拓展拔高4函數(shù)中的構(gòu)造問題【高考考情】函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容,經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn),通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù),解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.類型一利用f(x)與xn構(gòu)造函數(shù)【例1】(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x>0時,xf'(x)-f(x)<0,且f(-2)=0,則不等式f(x)x>0A.(-2,0)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)【解析】選D.設(shè)g(x)=f(x)x因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x).因為g(-x)=f(-x)-x=-f所以g(x)為奇函數(shù),所以g(-2)=-g(2).因為f(-2)=0,所以g(-2)=g(2)=0.當(dāng)x>0時,g'(x)=xf'(所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時不等式f(x)x因為g(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x<0時,不等式f(x)x綜上所述,不等式f(x)x>0的解集是(2)已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex,若對任意x1>x2>1都有x1f(x2)-x2f(x1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)【解析】選B.令g(x)=f(x)x=對任意x1>x2>1都有x1f(x2)-x2f(x1)<0?對任意x1>x2>1,都有f(x1)x1>f(x2)x2,即g(x即當(dāng)x>1時,x2+ax-a≥0恒成立,即-a≤x2x-1在令h(x)=x2x-1,則h(x)=(x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時等號成立),所以-a≤4,a【思維升華】利用f(x)與x(或xn)構(gòu)造(1)對于xf'(x)+f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x);(2)對于xf'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f((3)對于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);(4)對于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(【對點訓(xùn)練】已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意x∈[0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0恒成立,則 ()A.f(0)<0 B.9f(-3)<f(1)C.4f(2)>f(-1) D.f(1)<f(2)【解析】選C.令x=0,則2f(0)+0>0,所以f(0)>0,則A錯誤;令g(x)=x2f(x),則g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).當(dāng)x>0時,2f(x)+xf'(x)>0,所以2xf(x)+x2f'(x)>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又偶函數(shù)f(x)的定義域為R,所以g(x)=x2f(x)為偶函數(shù),g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(-3)=g(3)>g(1),9f(-3)>f(1),故B錯誤;g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正確;易知f(x)=c>0(c為常數(shù))符合題意,此時f(1)=f(2)=c,故D錯誤.類型二利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)【例2】(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對任意x∈R,都有f'(x)>-f(x)成立.若f(ln2)=12,則滿足不等式f(x)>1ex的x的取值范圍是A.(1,+∞) B.(0,1)C.(ln2,+∞) D.(0,ln2)【解析】選C.由題意得f'(x)+f(x)>0.令g(x)=exf(x),則g'(x)=f'(x)ex+f(x)ex=ex[f'(x)+f(x)]>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.不等式f(x)>1ex等價于exf(即g(x)>1.因為f(ln2)=12所以g(ln2)=eln2f(ln2)=2×12=1.故當(dāng)x>ln2時,g(x)>g(ln2)=1,所以不等式g(x)>1的解集為(ln2,+∞)(2)已知f(x)是可導(dǎo)函數(shù),且f'(x)≤2f(x)對任意x∈R恒成立,則下列不等關(guān)系正確的是 ()A.e2f(0)>f(1),e4046f(1)>f(2024)B.e2f(0)<f(1),e4046f(1)>f(2024)C.e2f(0)>f(1),e4046f(1)<f(2024)D.e2f(0)<f(1),e4046f(1)<f(2024)【解析】選A.令g(x)=f(x)e2x,則g'(因為f'(x)≤2f(x),e2x>0,所以g'(x)≤0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(0)>g(1),g(1)>g(2024),即f(0)e0>f(1)e所以e2f(0)>f(1),e4046f(1)>f(2024).【思維升華】利用f(x)與ex(或enx)構(gòu)造(1)對于f'(x)+f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x).(2)對于f'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f((3)對于f'(x)+nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x).(4)對于f'(x)-nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(【對點訓(xùn)練】1.f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且f'(x)>f(x),對任意正實數(shù)a,下列式子成立的是()A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0)C.f(a)<f(0)ea D.f(【解析】選B.令g(x)=f(x)ex,所以g'(x)=f'(x)ex-f(又a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)ea>f(0)e0,即f2.(2024·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,則f(x)>3e3-x的解集為________.

【解析】設(shè)F(x)=f(x)·ex,則F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以F(x)是增函數(shù).又f(3)=3,則F(3)=f(3)·e3=3e3.因為f(x)>3e3-x等價于f(x)·ex>3e3,即F(x)>F(3),所以x>3,即所求不等式的解集為(3,+∞).答案:(3,+∞)類型三利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù)【例3】(1)已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(0,π),滿足f'(x)sinx>f(x)cosx,則下列不等式成立的是 ()A.f(π4)<2f(π6) B.f(π4)>2fC.f(π6)>2f(π4) D.f(π6)<2f【解析】選B.令F(x)=f(x)sin則F'(x)=f'(因為f'(x)sinx>f(x)cosx,則f'(x)sinx-f(x)cosx>0,所以F'(x)>0,所以F(x)在(0,π)上單調(diào)遞增,所以F(π4)>F(π6),即f(π4)sinπ4>f(π6)(2)設(shè)f(x)是定義在(-π,0)∪(0,π)上的奇函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且當(dāng)x∈(0,π)時,f'(x)sinx-f(x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式f(x)<2f(π6)sinx的解集為【解析】令g(x)=f(x)sinx,則g'(x)=f'(因為當(dāng)x∈(0,π)時,f'(x)sinx-f(x)cosx<0,所以在(0,π)上,g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.因為y=f(x),y=sinx是奇函數(shù),所以函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以函數(shù)g(x)在(-π,0)上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈(0,π)時,sinx>0,則不等式f(x)<2f(π6)sinx可化為f(x)sinx<f(π6)sinπ6,即g當(dāng)x∈(-π,0)時,sinx<0,則不等式f(x)<2f(π6)sinx可化為f(x)sin即g(x)>g(-π6),所以-π6<x綜上可得,不等式的解集為(-π6,0)∪(π6,π答案:(-π6,0)∪(π6【思維升華】利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造(1)對于f'(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)sinx.(2)對于f'(x)sinx-f(x)cosx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f((3)對于f'(x)cosx+f(x)sinx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f((4)對于f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)cosx.【對點訓(xùn)練】1.(多選題)已知定義在(0,π2)上的函數(shù)f(x),f'(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有cosx·f'(x)+sinx·f(x)<0成立,則有 (A.f(π6)>2f(π4) B.3f(π6)>fC.f(π6)>3f(π3) D.2f(π6)>3f【解析】選CD.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)cosx(0<則g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0,故函數(shù)g(x)在(0,π2f(π6)>3f(π3),同理g(π6)>g(即2f(π6)>3f(π42.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且當(dāng)x∈(0,+∞)時,f'(x)sinx+f(x)cosx<0,若a=22f(-π6),b=-f(π4),則a與b的大小關(guān)系為___