③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系（1）、若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）、若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）、若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）、若函數(shù)關于直線對稱，則．（2）、若函數(shù)關于點對稱，則．（3）、函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．四、重點難點?分類突破考點1函數(shù)的單調性及其應用例1．（2025·湖北·模擬預測）下列函數(shù)在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．例2．（24-25高三上·四川綿陽·月考）（多選題）下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【變式訓練1】、（2025·江西·一模）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式訓練2】、（2025·上海松江·二模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)的奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．考點2利用函數(shù)的單調性，求參數(shù)范圍例3．（2025·陜西西安·模擬預測）若函數(shù)在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例4．（2024·廣東韶關·一模）已知函數(shù)在上是單調函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練3】、（24-25高三下·江蘇南通·月考）已知函數(shù)在內單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練4】、（2025高三·全國·月考）若函數(shù)在上不單調，則實數(shù)a的取值范圍為.考點3函數(shù)的奇偶性及其應用例5．（2025·天津·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．例6．（2025·北京東城·模擬預測）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（

）．A． B． C． D．【變式訓練5】、（2025·上?！と＃┫铝泻瘮?shù)中是奇函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【變式訓練6】、（2025·云南曲靖·二模）（多選題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調遞增的是（

）A． B．C． D．考點4利用函數(shù)的奇偶性，求參數(shù)范圍例7．（2025·江西·模擬預測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則m＝（

）A．5 B．4 C． D．1例8．（2025·河北·模擬預測）若（其中）是偶函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．【變式訓練7】、（2025·湖南永州·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【變式訓練8】、（2025·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為．考點5對稱性與周期性例9．（2025·山西朔州·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，若，則．例10．（2025·安徽合肥·模擬預測）定義域為R的函數(shù)，其圖象關于直線對稱，已知為奇函數(shù)，且，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【變式訓練9】、（2025·云南曲靖·二模）已知函數(shù)滿足，且當時，，則的值為．【變式訓練10】、（2025·黑龍江大慶·模擬預測）函數(shù)的定義域為，且對任意的實數(shù)，都有，且，則下列說法錯誤的是（

）A．為偶函數(shù) B．為周期函數(shù)且周期為12C． D．考點6類周期函數(shù)（值域倍增、值域倍減）例11．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．例12．（2024高三下·遼寧沈陽·月考）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則當時，的最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓練11】、定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，當時，的值域為（

）A． B． C． D．【變式訓練12】、（2025·江蘇泰州市·泰州中學高三月考）設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是______.考點7抽象函數(shù)的單調性、奇偶性與周期性例13．（24-25高三上·廣東深圳·月考）已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，，則（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為4D．的圖象關于點對稱例14．（2025·山東·一模）（多選題）已知定義在R上且不恒為0的函數(shù)，對任意的，都有，則（

）A． B．為周期函數(shù)C．是奇函數(shù) D．若，則【變式訓練13】、（2025·四川·一模）（多選題）已知函數(shù)滿足：，且，那么（

）A． B．C． D．若，則【變式訓練14】、（2024·內蒙古赤峰·一模）定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有，且當時，恒成立.下列結論中可能成立的有.①為奇函數(shù)；②對定義域內任意，都有；③對，都有；④.

考點8函數(shù)性質的綜合應用例15．（2023·吉林·模擬預測）已知函數(shù)，存在實數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為6，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例16．（2023·全國·模擬預測）（多選題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，則下列判斷正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．【變式訓練15】、（2023·江西新余·二模）鐘靈大道是連接新余北站和新余城區(qū)的主干道，是新余對外交流的門戶之一，而仰天崗大橋就是這一條主干道的起點，其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，被廣大市民們美稱為“彩虹橋”，是我市的標志性建筑之一，函數(shù)解析式為，則下列關于的說法正確的是（

）A．，為奇函數(shù)B．，在上單調遞增C．，在上單調遞增D．，有最小值1【變式訓練16】、（2025·河北石家莊·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，當、且時，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．五、分層訓練1．（2025·廣東揭陽·三模）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調遞增的為（

）A． B． C． D．2．（2025·山東濟寧·二模）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2025·北京·三模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．4．（2025·四川瀘州·模擬預測）已知是奇函數(shù)，則（

）A．2 B． C．1 D．5．（2025·湖北·模擬預測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．26．（2025·重慶·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列式子中一定是定值的為（

）A． B． C． D．7．（2025·吉林·模擬預測）已知定義域為R的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．C．的最小正周期為2 D．是曲線的一條對稱軸8．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是A． B． C． D．9．（2023·四川資陽·模擬預測）已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，單調遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2025·湖南邵陽·三模）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且，，當時，單調遞減，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于直線對稱 B．函數(shù)為奇函數(shù)C． D．12．（2024·黑龍江·模擬預測）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，若，有，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．4為函數(shù)的一個周期13．（2025·廣西·模擬預測）若函數(shù)，在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.14．（2025·山東濟寧·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)．15．（2025·陜西商洛·三模）已知是偶函數(shù)，且在上單調遞增，則（

）A． B．C． D．16．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）（多選題）19世紀時期，數(shù)學家們處理大部分數(shù)學對象都沒有完全嚴格定義，數(shù)學家們習慣借助直覺和想象來描述數(shù)學對象，德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet）在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），后來人們稱之為狄利克雷函數(shù)，狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構