

【答案】b+c>-5

【知識點】把)~CLX2-^-hx+C化成頂點式

【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般式與頂點式的相互轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法等知識，將頂點式化成一般式確

定對應系數(shù)，然后配方即可求解，熟練能將一般式與頂點式相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：y=2(x-h)2-3=2x2-4fix+2h2-3

2

.-./7=-4A,C=2/7-3

:.b+c=2h2-3-4/?=2(/?-I)2-5>-5

故答案為：b+c>-5.

【變式2-4](23-24九年級上?北京東城?期末)用配方法將二次函數(shù))，號/筌工-的七為安心:-/爐+%

的形式為.

【答案】y=1(x-2)2-6

[知識點】把y=ax^bx+c化成頂點式

【分析】本題考查了一般式化頂點式，熟練掌握配方法是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)配方法求解即可.

【詳解】解：y=^x2-2x-4

=；任一甸-4

19

=-(x2-4.r+4-4)-4

13

=-(x-2)--2-4

=^(x-2)2-6.

故答案為：y=^（x-2）2-6.

【考點題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【例3】（23-24九年級上.上海長寧.期末）下列關(guān)于拋物線y=2/+x—3的描述正確的是（）

A.該拋物線是上升的B.該拋物線是下降的

C.在對稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的D.在對稱軸的右測該拋物線是上升的

【答案】。

【知識點】y=a.x2+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性

質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確.

【詳解】解：???拋物線），=2/+-3,

.,.tf=2>0,在對稱軸左側(cè)，該拋物線下降，在對稱軸右側(cè)上升，故選項A、B、C均錯誤，不符合題意，

選項。正確，符合題意；

故選：D.

【變式3-1］（23-24九年級上?上海浦東新?期末）下列關(guān)于二次函數(shù)y=+3的圖像與性質(zhì)的描述，正

確的是（）

A.該函數(shù)圖像經(jīng)過原點B.該函數(shù)圖像在對稱軸右側(cè)部分是上升的

C.該函數(shù)圖像的開口向下D.該函數(shù)圖像可由函數(shù)），=/的圖像平移得到

【答案】C

【知識點】y=a.x2+hx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可

得.

【詳解】解：一二次函數(shù)y=-d+3,

???拋物線開口向下，對稱軸為》軸,

20

當工>0時，y隨％的增大而減小，故選項8錯誤，選項c正確;

r=0時，y=3,

二?該函數(shù)圖象經(jīng)過點（。，3）,故選項4錯誤；

該函數(shù)圖象可由函數(shù)），=-/的圖象向上平移3個單位得到，故選項。錯誤；

故選：C.

【變式3-2］（23-24九年級上.上將嘉定.期末）拋物線）,=〃+區(qū)+。（〃工0）的對稱軸是直線x=-2,那么

下列等式成立的是（）

A.h=2aB.b=-2aC.b=4aD.b=-4a

【答案】C

【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析1本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為工=-與，進行求解后，判斷即可.

2a

【詳解】解：???拋物線產(chǎn)加+加+c（"0）的對稱軸是直線尸-2,

b=4a.

故選：C.

【變式3-3］（23-24九年級上?上海金山?期末）如果點A（2,。）、4（3,與在二次函數(shù)y=f一式的圖像

上，那么ab填","<”或"二”）

【答案】<

【知識點】廣〃爐+版的圖象與性質(zhì)

【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，分別求出當/=2時，當x=3時的函數(shù)值即可得到答

案.

【詳解】解：在y=f—3x中，當x=2時，y=22-3x2=-2,

當x=3時，J=32-3X3=0,

V-2<0,

a<b,

故答案為：<.

【變式3-4］（23-24九年級上.上每黃浦期末）已知拋物線），=〃/I以ic開口向上，且經(jīng)過點（3,4）和

21

（-2,4）,如果點（1,yJ與（2,%）在此拋物線上，那么,%.（填或“=”）

【答案】<

【知識點】）=火2+力x+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練運用二次函數(shù)圖像的對稱性和增減性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???拋物線〉，=加+6+。經(jīng)過點（3,4）和（-2,4）,

???對稱軸為x=上士a=

22

???開口向上，

:.對稱軸右側(cè)y隨X的增大而增大，

???當3<1<2時，

故答案為：<.

【考點題型四】畫二次函數(shù)產(chǎn)av2+b,r+c的圖象

【例4】（23-24九年級上.江蘇淮安.期末）畫出函數(shù)），=/-41+3的圖象，根據(jù)圖象，解決下列問題:

-2-\\Q12345

r-----------------------------------1-------1---------1-------r

??1?????

、—^2-一」—,——j

（1）當），<0時，X的取值范圍是；

（2）當二次函數(shù)到），軸的距離小于3時，），的取值范圍是

【答案】函數(shù)圖象見解析；（1）l<x<3；（2）-l<y<24

【知識點】畫產(chǎn)以2+云+c的圖象、根據(jù)交點確定不等式的解集、產(chǎn)ad+6+c的圖象與性質(zhì)

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象等知識.

根據(jù)函數(shù)解析式求得與x軸的交點坐標，與V軸的交點坐標，頂點坐標，對稱軸，根據(jù)五點法畫出二次函

數(shù)圖象，

22

（I）根據(jù)函數(shù)圖象直接求解；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接求解.

【詳解】解：令尸0,則/一4%+3=0，

解得：X]=1,工2=3,

??.拋物線與K軸的交點為（1,0）,（3,0）,

令工=0,解得：y=3,

???拋物線與y軸的交點為（0,3）,

*.*y=x2-4x+3=（x-2）2-1,

.??拋物線開口向上，頂點坐標為（2,-1）,對稱軸為直線”=2

（0,3）關(guān)于對稱軸對稱的點為（4,3）,

函數(shù)），=f—4x+3的圖象，如圖所示，

（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當）Y0時，x的取值范圍是l<x<3.

故答案為：l<x<3.

（2）當x=-3時，），=（一3/一4乂（一3）+3=24,

當工=3時，），=32-4X3+3=0,

又1?拋物線開II向上，頂點坐標為（2,-1）,

???當二次函數(shù)到1y軸的距離小于3時，），的取值范圍是-1<y<24,

故答案為：-i<y<24

23

【變式4-1]（23-24九年級上.寧夏吳忠.期末）根據(jù)要求畫出二次函數(shù)），=f-4x+3的圖象并解決相關(guān)問

題.

（1）填寫下表，并在坐標系中利用描點法畫出此拋物線;

（2）請根據(jù)圖像直接寫出：當丁?0時，自變量x的取值范圍

【答案】（1）填表見解析，圖象見解析；

（2）l<x<3.

【知識點】畫產(chǎn)組2+法+c的圖象、根據(jù)交點確定不等式的解集

【分析】（1）取適當?shù)膞的值根據(jù)函數(shù)解析式求出丁即可填寫表格，再根據(jù)表格的數(shù)值描點、連線即可畫

出函數(shù)圖象；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；

本題考查了二次函數(shù)圖象的畫法，二次函數(shù)與不等式，掌握二次函數(shù)圖象的畫法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：填表如下：

XL01234L

yL30-103L

描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖:

24

（2）解：由圖象可知，當），<。時，自變精工的取值范圍為1WXW3,

故答案為：1WXW3.

【變式4-2］（23-24九年級上.河南南陽?期末）【操作與探究】已知點P（%y）在拋物線），=f+4x+3上移

（1）在下圖的平面直角坐標系宜萬中畫出困數(shù)>=%2+4%+3的圖象；

（2）認真觀察圖象，結(jié)合所學函數(shù)知識解答下列問題：

①函數(shù)），<0時，工的取值范圍是；

②方程x+—=-4的根是；

x

③若“<力時，y隨式的增大而減小，則力的取值范圍是；

④若當mvxvo時，函數(shù)y的最小值是-1,最大值是3,直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】（1）畫圖見解析；

（2）?-3<x<-l：②N=-3,占=-1：@//<-2；?-4<m<-2.

［知識點】畫y=ax^bx+c的圖象'y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)

【