初三競賽練習(xí)題試卷(含答案)（2025年）一、選擇題（每題4分，共40分）

1.下列選項中，有理數(shù)a、b滿足a+b=0，且a×b=1，則a的值是（）

A.1

B.1

C.√2

D.√2

答案：C

2.若兩個數(shù)的和為5，它們的積為4，這兩個數(shù)分別是（）

A.1和4

B.2和3

C.1和4

D.2和3

答案：C

3.已知a、b是方程x22x+1=0的兩個實數(shù)根，那么a2+b2的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

4.下列關(guān)于x的不等式中，有解的是（）

A.x2<0

B.x2>0

C.x2≥0

D.x2≠0

答案：C

5.已知a、b、c為三角形的三邊，且a+b+c=10，a2+b2+c2=58，則這個三角形的周長是（）

A.6

B.8

C.10

D.12

答案：C

6.下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的圖像中，符合f(x+1)=f(x)的是（）

A.一次函數(shù)

B.二次函數(shù)

C.冪函數(shù)

D.三角函數(shù)

答案：D

7.已知函數(shù)f(x)=x22x+c，當(dāng)x=1時，f(x)取最小值，則c的值為（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

8.下列關(guān)于x的方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.x24x+4=0

B.x24x+3=0

C.x2+4x+4=0

D.x2+4x+3=0

答案：A

9.若函數(shù)f(x)=kx+b在x=1時取得最大值，且f(0)=0，則k的取值為（）

A.正數(shù)

B.負數(shù)

C.零

D.無法確定

答案：B

10.在一個長為a，寬為b的矩形中，有一個長為a，寬為b/2的矩形EFGH，若矩形EFGH的面積為S，則矩形ABCD的面積為（）

A.2S

B.4S

C.8S

D.16S

答案：B

二、填空題（每題4分，共40分）

11.若兩個數(shù)的和為3，它們的積為2，這兩個數(shù)分別是________和________。

答案：1和2

12.若函數(shù)f(x)=2x2+3x+1在x=1時取得最小值，則a的取值為________。

答案：3

13.若a、b是方程x2+2x1=0的兩個實數(shù)根，那么a+b的值為________，a×b的值為________。

答案：2，1

14.已知a、b、c為三角形的三邊，且a+b+c=12，a2+b2+c2=36，則這個三角形的周長是________。

答案：10

15.若函數(shù)f(x)=kx2+bx+c在x=2時取得最大值，且f(0)=4，則k的取值為________。

答案：負數(shù)

三、解答題（共20分）

16.（10分）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c為實數(shù)，且a≠0。若函數(shù)f(x)在x=1時取得最小值，求a、b、c的取值范圍。

解答：由題意知，函數(shù)f(x)在x=1時取得最小值，因此f'(1)=0，f''(1)>0。

由f'(x)=2ax+b，得f'(1)=2a+b=0，解得b=2a。

由f''(x)=2a，得f''(1)=2a>0，解得a>0。

因此，a>0，b=2a，c的取值范圍不受限制。

17.（10分）已知三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a+b+c=10，a2+b2+c2=58。求三角形ABC的面積。

解答：由余弦定理得cosC=(a2+b2c2)/(2ab)。

由a+b+c=10，得c=10ab。

代入a2+b2+c2=58，得a2+b2+(10ab)2=58。

化簡得2ab=32，即ab=16。

由海倫公式，三角形ABC的面積S=√[p(pa)(pb)(pc)]，其中p=(a+b+c)/2=5。

代入ab=16，得S=√[5(5a)(5b)(5c)]=√[5(5a)(5b)(10ab)]。

由a+b+c=10，得(10ab)2=10020(a+b)+a2+2ab+b2=10020(a+b)+2ab。

代入ab=16，得(10ab)2=10020(a+b)+32。

化簡得a+b=8。

代入S=√[5(5a)(5b)(10ab)]，得S=√[5(5a)(5b)(2ab)]。

代入a+b=8，得S=√[5(5a)(5b)(28)]=√[5(5a)(5b)(6)]。

化簡得S=√[5(5a)(5b)(6)]=√[150(5a)(5b)]。

由a+b=8，得a=8b。

代入S=√[150(5a)(5b)]，得S=√[150(5(8b))(5b)]。

化簡得S=√[