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數(shù)列文科高考答案分解【數(shù)列高考題解析】

題目：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=SnSn1（n≥2），若S1=1，求該數(shù)列的通項公式。

解答：

首先，根據(jù)題目條件，我們知道數(shù)列{an}的每一項an可以表示為前n項和Sn與前n1項和Sn1的差，即an=SnSn1（n≥2）。

已知S1=1，那么我們可以計算出數(shù)列的前幾項：

對于n=2，有：

a2=S2S1

由于S1=1，所以：

a2=S21

又因為S2=S1+a2，代入S1的值，得到：

S2=1+a2

將這個關(guān)系式代入a2的計算中，得到：

a2=(1+a2)1

a2=a2

這說明a2可以是任意值，但為了數(shù)列有意義，我們假設(shè)a2=1。

接下來，對于n=3，有：

a3=S3S2

同樣，由于S2=1+a2，且a2=1，所以：

S2=2

a3=S32

又因為S3=S2+a3，代入S2的值，得到：

S3=2+a3

將這個關(guān)系式代入a3的計算中，得到：

a3=(2+a3)2

a3=a3

這說明a3也可以是任意值，但為了數(shù)列有意義，我們假設(shè)a3=2。

通過觀察前兩項，我們可以猜測數(shù)列{an}可能是等差數(shù)列。為了驗證這個猜想，我們需要證明對于所有n≥2，an=an1+d。

由于a2=1，a3=2，我們可以看出d=1，即數(shù)列的公差為1。

現(xiàn)在我們使用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個猜想：

1.基礎(chǔ)情況：當(dāng)n=2時，a2=1，滿足an=an1+d。

2.歸納假設(shè)：假設(shè)對于某個k≥2，ak=ak1+1成立。

3.歸納步驟：考慮n=k+1的情況，有：

ak+1=Sk+1Sk

Sk+1=Sk+ak+1

將歸納假設(shè)代入，得到：

ak+1=(Sk+ak+1)Sk

ak+1=ak+1

這說明ak+1=ak+1也成立。

由數(shù)學(xué)歸納法，我們可以得出結(jié)論：對于所有n≥2，an=an1+1。

由于S1=1，a1=S1=1，所以數(shù)列{an}的通項公式

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