南大高數(shù)考試題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.1B.3C.\(\frac{1}{3}\)D.03.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.44.曲線\(y=x^2\)與\(y=1\)所圍成圖形的面積為（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{5}{3}\)5.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(e^{-x}\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)6.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.17.函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點8.設(shè)\(z=\ln(x+y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(\frac{1}{x+y}\)B.\(\frac{1}{x}\)C.\(\frac{1}{y}\)D.\(\frac{-1}{x+y}\)9.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的10.微分方程\(y^\prime=y\)的通解是（）A.\(y=e^x+C\)B.\(y=Ce^x\)C.\(y=Cx\)D.\(y=x+C\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求極限的方法（）A.等價無窮小替換B.洛必達法則C.重要極限D(zhuǎn).夾逼準則3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點連續(xù)4.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)連續(xù)B.函數(shù)在該點連續(xù)C.\(\lim_{\Deltax\to0,\Deltay\to0}\frac{\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay}{\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}}=0\)D.偏導(dǎo)數(shù)存在6.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)7.對于多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的是（）A.駐點一定是極值點B.極值點一定是駐點C.偏導(dǎo)數(shù)為0的點是駐點D.函數(shù)在某點取得極值，該點可能不是駐點8.以下哪些是常見的微分方程類型（）A.一階線性微分方程B.可分離變量的微分方程C.二階常系數(shù)齊次線性微分方程D.全微分方程9.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)可以使用的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.幾何意義法10.函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=f^\prime(x)\)的幾何意義包括（）A.函數(shù)在某點的切線斜率B.函數(shù)在某點的變化率C.函數(shù)圖象的凹凸性D.函數(shù)的單調(diào)性三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）2.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的選取無關(guān)。（）4.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)存在，則函數(shù)在該點一定可微。（）6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)。（）7.函數(shù)\(y=f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}>0\)的區(qū)間是函數(shù)的凹區(qū)間。（）8.微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）9.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）10.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在某點的梯度方向是函數(shù)在該點變化最快的方向。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的\(\epsilon-\delta\)定義。答：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)（不論它多么小），總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\epsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時的極限，記作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。2.簡述不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：牛頓-萊布尼茨公式建立了二者聯(lián)系，定積分可通過求原函數(shù)（不定積分）來計算。區(qū)別：不定積分是所有原函數(shù)的集合，結(jié)果是函數(shù)；定積分是積分和的極限，結(jié)果是數(shù)值，且有積分上下限。3.簡述判斷函數(shù)極值的第一充分條件。答：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（\(x_0\)處可不可導(dǎo)均可）。若\(x\)在\(x_0\)左側(cè)鄰域\(f^\prime(x)>0\)，右側(cè)鄰域\(f^\prime(x)<0\)，則\(f(x_0)\)是極大值；若左側(cè)\(f^\prime(x)<0\)，右側(cè)\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x_0)\)是極小值。4.簡述冪級數(shù)的收斂半徑的求法。答：對于冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)，若\(\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)（\(\rho\)可為\(0\)，正數(shù)，\(+\infty\)），當(dāng)\(\rho\neq0\)時，收斂半徑\(R=\frac{1}{\rho}\)；當(dāng)\(\rho=0\)時，\(R=+\infty\)；當(dāng)\(\rho=+\infty\)時，\(R=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與凹凸性。答：對\(y=\frac{1}{x-1}=(x-1)^{-1}\)求導(dǎo)，\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。再求二階導(dǎo)\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{(x-1)^3}\)，當(dāng)\(x>1\)，\(y^{\prime\prime}>0\)，為凹區(qū)間；當(dāng)\(x<1\)，\(y^{\prime\prime}<0\)，為凸區(qū)間。2.討論多元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。答：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)，令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，得駐點\((1,-2)\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=0\)，\(C=z_{yy}=2\)，\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以在\((1,-2)\)處有極小值\(z(1,-2)=1+4-2-8=-5\)。3.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\)的斂散性（\(p\)為實數(shù)）。答：當(dāng)\(p\leq0\)時，\(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\neq0\)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)\(0<p\leq1\)時，由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，且\(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，原級數(shù)條件收斂；當(dāng)\(p>1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}|\)收斂，原級數(shù)絕對收斂。4.討論微分方程\(y^\prime+y=e^{-x}\)的解法思路。答：這是一階線性非齊次微分方程，先求對應(yīng)的齊次方程\(y^\prime+y=0\)的通解，分離變量得\(\frac{dy}{y}=-dx\)