武漢市英格中學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．在我們認(rèn)識(shí)的多邊形中，有很多軸對(duì)稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對(duì)稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對(duì)稱軸．回答下列問(wèn)題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對(duì)稱軸，非正方形的長(zhǎng)方形有________條對(duì)稱軸，等邊三角形有___________條對(duì)稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實(shí)線畫(huà)出），它們的共同點(diǎn)是只有1條對(duì)稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請(qǐng)你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個(gè)只有1條對(duì)稱軸的凸五邊形，并用實(shí)線畫(huà)出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個(gè)恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長(zhǎng)方形，圖2中是他沒(méi)有完成的圖形，請(qǐng)用實(shí)線幫他補(bǔ)完整個(gè)圖形；（4）請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形，并用虛線標(biāo)出對(duì)稱軸．2．（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項(xiàng)角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號(hào)填在橫線上)．（延伸應(yīng)用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．3．閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側(cè)作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F．請(qǐng)?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，交流了自已的想法：小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠DFC的度數(shù)可以求出來(lái)．”小強(qiáng)：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段DF和CF之間存在某種數(shù)量關(guān)系．”小偉：“通過(guò)做輔助線構(gòu)造全等三角形，就可以將問(wèn)題解決．”......老師：“若以AB為邊向AB右側(cè)作等邊△ABE，其它條件均不改變，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．”（1）求∠DFC的度數(shù)；（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在圖2中補(bǔ)全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，證明，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形和全等，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（4）若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？7．已知ABC，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線上）．連接PB、PC，設(shè)∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時(shí)，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論．（2）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，直接寫(xiě)出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．8．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．9．在中，，，是的角平分線，于點(diǎn).（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以為一邊，在下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證：；（3）如圖3，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn).直接寫(xiě)出，與數(shù)量之間的關(guān)系.10．探索發(fā)現(xiàn)：……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（3）利用規(guī)律解方程：11．對(duì)定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)）．例如：．（1）已知．①求的值；②若關(guān)于的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)都成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足的關(guān)系式．學(xué)習(xí)參考：①，即單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加；②，即多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式就是用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加．12．如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)重合），連接AD，作，DE交邊AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．求∠BDC的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)F，求∠BFC的大小（用含α的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．14．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．閱讀材料并完成習(xí)題：在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來(lái)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長(zhǎng)線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請(qǐng)你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．16．已知ABCD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E的位置如圖1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，則∠F=°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是．（3）若點(diǎn)E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且，設(shè)∠F=α，則α的取值范圍為．17．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中；（1）如圖2，當(dāng)∠α＝時(shí)，，當(dāng)∠α＝時(shí)，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．18．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．19．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：AD＝CE，CD＝BE．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y＝﹣3x+3與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線PQ繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．20．問(wèn)題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請(qǐng)寫(xiě)出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，3)，請(qǐng)直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．（1）1，2，3；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進(jìn)行畫(huà)圖即可；（3）長(zhǎng)方形具有兩條對(duì)稱軸，在長(zhǎng)方形的右側(cè)補(bǔ)出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個(gè)恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎(chǔ)上加以修改，即可得到恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對(duì)稱軸，非正方形的長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對(duì)稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形如圖所示．2．（1）證明見(jiàn)解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進(jìn)而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒(méi)辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長(zhǎng)DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．3．（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見(jiàn)解析；（3）AF=EF+2DF，證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數(shù)；（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE為等邊三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設(shè)∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，證明如下：∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，連接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG為等邊三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）補(bǔ)全圖形如圖所示，結(jié)論：AF=EF+2DF．證明如下：同（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG為等邊三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．4．探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計(jì)算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡(jiǎn)單的綜合題．5．（1）證明見(jiàn)解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過(guò)全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（a，0），Q（2，b）．需要分類討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式列出方程組，通過(guò)解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設(shè)，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點(diǎn)睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，一元一次絕對(duì)值方程組的解法等知識(shí)點(diǎn)．解答（2）題時(shí)，由于沒(méi)有指明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（角），所以需要分類討論，以防漏解．6．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由詳見(jiàn)解析；（3）；（4）經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和時(shí)間相乘可得BP、CQ的長(zhǎng)；（2）利用SAS可證三角形全等；（3）三角形全等，則可得出BP=PC，CQ=BD，從而求出t的值；（4）第一次相遇，即點(diǎn)Q第一次追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)的路程比點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程多10+10=20cm的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS)（3）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴BP與CQ不是對(duì)應(yīng)邊，即BP≠CQ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=s，∴cm/s；（4）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．由題意，得x=3x+2×10，解得∴經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵還是全等的證明和利用，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題視為定點(diǎn)問(wèn)題來(lái)分析可簡(jiǎn)化思考過(guò)程．7．（1）①100；②x=y+s+t；（2）見(jiàn)詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；②結(jié)論：x=y+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結(jié)論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．8．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由詳見(jiàn)解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由詳見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四邊形的內(nèi)角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；(4)利用三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設(shè)DP與BE的交點(diǎn)為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，平角的定義，解本題的關(guān)鍵是將∠1，∠2，α轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中，是一道比較簡(jiǎn)單的中考?？碱}．9．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）結(jié)論：，證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見(jiàn)解析），延長(zhǎng)ED使得，連接MF，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證；（3）如圖（見(jiàn)解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長(zhǎng)ED使得，連接MF，是的角平分線，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結(jié)論：，證明過(guò)程如下：如圖，延長(zhǎng)BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）和（3），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造一個(gè)等邊三角形是解題關(guān)鍵．10．（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)簡(jiǎn)單的分式可得，相鄰兩個(gè)數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到和（2）根據(jù)（1）規(guī)律將乘法寫(xiě)成減法的形式，可以觀察出前一項(xiàng)的減數(shù)等于后一項(xiàng)的被減數(shù)，因此可得它們的和.（3）首先利用（2）的和的結(jié)果將左邊化簡(jiǎn)，再利用分式方程的解法求解即可.【詳解】解：（1），；故答案為（2）原式＝;（3）已知等式整理得：所以，原方程即：，方程的兩邊同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解為：x＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡(jiǎn)單的數(shù)的運(yùn)算尋找規(guī)律,是考試的熱點(diǎn).11．（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n【解析】【分析】（1）①構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；②根據(jù)不等式即可解決問(wèn)題；（2）利用恒等式的性質(zhì)，根據(jù)關(guān)系式即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①由題意得，解得，②由題意得，解不等式①得p＞-1．解不等式②得p≤，∴-1＜p≤，∵恰好有3個(gè)整數(shù)解，∴2≤＜3．∴42≤a＜54；（2）由題意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，∵對(duì)任意有理數(shù)x，y都成立，∴m=2n．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．12．（1）30，100；（2），見(jiàn)解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據(jù)平角的定義，可求出∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)和定理，即可求出∠DEC；（2）當(dāng)AB=DC時(shí)，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設(shè)ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當(dāng)DA=DE時(shí)，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；②當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED>∠C，得出此時(shí)不符合；③當(dāng)EA=ED時(shí)，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，∵，∴∴∵∴②當(dāng)時(shí)，∵∴又∵∴∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．③當(dāng)時(shí)，∴∵∴綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分線的性質(zhì)可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性質(zhì)可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點(diǎn)M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì).14．（1）時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長(zhǎng)度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；（3）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．15．（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；（2）延長(zhǎng)MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因?yàn)镠M=GH+MN易證，故可求解．【詳解】（1）由題意知，故答案為2；（2）延長(zhǎng)MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，F(xiàn)H=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長(zhǎng)補(bǔ)短法及割補(bǔ)法求面積的運(yùn)用．16．（1）①70；②∠F=∠BED，證明見(jiàn)解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【解析】【分析】（1）①過(guò)F作FG//AB，利用平行線的判定和性質(zhì)定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，利用角平分線的定義得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），求得∠ABF+∠CDF=70，即可求解；②分別過(guò)E、F作EN//AB，F(xiàn)M//AB，利用平行線的判定和性質(zhì)得到∠BED=∠ABE+∠CDE，利用角平分線的定義得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF，即可求解；（2）根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因?yàn)锳B∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結(jié)合①的結(jié)論即可說(shuō)明∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）通過(guò)對(duì)的計(jì)算求得，利用角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)求得，即可求得．【詳解】（1）①過(guò)F作FG//AB，如圖：∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴CD∥FG，∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60+80=140，∴∠ABF+∠CDF=70，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70，故答案為：70；②∠F=∠BED，理由是：分別過(guò)E、F作EN//AB，F(xiàn)M//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分別是∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=∠BED；（3）2∠F+∠BED=360°．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，∴∠BED=360°-2∠BFD，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵，∠F=α，∴，解得：，如圖，∵∠CDE為銳角，DF是∠CDE的角平分線，∴∠CDH=∠DHB，∴∠F∠DHB，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，在解答此題時(shí)要注意作出輔助線，構(gòu)造出平行線求解．17．（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數(shù)的和不變，理由見(jiàn)解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）當(dāng)∠EDA＝∠B＝40°時(shí)，，得出30°＋α＝40°，即可得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結(jié)果；（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時(shí)，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當(dāng)點(diǎn)C在DF邊上時(shí)，α＝85°，即可得出結(jié)果；②連接MN，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結(jié)論；③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，55°＜α＜85°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∴當(dāng)∠EDA＝∠B＝40°時(shí)，，而∠EDF＝30°，∴，解得：α＝10°；當(dāng)時(shí)，DE⊥AB，此時(shí)∠A+∠EDA＝180°，，∴，解得：α＝100°；故答案為10°，100°；（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，∴∠CDA＝85°，當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時(shí)，，解得：，當(dāng)點(diǎn)C在DF邊上時(shí)，，∴當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，；故答案為：；②∠1與∠2度數(shù)的和不變；理由如下：連接MN，如圖所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，∴；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴，∴∠2≥40°，∵，即，∴，∴，解得：α≤60°，∵當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，，∴∠α的度數(shù)范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、不等式等知識(shí)，合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．【解析】【分析】（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）