專題3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值目錄目錄 1一、5年高考?真題感悟 2二、課程標(biāo)準?考情分析 15【課程標(biāo)準】 15【考情分析】 15【2026考向預(yù)測】 15三、知識點?逐點夯實 16知識點1、函數(shù)的極值 16知識點2、函數(shù)的最值 16四、重點難點?分類突破 17考點1利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值 17命題點1根據(jù)圖像判斷函數(shù)極值 17命題點2求已知函數(shù)的極值 18命題點3已知函數(shù)極值或極值點，求參數(shù) 21考點2利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值 25考點5不含參函數(shù)的最值 25考點6含參函數(shù)的最值 28五、必考題型?分層訓(xùn)練 32A、基礎(chǔ)保分 32B、綜合提升 36TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考?真題感悟1．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.2．（2025·全國二卷·高考真題）（多選題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點【答案】ABD【難度】0.65【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求已知函數(shù)的極值點、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.【詳解】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；對B，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則是極大值點，故D正確；故選：ABD.3．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值點【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當(dāng)時，，當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當(dāng)時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當(dāng)時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時，，所以，正確；故選：ACD.4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【難度】0.65【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)極值點的辨析【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值點，故D錯誤.故選：.5．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【難度】0.65【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD6．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【難度】0.65【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、求已知函數(shù)的極值點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.7．（2025·全國二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則【答案】【難度】0.85【知識點】求函數(shù)值、根據(jù)極值點求參數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因為是函數(shù)極值點，所以，得，當(dāng)時，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；所以.故答案為：.8．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.【難度】0.65【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點.，若，則時，，時，，故為的極小值點，無極大值點，故舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設(shè)要求；若，則時，，無極值點，舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設(shè)要求；綜上，且.9．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【難度】0.65【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、求已知函數(shù)的極值點【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點；再結(jié)合和時的正負情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【詳解】（1）由題得，因為，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點，對函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因為，時，所以時，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點.（2）（i）由（1）知，則，，，則，，，即在上單調(diào)遞減.（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對任意，所以.10．（2025·全國一卷·高考真題）（1）設(shè)函數(shù)，求在的最大值；（2）給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；（3）設(shè)，若存在使得對恒成立，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【難度】0.4【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、解余弦不等式【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點，討論導(dǎo)數(shù)的符號后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時的范圍，對于時，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因為，故，故，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個與交集都為空，則對每個，必有或之一成立.此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因為，故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，令，則，而，，故，當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對任意恒成立，則對這樣的，同樣有.所以對任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過，再結(jié)合，就得到均不超過.假設(shè)，則，故.但這是不可能的，因為三個角和單位圓的交點將單位圓三等分，這三個點不可能都在直線左側(cè).所以假設(shè)不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個方面，可知的最小值是.二、課程標(biāo)準?考情分析【課程標(biāo)準】（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件．（2）會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．（3）會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．【5年考情分析】5年考情分析考題示例考點分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）2025年新I卷，第19題,17分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)很難2025年新Ⅱ卷，第18題,15分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值(含參)很難2024年新I卷，第10題,6分求已知函數(shù)的極值點一般2024年新Ⅱ卷，第11題,6分極值與最值的綜合應(yīng)用一般2024年新Ⅱ卷，第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)較難2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點的辨析一般2023年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)較難2023年新Ⅱ卷，第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)較難2023年新Ⅱ卷，第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)很難2022年新I卷，第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)一般2022年新I卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點較難2022年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)很難【2026考向預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-13-15分。高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)容．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．最終的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因為它們是導(dǎo)數(shù)永恒的主題．

三、知識點?逐點夯實知識點1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟：（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．知識點2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注意：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．四、重點難點?分類突破考點1利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值命題點1根據(jù)函數(shù)圖像判斷極值例1、函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.94【知識點】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系【分析】本題利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，便可以解題.，函數(shù)為增函數(shù)，，函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖形找到對應(yīng)區(qū)間就可以得出答案.【詳解】由圖象知，當(dāng)或時，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)或時，，函數(shù)為減函數(shù)，對應(yīng)圖象為A.故選：A．【變式訓(xùn)練1】、（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．有三個零點 D．有三個極值點【答案】A【難度】0.65【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像得到單調(diào)性和極值，進而推出極值點個數(shù)，比較函數(shù)值大小即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像知道：正0非正0正增極大值減極小值增對于A，，單調(diào)遞減，則，則A正確；對于B，自變量在不同區(qū)間，都比小，但不能比較它們大小，則B錯誤；對于C，不能確定零點個數(shù)，則C錯誤；對于D，函數(shù)有兩個極值點，則D錯誤.故選：A．命題點2求已知函數(shù)的極值例2、（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為 B．的極小值點為1C．的極大值為 D．的最小值為【答案】C【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、求已知函數(shù)的極值點【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，令，利用導(dǎo)數(shù)法求得的單調(diào)性及函數(shù)值的符號，進而求得的單調(diào)區(qū)間，求出最大值后可逐項判斷正誤.【詳解】因為，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以．故選：C例3、（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與x軸平行．(1)求a，b；(2)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)，(2)兩個【難度】0.85【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、求已知函數(shù)的極值【分析】（1）由題意知，，，求導(dǎo)數(shù)，代入計算，即可得解；（2），令，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的變號零點的個數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷變號零點個數(shù)，從而得解.【詳解】（1）由題得，解得，又，則，解得，故，（2）由（1）可知，令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又，，，，使得，故，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在遞增，所以有兩個極值點．【變式訓(xùn)練2】、（2025·遼寧盤錦·三模）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則的極小值為．【答案】【難度】0.65【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、求已知函數(shù)的極值【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再求出極小值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，令，解得，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的極小值為.故答案為：【變式訓(xùn)練3】、已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】C【解析】由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當(dāng)時，；當(dāng)c<x<e時，；當(dāng)x>e時，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．故選：C．命題點3已知極值或極值點求參數(shù)例4、（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的極值點，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【難度】0.65【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定極值點求出并驗證即得.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由是的極值點，得，解得，此時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此是的極值點，所以.故選：B例5、（2025·廣西北海·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是．【答案】【難度】0.4【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】令得，令，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為的圖象和直線的交點問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】的定義域為，因為有兩個極值點，所以函數(shù)在上有兩個變號零點，令，則，即，所以，令，所以將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為的圖象和直線的交點問題，求導(dǎo)得，令，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則恒成立，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，又因為，則的圖象如圖所示，要使的圖象和直線有兩個交點，由圖象知，即，所以的取值范圍為．【變式訓(xùn)練4】、（2025·遼寧·三模）若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.4【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】由題意可得是的變號零點，則可求出并通分化簡后得到，再檢驗時，是否為函數(shù)的極大值點即可得.【詳解】，由，則，，故恒成立，令，由是函數(shù)的極大值點，故，解得，當(dāng)時，，則，，即且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點，符合要求.故選：A.【變式訓(xùn)練5】、（2024·全國·一模）已知函數(shù)在上存在極值，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【難度】0.85【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再探討并求出極值點，列式求出范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，無極值點；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則是函數(shù)的極值點，依題意，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：考點2利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值命題點1不含參函數(shù)的最值例6、（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求得最大值.【詳解】，，，，即，在上單調(diào)遞增，.故選：D.例7、（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的值域．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出和的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出兩端點函數(shù)值及極值，通過比較，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，可得，且，所以切線的斜率為，切點為，則所求切線方程為．（2）由（1）得，當(dāng)時，可得．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，所以函數(shù)的值域為．【變式訓(xùn)練6】、（2025·湖南·三模）已知是偶函數(shù)，則的最大值為.【答案】【難度】0.65【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可得，再由利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性可得其最大值.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱，易知定義域為，即，因此的解集為；即可得，所以；此時，經(jīng)檢驗滿足，符合題意；此時的定義域為，且，易知當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，可知在處取得極大值，也是最大值，即；所以的最大值為.故答案為：【變式訓(xùn)練7】、（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若是的兩個極值點，且，求a的最大值．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、根據(jù)極值點求參數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而求出最小值；（2）求導(dǎo)，得到是方程的兩個正根，從而得到不等式，求出，由韋達定理整理得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為是的兩個極值點，所以是方程的兩個正根，則有解得．且，而，所以，又，下面證明在上單調(diào)遞增，理由如下：在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，易知，即，所以，故．命題點2含參函數(shù)的最值例8、（24-25高三下·廣東梅州·周測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的最小值是2，求實數(shù)a的值．【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）將代入求出，再由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，然后由點斜式得到直線方程即可；（2）求導(dǎo)后分和討論，當(dāng)時找到零點，由單調(diào)性可得函數(shù)的最值進而可求.【詳解】（1）當(dāng)時，，將代入得：，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點處切線的斜率為，因此，曲線在點處的切線方程為：，即：．（2）對求導(dǎo)：，①當(dāng)時，恒有，于是在上單調(diào)遞減，此時，無最小值；②當(dāng)時，令，得，當(dāng)都有在上單調(diào)遞減；當(dāng)都有在上單調(diào)遞增因此在處取得最小值，依題意，，即：解得：．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2．例9、（2022·福建莆田·三模）已知函數(shù)的最小值是4．則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【難度】0.65【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可，這里需要用到的二階導(dǎo)數(shù)【詳解】由題，，，所以單調(diào)遞增，又，所以，，故為最小值點，即，解得，故選：A【變式訓(xùn)練8】、（24-25高三上·安徽宿州·期末）若不等式（是自然對數(shù)的底數(shù)）對任意恒成立，則當(dāng)取最大值時，實數(shù).【答案】【難度】0.4【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】根據(jù)題意，令，可知當(dāng)時符合題意，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，進而得解.【詳解】由題意可知，令，當(dāng)時，研究函數(shù)與的圖象，因為，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最小值為，而為單調(diào)遞減的直線，如圖，此時不恒成立，不符合題意；當(dāng)時，，令，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且由于函數(shù)有最小值為，所以當(dāng)時，方程有解，設(shè)解為，則，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，由題意恒成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)可知方程有解，設(shè)解為，則，從而表示出的最小值，進而求解.【變式訓(xùn)練9】、（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求最值.【答案】(1)(2)答案見解析【難度】0.85【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】（1）通過求導(dǎo)得到切線斜率，利用點斜式即可求得切線方程；（2）將函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷求解函數(shù)的最值.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得：，則，，則在處的切線方程：，即；（2）由求導(dǎo)得：，①當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，無最值；②當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以在有最小值，為,無最大值.五、分層訓(xùn)練1．（24-25高三下·廣東東莞·周測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．有2個極值點 B．在處取得極小值C．有極大值，沒有極小值 D．在上單調(diào)遞減【答案】C【難度】0.94【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、求已知函數(shù)的極值、函數(shù)極值點的辨析【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出導(dǎo)函數(shù)的符號分布情況，進而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，，僅時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個極值大點，無極小值點，所以有極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.2．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的極值點，則函數(shù)的極小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【難度】0.65【知識點】求已知函數(shù)的極值、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定極值點求出，進而求出極小值.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，由是函數(shù)的極值點，得，解得，函數(shù)，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的極小值.故選：A3．（2025·吉林長春·一模）已知函數(shù)的極大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)【分析】借助導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合極大值為，對分類討論求出，驗證即可.【詳解】由題意，，則，令，解得或，當(dāng)時，在，上滿足，單調(diào)遞增，在上滿足，單調(diào)遞減，所