重慶南開中學(xué)學(xué)年高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分．滿分分，考試時間分鐘．第I卷和第卷都答在答題卷上．第I卷（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集和補集的運算求解.【詳解】．．故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定方法，判斷出正確結(jié)果即可.【詳解】由題意可知命題“”的否定是“”.故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.第1頁/共18頁【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分母不為零，求解得即可；【詳解】由，得且，所以函數(shù)的定義域為，故選：A.4.如圖是指數(shù)函數(shù)的部分圖象，已知取這四個值，則曲線相對應(yīng)的依次為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，結(jié)合圖象即可得到.【詳解】當(dāng)時，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值.故選：D.5.函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和定義域，判斷函數(shù)值域即可.第2頁/共18頁【詳解】由題意可知函數(shù)定義域為，即定義域，可知在定義域上單調(diào)遞增，可知，所以．故選：B.6.設(shè)函數(shù)的定義域為，則“是奇函數(shù)”是“對任意，都有”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過舉反例證明充分性不成立，利用賦值法結(jié)合奇函數(shù)定義證明必要性成立.【詳解】若，其為奇函數(shù)，但，故其充分性不成立；若對任意，都有，令，則；令，則，即是奇函數(shù)，故其必要性成立；綜上可知“是奇函數(shù)”是“對任意，都有”的必要不充分條件.故選：B.7.若正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式得出，求得，化簡得出，結(jié)合基本不等式第3頁/共18頁【詳解】由可得，因為，，由可得，故，且，故.當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：D.8.若函數(shù)是定義域為等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出在上的單調(diào)性，及函數(shù)值的正負(fù)，然后分類求解即可．【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，故可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且；故：當(dāng)時，，當(dāng)時，：當(dāng)時，或；當(dāng)時，或此情況無解．第4頁/共18頁故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，，即為奇函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，A不滿足要求；對于B選項，函數(shù)定義域為，，即函數(shù)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞增，B滿足要求；對于C選項，函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不滿足要求；對于D選項，函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為偶函數(shù)，第5頁/共18頁當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，D滿足要求.故選：BD.10.已知，則下列不等關(guān)系一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】作差，然后消元得，然后由的范圍得到的正負(fù)，從而判斷A選項；由基本不等式得到，然后整理后利用不等式基本性質(zhì)得到結(jié)論判斷B選項；取特殊值判斷C選項；由基本不等式求得的范圍，判斷D選項.【詳解】∵，即，且，則，∵，，∴，即，A選項正確；∵，∴，即，∵，∴，∴，B選項正確；取，則，則，，此時，C選項錯誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，D選項正確.故選：ABD.若函數(shù)的定義域為，且對任意，總存在，使得成立，則稱具有性質(zhì)．下列說法正確的有（）第6頁/共18頁A.函數(shù)不具有性質(zhì)B.函數(shù)不具有性質(zhì)C.函數(shù)一定具有性質(zhì)D函數(shù)一定具有性質(zhì)【答案】ACD【解析】【分析】選項A，直接利用定義求解即可；選項B，直接利用定義求解即可；選項C，當(dāng)時，作出的圖象，根據(jù)定義判斷即可；選項D，先將函數(shù)寫出分段函數(shù)，分別按照，，三種情況討論求解.【詳解】選項A，且，不具有性質(zhì),故A錯誤.函數(shù)具有性質(zhì)的圖象特征:對于圖象上任意一點，在這個點的左邊的圖象上存在函數(shù)值比這個點的函數(shù)值小的點；或者在這個點的右邊的圖像上存在函數(shù)值比這個點函數(shù)值大的點.選項B，觀察的圖象，易知它具有性質(zhì),故B錯誤.選項C，當(dāng)時，作出的圖象，易知它具有性質(zhì)，故C正確.選項D，，分離常數(shù)得，第7頁/共18頁為連續(xù)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，具有性質(zhì).②當(dāng)，，結(jié)合圖象可知具有性質(zhì).③當(dāng)，在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增．當(dāng).而成立．對任意，若，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，可取，則有若，則，由于函數(shù)在上的值域為，且.故總能找到使得，此時，亦有.綜上，此情況下函數(shù)具有性質(zhì)．故D正確.第8頁/共18頁第卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共分．各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位12.已知集合，則集合的子集個數(shù)為___________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，求出集合中的元素的個數(shù)，進而求出集合子集的個數(shù).【詳解】由題意得，化簡得，解得，所以集合，有三個元素，則集合的子集個數(shù)為.故答案為：8.13.當(dāng)生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的元素含量會按確定的比率衰減．剛死亡的生物體某元素含量為，經(jīng)過天后元素含量與時間（天）的關(guān)系式為：．已知生物體死亡10天后，它機體內(nèi)該元素含量變?yōu)椋╛__________天后，它機體內(nèi)該元素含量變?yōu)椋ā敬鸢浮?5【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)的運算法則，列出方程，求出參數(shù)值，進而求出結(jié)果【詳解】由題意可知，化簡得，解得，則，第9頁/共18頁可得，化簡得，解得.故答案為：14.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次不等式的解法，求出函數(shù)值域的范圍，根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)值進行分類討論，列出不等式，求出參數(shù)范圍即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，，，，有且只有一個整數(shù)解可知解集非空，則，因，可知當(dāng)時，即，即，有且只有一個整數(shù)解則只有時才能成立，即，此時整數(shù)解為；當(dāng)時，即，即，有且只有一個整數(shù)解則只有時才能成立，即，此時整數(shù)解為，綜上．的取值范圍為．四、解答題：本題共5個小題，共分．各題解答必須答在答題卡上（必須寫出必要的文字15.已知集合．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．第10頁/共18頁【答案】（1）（2）【解析】1）分別求出各個集合，再進行混合運算即可.（2）對集合是否為空集進行分類討論，再結(jié)合集合的包含關(guān)系求解參數(shù)即可.【小問1詳解】若，則，，令，解得，則得到【小問2詳解】①當(dāng)時，得到，解得，符合題意，②當(dāng)時，即時，令，解得，可得，得到，解得，綜上可得，．16.已知二次函數(shù)滿足，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，代入，計算求解；（2）將代入，得到，按照，，三種情況第11頁/共18頁【小問1詳解】（1）設(shè)，，即，；【小問2詳解】（2）．①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，③當(dāng)時，．綜上：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.17.情．賽前球迷自發(fā)組織助威活動，賽后街頭巷尾熱議賽事細(xì)節(jié)，社交媒體上相關(guān)話題更是持續(xù)刷屏．某網(wǎng)站統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，該賽事開賽后48小時內(nèi)網(wǎng)絡(luò)熱度值關(guān)系為；②當(dāng)時，雖熱度逐漸冷卻，但重慶球迷仍持續(xù)關(guān)注，函數(shù)關(guān)系為（1）當(dāng)時間為多少時，網(wǎng)絡(luò)熱度值最大，并求出最大值；（2）該網(wǎng)站把“網(wǎng)絡(luò)熱度值超過220萬次點擊的時間段”稱為“霸榜時段”，求“渝超”開賽后48小時內(nèi)的“霸榜時段”．【答案】（1）當(dāng)時，取得最大值280．（2）第7至第13小時.第12頁/共18頁【解析】1）分和，利用單調(diào)性求解最值；（2）分和，解不等式求解范圍.小問1詳解】①當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時．②當(dāng)時，．故單調(diào)遞減．此時．所以，當(dāng)時，取得最大值280．小問2詳解】①當(dāng)時，令，即，解得或：②當(dāng)時，令，即，解得，;綜上，霸榜時段為第7至第13小時.18.已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時，；③對于，都有．（1）求及，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；第13頁/共18頁（3）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)題干等式，通過賦值求出函數(shù)值即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，以及條件等式，通過賦值法，用定義法證明函數(shù)單調(diào)遞增即可；（3）根據(jù)題目條件，對不等式進行化簡，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，列出不等式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造新函數(shù)，對參數(shù)進行分類討論，求出參數(shù)范圍.【小問1詳解】令，得，故．令，得，故【小問2詳解】對于，不妨設(shè)，令，則，即，，，即．因此在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】令，得，且，因此對于恒成立，即恒成立，即恒成立．第14頁/共18頁又因為在上單調(diào)遞增，故只需當(dāng)時，恒成立即可．令．則當(dāng)時，．令，函數(shù)開口朝上，對稱軸為，①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得或，即．②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，此時無解．③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得或，即．綜上：.19.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【答案】（1）（2i）ii）證明見解析【解析】1）由方程，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)通過分析的單調(diào)性，求得的值域，即的取值范圍，從而得到的取值范圍；（2的方程在區(qū)間第15頁/共18頁數(shù)令的取ii和而證得．【