上海市延安中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷2025.11一、填空題（每小題3分，共36分）1.若點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，則直線AB__________平面（填合適的符號(hào)）2.已知為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)__________.3.在三棱柱各棱所在直線中，與直線異面的有__________條.4.已知平面平面，與的法向量分別為，，且，，則__________.5.三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影在底面內(nèi)，若其側(cè)面與底面所成角都相等，則點(diǎn)是的__________心.6.把水平放置的四邊形按照斜二測(cè)畫法，得到如圖所示的直觀圖，其中，則四邊形的面積為__________.7.已知圓錐的母線，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，則圓錐的表面積為_____.8.某地球儀上北緯的緯線長(zhǎng)度為，該地球儀的體積是__________.9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，是SB的中點(diǎn)，則異面直線AE與SD所成角的大小為__________.10.如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，邊的中點(diǎn)分別為，；現(xiàn)將，，分別沿,,折起，使點(diǎn)重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐，則點(diǎn)到平面ABC的距離為__________.11.如圖，求是棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球所得截面面積為__________.12.在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為__________二、選擇題（每小題3分，共12分）13.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則14.如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑（即杯口直徑）6cm，高8cm（不含杯腳），已知水的高度是4cm，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體積不變；如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠（）A.63顆 B.126顆 C.378顆 D.504顆15.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD，且，是PB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平面平面PAD，截棱錐所得圖形面積為y，若平面與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)的圖像是（）A. B. C. D.16.豆腐發(fā)酵后表面長(zhǎng)出一層白絨絨的長(zhǎng)毛就成了毛豆腐，將三角形豆腐ABC懸空掛在發(fā)酵空間內(nèi)，記發(fā)酵后毛豆腐所構(gòu)成的幾何體為T.若忽略三角形豆腐的厚度，設(shè)，點(diǎn)在內(nèi)部.假設(shè)對(duì)于任意點(diǎn)，滿足的點(diǎn)都在內(nèi)，且對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，滿足，則的體積為（）A. B. C. D.三、解答題（共52分）17.如圖所示，是直角三角形，，以為圓心，2為半徑的四分之一圓在三角形內(nèi)，圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體：（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積；18.如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若平面，求證：為的中點(diǎn)．19.在底面是直角梯形的四棱錐中，，平面，若，，，求：（1）異面直線與所成角大??；（2）直線與平面所成角大??；（3）二面角的大??；20.如圖，AC是圓的直徑，PA與圓所在的平面垂直，且為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為點(diǎn)在線段PC，PB上的投影；（1）證明：直線平面PBC；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求二面角的平面角的大小.21.在正棱錐中，為底面正邊形中心，為棱的中點(diǎn)；設(shè)正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面與底面所成的角為，底面正邊形的邊長(zhǎng)為；（1）當(dāng)時(shí)，若，求正三棱錐的高；（2）當(dāng)時(shí)，若，且，求正四棱錐底面的邊長(zhǎng)；（3）記，試確定與的大小關(guān)系，并證明.參考答案及解析：上海市延安中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷2025.11一、填空題（每小題3分，共36分）1.若點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，則直線AB__________平面（填合適的符號(hào)）【答案】【解析】【分析】由直線與平面的位置關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】直線上存在兩點(diǎn)在平面上，則.故答案為：.2.已知為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)共面，系數(shù)相加為1的性質(zhì)即可求【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，且，P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以，所以.故答案為：.3.在三棱柱各棱所在直線中，與直線異面的有__________條.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱柱的幾何特征以及異面直線的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)三棱柱的幾何特征以及異面直線的定義有、與直線異面，所以三棱柱各棱所在直線中，與直線異面的有條.故答案為：4.已知平面平面，與的法向量分別為，，且，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平面平行時(shí)，法向量互相平行，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，與的法向量分別為，，所以，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：5.三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影在底面內(nèi)，若其側(cè)面與底面所成角都相等，則點(diǎn)是的__________心.【答案】?jī)?nèi)心【解析】【分析】作出三個(gè)二面角，利用三角形全等得出到的三邊距離相等，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，連接，由分別向線段，，引垂線，垂足分別為，，，連結(jié)，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，，所以為平面與平面的二面角，同理可證：為平面與平面的二面角，為平面與平面的二面角，根據(jù)已知條件有，又因?yàn)椋?，，為，，的公共邊，所以，所以，所以為的?nèi)心.故答案為：內(nèi)心6.把水平放置的四邊形按照斜二測(cè)畫法，得到如圖所示的直觀圖，其中，則四邊形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直觀圖分析出四邊形的形狀，然后可計(jì)算出四邊形的面積.【詳解】由直觀圖可知，四邊形為直角梯形，如下圖所示，則四邊形的面積為，故答案為：.7.已知圓錐的母線，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，則圓錐的表面積為_____.【答案】【解析】【分析】先利用圓錐的軸截面的性質(zhì)求出底面的半徑，進(jìn)而利用側(cè)面積的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的底面半徑為，在中，，該圓錐的側(cè)面積，圓錐的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐表面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合軸截面計(jì)算出圓錐的底面半徑，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.某地球儀上北緯的緯線長(zhǎng)度為，該地球儀的體積是__________.【答案】【解析】【分析】先求緯線圓半徑，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，再求地球儀的半徑．【詳解】如圖所示，由題意知，北緯所在小圓的周長(zhǎng)為，則該小圓的半徑，在中，，所以該地球儀的半徑，所以該地球儀的體積是.故答案為：..9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，是SB的中點(diǎn)，則異面直線AE與SD所成角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】以兩對(duì)角線與的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解兩直線所成夾角即可.【詳解】以兩對(duì)角線與的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長(zhǎng)為2，則有，則，故直線AE與SD所成角的余弦值為.直線AE與SD所成角為故答案為：.10.如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，邊的中點(diǎn)分別為，；現(xiàn)將，，分別沿,,折起，使點(diǎn)重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐，則點(diǎn)到平面ABC的距離為__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得、、兩兩垂直，再求出后借助等體積法計(jì)算即可得.【詳解】由正方形性質(zhì)可得、、，又平面，所以平面，又，分別為，中點(diǎn)，則，，，，則，則，則，由，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得.故答案為：.11.如圖，求是棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球所得截面面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切球特征及球的截面的特征可確定所求截面即為等邊的內(nèi)切圓，由此可求得截面面積.【詳解】是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，球與平面、、分別相切于的各邊的中點(diǎn)，平面截球所得的截面為的內(nèi)切圓，的內(nèi)切圓半徑，則所求的截面圓的面積是．故答案為：．12.在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為__________【答案】【解析】【詳解】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．【考點(diǎn)定位】考查旋轉(zhuǎn)體組合體體積的計(jì)算，重點(diǎn)考查空間想象能力，屬難題．二、選擇題（每小題3分，共12分）13.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可推斷A，利用面面平行的性質(zhì)定理可推斷B，利用空間垂直與平行的關(guān)系可推斷CD.【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則或與是異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，又因?yàn)樗?，故D正確，故選：D.14.如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑（即杯口直徑）6cm，高8cm（不含杯腳），已知水的高度是4cm，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體積不變；如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠（）A.63顆 B.126顆 C.378顆 D.504顆【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形相似求得水面圓的半徑，由圓錐的體積減去水的體積，得到可放入珍珠的體積，除以一顆珍珠的體積得答案【詳解】作出軸截面圖如圖，由題意，設(shè)，則，解得，則最大放入珍珠的體積，一顆珍珠的體積是，由，所以最多可以放入珍珠126顆.故選：B.15.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD，且，是PB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平面平面PAD，截棱錐所得圖形面積為y，若平面與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)的圖像是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析截面積變化過程【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍼AD，當(dāng)兩平面距離增大時(shí)，由圖可知截棱錐面積減小，即隨單調(diào)遞減，故排除A，C當(dāng)時(shí)，，排除B、故選：D16.豆腐發(fā)酵后表面長(zhǎng)出一層白絨絨的長(zhǎng)毛就成了毛豆腐，將三角形豆腐ABC懸空掛在發(fā)酵空間內(nèi)，記發(fā)酵后毛豆腐所構(gòu)成的幾何體為T.若忽略三角形豆腐的厚度，設(shè)，點(diǎn)在內(nèi)部.假設(shè)對(duì)于任意點(diǎn)，滿足的點(diǎn)都在內(nèi)，且對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)，都存在點(diǎn)，滿足，則的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知：是由三個(gè)半圓柱，三個(gè)球體的一部分和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成，根據(jù)圓柱、球和棱柱的體積公式分別求得各個(gè)部分幾何體的體積即可加和得到結(jié)果.【詳解】空間中，在垂直于平面的角度看，如下圖所示：其中：，和區(qū)域內(nèi)的幾何體為底面半徑為的半圓柱；，，區(qū)域內(nèi)的幾何體為被兩平面所截得的部分球體，球心分別為；區(qū)域內(nèi)的幾何體是高為的直三棱柱.因?yàn)樗倪呅魏蜑榫匦?，則，可得，同理可得：，，所以，可得，，區(qū)域內(nèi)的幾何體合成一個(gè)完整的，半徑為的球，則，，區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；又因?yàn)?，和區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；區(qū)域內(nèi)的直三棱柱體積，所以的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中體積問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)的形狀，進(jìn)而由對(duì)應(yīng)幾何體的體積公式求得結(jié)果.三、解答題（共52分）17.如圖所示，是直角三角形，，以為圓心，2為半徑的四分之一圓在三角形內(nèi)，圖中陰影部分繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體：（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用球、圓錐的體積公式計(jì)算即可求解；（2）利用圓錐，球體的表面積公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】該平面圖形繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體為一個(gè)圓錐挖去了半個(gè)球體，圓錐的底面半徑為，高為，球體的半徑為，所以圓錐的體積為，半球體的體積為，所以該幾何體的體積為；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，圓錐的表面積為，半球體的球面面積為，半球體的底面圓面積為，所以該幾何體的表面積為.18.如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若平面，求證：為的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；（2）由公理及平面與平面平行的性質(zhì)得，則，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)．【小問1詳解】證明：如圖，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，分別為，的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；【小問2詳解】證明：平面平面，平面平面，平面與平面有公共點(diǎn)，則有經(jīng)過的直線，交于G，則，得，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．19.在底面是直角梯形的四棱錐中，，平面，若，，，求：（1）異面直線與所成角的大?。唬?）直線與平面所成角的大??；（3）二面角的大??；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表示直線的方向向量，利用坐標(biāo)法求異面直線所成角；（2）表示直線的方向向量及平面的法向量，利用坐標(biāo)法可得線面角；（3）表示兩平面法向量，利用坐標(biāo)法可得二面角.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,即，，，即異面直線與所成角為；【小問2詳解】由（1）的，，，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，，直線與平面所成角的正弦值為，即直線與平面所成角為；【小問3詳解】由（2）得平面的一個(gè)法向量為，且，，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，，又二面角為銳二面角，即二面角的余弦值為，所以二面角的大小為.20.如圖，AC是圓的直徑，PA與圓所在的平面垂直，且為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為點(diǎn)在線段PC，PB上的投影；（1）證明：直線平面PBC；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求二面角的平面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明.（2）先確定為二面角的平面角，再研究的面積何時(shí)最大，即可求的大小.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的圓周上，為圓的直徑，所以.又平面，平面，所以.平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又為在上的投影，所以.平面，，