拓展拔高練(時間:45分鐘分值:50分)1.(5分)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,BB1,B1C1的中點(diǎn),則過這三點(diǎn)的截面的形狀是()A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【解析】選D.如圖,分別取D1C1,D1D,AD的中點(diǎn)H,M,N,連接GH,HM,MN,EN,EF,FG,因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,BB1,B1C1的中點(diǎn),所以HG∥EN,HM∥EF,FG∥MN,所以六邊形EFGHMN是過點(diǎn)E,F,G的截面,所以過這三點(diǎn)的截面的形狀是六邊形.【加練備選】已知一個棱柱的底面是正六邊形,側(cè)面都是正方形,用至少過該棱柱三個頂點(diǎn)(不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi))的平面去截這個棱柱,所得截面的形狀不可能是()A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五邊形 D.正六邊形【解析】選D.如圖①,可知,截面ABC為等腰三角形,選項(xiàng)A可能;截面ABEF為等腰梯形,選項(xiàng)B可能;如圖②,截面AMDEN為五邊形,選項(xiàng)C可能;因?yàn)閭?cè)面是正方形,只有平行于底面的截面才可能是正六邊形,故過棱柱的頂點(diǎn)不可能得到正六邊形,選項(xiàng)D不可能.2.(5分)在三棱錐P-ABC中,AB+2PC=9,E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn),過E作平行于AB,PC的平面,則該平面截三棱錐P-ABC所得截面的周長為()A.5 B.6 C.8 D.9【解析】選B.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,過點(diǎn)E分別作EF∥AB,EH∥PC,再分別過點(diǎn)H,F作HG∥AB,FG∥PC,可得E,F,G,H四點(diǎn)共面,因?yàn)锳B?平面EFGH,EF?平面EFGH,所以AB∥平面EFGH,同理可證,PC∥平面EFGH,所以截面即為平行四邊形EFGH,又由E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn),且AB+2PC=9,得EF=13AB,EH=23所以平行四邊形EFGH的周長為2(EF+EH)=23(AB+2PC)=63.(5分)(2024·朔州模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為3,E為棱BB1上靠近B1的三等分點(diǎn),則平面AED1截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面面積為()A.211 B.411 C.222 D.422【解析】選C.延長AE,A1B1交于點(diǎn)F,連接D1F交B1C1于點(diǎn)G,連接GE,如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,因?yàn)槠矫鍭FD1∩平面ADD1A1=AD1,平面AFD1∩平面BCC1B1=EG,所以AD1∥GE.又因?yàn)锳D1=32,GE=2,所以四邊形AEGD1是梯形,且為平面AED1截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面.又因?yàn)镈1G=AE=13,在等腰梯形AEGD1中,過點(diǎn)G作GH⊥AD1于點(diǎn)H,所以GH=D1G2-D1H2=11,所以S=12(EG+AD1)·GH=14.(5分)從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐(以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓,下底面圓心為頂點(diǎn))而得到的幾何體如圖所示,用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體,則截面圖形的面積為()A.4π-4 B.4π C.4π-2 D.2π-2【解析】選C.截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個正方形,且圓的半徑是2,則截面圓的面積為4π,設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長為a,則2a2=16,所以a=22,正四棱錐的底面正方形的面積為(22)2=8,由正四棱錐中截面的性質(zhì),可得圓面中挖去的正方形與正四棱錐的底面正方形相似,設(shè)圓面中挖去的正方形的面積為S',正四棱錐的底面正方形的面積為S,則S'S=S'8=14,從而5.(5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,BB1的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)C1,D,M的平面把正方體分成兩部分,則較小部分的體積為()A.523 B.18 C.563 D【解析】選C.如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接DC1,C1M,ME,DE,則易知截面是等腰梯形C1MED,則較小的部分是三棱臺BEM-CDC1.S△BEM=12×2×2=2,S△CDC1=12×4×4=8,所以較小部分的體積V=6.(5分)(多選題)用一個平面截正方體,則截面的形狀不可能是()A.銳角三角形 B.直角梯形 C.正五邊形 D.正六邊形【解析】選BC.對于A,截面圖形如果是三角形,只能是銳角三角形,不可能是直角三角形和鈍角三角形.如圖所示的截面為△ABC.設(shè)DA=a,DB=b,DC=c,所以AC2=a2+c2,AB2=a2+b2,BC2=b2+c2.所以由余弦定理得,cos∠CAB=AB2+所以∠CAB為銳角.同理可求,∠ACB為銳角,∠CBA為銳角,所以△ABC為銳角三角形,故A不符合題意;對于B,如圖,截面圖形如果是四邊形,可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形,不可能是直角梯形,故B符合題意;對于C,如圖,當(dāng)截面為五邊形時,不可能出現(xiàn)正五邊形,故C符合題意;對于D,當(dāng)截面過棱的中點(diǎn)時,如圖,截面為正六邊形,故D不符合題意.7.(5分)(多選題)如圖,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為A1D1的中點(diǎn),F為CC1上的一個動點(diǎn),設(shè)由點(diǎn)A,E,F構(gòu)成的平面為α,則()A.平面α截正方體的截面可能是三角形B.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時,平面α截正方體的截面面積為26C.點(diǎn)D到平面α的距離的最大值為2D.當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時,平面α截正方體的截面為五邊形D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t,0)(t∈[2,4]),=(2,0,0),=(-2,t,0),=(2,0,-4),則可知點(diǎn)P到直線AM的距離為d==20t2S△APM=12t2+4·S△PAD=12設(shè)點(diǎn)D到平面α的距離為h,利用等體積法VD-APM=VM-PAD,即13·S△APM·h=13·S△PAD·t,可得h=4t因?yàn)閔=45+16t2在t所以當(dāng)t=4時,h取到最大值,最大值為263,故C8.(5分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=5,AA1=3,M為線段BB1上的一動點(diǎn),則過A,M,C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為________.

【解析】由題意可知過A,M,C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長即△AMC1的周長,因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的各側(cè)面均為矩形,所以AC1=AC2+直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面部分展開圖如圖所示,則在矩形ACC1A1中,AM+MC1≥AC1=AC2+所以過A,M,C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為32+14.答案:32+149.(5分)(2024·曲靖模擬)“中國天眼”(如圖1)是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡,其形狀可近似地看成一個球冠(球冠是球面被平面所截的一部分,如圖2所示,截得的圓叫做球冠的底,垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高.若球面的半徑是R,球冠的高度是h,則球冠的面積S=2πRh).已知天眼的球冠的底的半徑約為250米,天眼的反射面總面積(球冠面積)約為25萬平方米,則天眼的球冠高度約為________米.(參考數(shù)值:4π-1≈0【解析】由題意得(R-h)2+2502=R2,則2Rh=h2+2502,則S=2πRh=πh2+2502π=250000,所以h2=250000-2502π所以h=2504π-1≈250×0答案:13010.(5分)已知在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=2,AC=2,點(diǎn)E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn),直線AF,CE相交于點(diǎn)G,則過點(diǎn)G的平面α截三棱錐S-ABC的外接球球O所得截面面積的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)锳B2+BC2=AC2,故AB⊥BC,又因?yàn)镾A⊥平面ABC,故三棱錐S-ABC的外接球球O的半徑R=2+2+22=6取AC的中點(diǎn)D