第一章勾股定理一、勾股定理直角三角形.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.二、勾股定理證明：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，，那么這個(gè)三角形是.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定.（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.，則△ABC是；若，則△ABC.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.四、勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的，稱為.勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①②五、平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將，利用，構(gòu)造，利用、易錯(cuò)點(diǎn)1利用勾股定理求線段的多解問題1．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，，連接，則線段的長為．2．如圖，在中，，點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，如果點(diǎn)在射線上，那么．3．已知中，，，邊上的高，求邊的長．易錯(cuò)點(diǎn)2利用勾股定理求折疊的多解問題4．如圖，在中，，，，D是的中點(diǎn)，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿折疊得到，連接．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為．5．如圖，長方形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若恰好為直角三角形，則的長為．6．如圖，中，，，，，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的三等分點(diǎn)處，則線段的長為．易錯(cuò)點(diǎn)3利用勾股定理求路徑最短問題7．2025年中國輪滑（滑板）公開賽于5月2日在江西崇義站舉行，標(biāo)志著我國鄉(xiāng)村體育發(fā)展的新突破．如圖是一名滑板選手訓(xùn)練的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為米的半圓，其邊緣米，點(diǎn)E在上，米，該選手從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為米．8．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，求它從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的最短路徑是．9．如圖，一個(gè)無蓋的正方體盒子的棱長為2，的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從盒外的點(diǎn)D沿正方體的盒壁爬到盒內(nèi)的點(diǎn)M（盒壁的厚度不計(jì)），螞蟻爬行的最短距離是．易錯(cuò)點(diǎn)4利用等面積法驗(yàn)證勾股定理問題10．“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位．現(xiàn)用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“弦圖”．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（），斜邊為c，請(qǐng)利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)試說明：(2)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求的值．11．【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a，b，c之間的一個(gè)重要結(jié)論：．【深入思考】如圖2，在中，，，，，以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，其中，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：，；（2）請(qǐng)你用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：；【實(shí)際應(yīng)用】（3）將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若，，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長度為108，求這個(gè)風(fēng)車圖案的面積．12．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖①是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種表示方法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡后得到結(jié)論．這里用兩種方法表示同一個(gè)量從而得到等式或方程，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】把兩個(gè)全等的和按如圖②所示的方式放置，其三邊長分別為a，b，c，，顯然．請(qǐng)用該圖形證明勾股定理．【方法遷移】如圖③，將長為的橡皮筋放置在一條直線上，固定兩端和，然后把中點(diǎn)豎直方向拉升至點(diǎn)，則橡皮筋被拉長了多少？易錯(cuò)點(diǎn)5勾股定理與勾股定理逆定理的綜合問題13．為提升小區(qū)綠化率，現(xiàn)將如圖所示的四邊形區(qū)域進(jìn)行改建，將四邊形全部鋪上草坪，草坪每平方米200元．經(jīng)測(cè)量，，，，，．(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)求鋪設(shè)草坪的費(fèi)用．14．如圖，為居民飲水方便，某小區(qū)設(shè)立了兩個(gè)直飲水自動(dòng)售賣機(jī)A，B，且A，B均位于地下管道的同側(cè)，售賣機(jī)A，B之間的距離（）為500米，管道分叉口M與B之間的距離為300米，于點(diǎn)N，M到的距離（）為240米．假設(shè)所有管道的材質(zhì)相同．(1)求B，N之間的距離；(2)珍珍認(rèn)為：從管道上的任意一處向售賣機(jī)B引出的分叉管道中，是這些分叉管道中最省材料的，請(qǐng)通過計(jì)算判斷珍珍的觀點(diǎn)是否正確．15．綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過去某超市實(shí)地考察調(diào)研，發(fā)現(xiàn)超市購物車的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識(shí)，并對(duì)購物車的支架等進(jìn)行測(cè)量，如圖1是某超市購物車，圖2是超市購物車的側(cè)面示意圖．測(cè)得支架，，兩輪輪軸的距離（購物車車輪半徑忽略不計(jì)），，均與地面平行．請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：(1)判斷支架與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，作圖提示：過點(diǎn)作交的延長線于，延長交于，請(qǐng)按作圖提示添加輔助線，若的長度為，，求購物車把手到的距離．（結(jié)果精確到1cm，，）一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．若，，是的三邊，則．B．若，，是的三邊，則．C．若，，是的三邊，，則．D．若三條線段長，，滿足，那么這三條線段組成的三角形是直角三角形．2．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為．在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)C處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜C點(diǎn)的最短距離為（

）A． B． C． D．3．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選項(xiàng)中的圖形，能證明勾股定理的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”證明了勾股定理．如圖是宛宛同學(xué)把四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若直角三角形較短的直角邊，斜邊，則小正方形的邊長為．5．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，求它從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的最短路徑是．6．如圖，在矩形中，，對(duì)角線，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．當(dāng)點(diǎn)落在折線上，且時(shí)，的長為．三、解答題7．如圖，在長方形紙片中，，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線所在直線折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，求的長．∵四邊形為矩形，，∴四邊形為矩形，∴，，∵四邊形為矩形，，∴四邊形為矩形，∴，，8．如圖，某小區(qū)的兩個(gè)噴泉A，B位于小路的同側(cè)，兩個(gè)噴泉之間的距離．要為噴泉鋪設(shè)供水管道，，供水點(diǎn)M在小路上，供水點(diǎn)M到的距離，．(1)求供水點(diǎn)M到噴泉A需要鋪設(shè)的管道長；(2)求證：．9．為貫徹《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》的方針政策，幫助同學(xué)們更好地理解勞動(dòng)的價(jià)值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)情感、勞動(dòng)能力和勞動(dòng)品質(zhì)，學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動(dòng)實(shí)踐基地．(1)當(dāng)班主任測(cè)量出八（1）班實(shí)踐基地的三邊長分別為，，時(shí)，二邊的小明很快給出這塊實(shí)踐基地的面積．你求出的面積為_____．(2)八（2）班的勞動(dòng)實(shí)踐基地的三邊長分別為，，，如圖，你能幫助他們求出面積嗎?10．如圖①是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理．思路：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于．另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式．化簡便得結(jié)論．這種用兩種求法表示同一個(gè)量從而得到等式或方