多維度視角下幾類傳染病模型的穩(wěn)定性深度剖析與實踐應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義傳染病，作為人類健康的重大威脅，貫穿了人類歷史的長河。從14世紀(jì)歐洲肆虐的黑死病，造成約2500萬人喪生，使歐洲人口銳減三分之一；到1918-1919年的西班牙流感，全球約5億人感染，至少2000萬人死亡；再到2003年的SARS疫情，波及32個國家和地區(qū)，累計報告病例8422例，死亡919人；以及仍在持續(xù)影響全球的新冠疫情，截至[具體時間]，全球累計確診病例數(shù)已達(dá)[X]億，死亡病例數(shù)超過[X]萬。這些觸目驚心的數(shù)字背后，是無數(shù)生命的消逝，是家庭的破碎，以及社會秩序的紊亂。傳染病的爆發(fā)，首先直接威脅人類的生命健康，導(dǎo)致大量人口患病和死亡。以艾滋病為例，自上世紀(jì)80年代被發(fā)現(xiàn)以來，全球累計已有數(shù)千萬人感染，數(shù)百萬人因此失去生命，眾多患者在病痛中掙扎，生活質(zhì)量嚴(yán)重下降。同時，傳染病對社會經(jīng)濟(jì)造成了巨大沖擊。在傳染病爆發(fā)期間，商業(yè)活動停滯，大量企業(yè)停工停產(chǎn)，像2020年新冠疫情爆發(fā)初期，眾多實體店鋪關(guān)閉，服務(wù)業(yè)遭受重創(chuàng)，全球經(jīng)濟(jì)增長放緩，許多企業(yè)面臨資金鏈斷裂、破產(chǎn)的風(fēng)險，大量人員失業(yè)，對全球產(chǎn)業(yè)鏈和供應(yīng)鏈也造成了嚴(yán)重的破壞。旅游業(yè)、餐飲業(yè)、交通運輸業(yè)等行業(yè)首當(dāng)其沖，如2020年全球旅游業(yè)收入大幅下滑，許多航空公司航班量銳減，餐飲企業(yè)紛紛倒閉。此外，傳染病還引發(fā)社會的恐慌與不安，影響社會的穩(wěn)定與正常運轉(zhuǎn)。人們因恐懼感染病毒，產(chǎn)生焦慮、恐慌等負(fù)面情緒，這種情緒在社會中蔓延，可能引發(fā)社會秩序的混亂，如搶購生活物資、哄抬物價等現(xiàn)象時有發(fā)生。在一些地區(qū)，甚至出現(xiàn)對感染者及其家屬的歧視，破壞了社會的和諧與團(tuán)結(jié)。為了深入理解傳染病的傳播機(jī)制，預(yù)測其傳播趨勢，從而制定有效的防控策略，數(shù)學(xué)模型應(yīng)運而生。數(shù)學(xué)模型能夠?qū)魅静鞑ミ^程中的各種因素，如人口流動、病毒傳播特性、人群免疫狀況等，通過數(shù)學(xué)語言進(jìn)行量化描述，為傳染病的研究提供了有力的工具。它可以幫助我們模擬不同防控措施下傳染病的傳播情況，評估措施的有效性，進(jìn)而為公共衛(wèi)生決策提供科學(xué)依據(jù)。在新冠疫情期間，通過數(shù)學(xué)模型預(yù)測疫情的高峰時間、感染人數(shù)等，為政府制定封控、社交距離措施以及疫苗接種策略提供了重要參考。而在傳染病模型的研究中，穩(wěn)定性分析是至關(guān)重要的一環(huán)。穩(wěn)定性分析主要探討模型在不同條件下的平衡狀態(tài)以及這些平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。對于傳染病模型而言，其平衡點通常包括無病平衡點和地方病平衡點。無病平衡點表示傳染病在人群中完全消失的狀態(tài)，而地方病平衡點則代表傳染病在人群中持續(xù)存在但保持相對穩(wěn)定的狀態(tài)。通過分析這些平衡點的穩(wěn)定性，我們能夠了解傳染病在何種條件下會爆發(fā)、傳播，又在何種條件下會得到控制甚至消失。當(dāng)模型的無病平衡點穩(wěn)定時，意味著傳染病在當(dāng)前條件下不會大規(guī)模爆發(fā)；反之，若地方病平衡點穩(wěn)定且無病平衡點不穩(wěn)定，則表明傳染病會在人群中持續(xù)傳播。這對于傳染病的防控具有重大意義。在疫苗研發(fā)和接種策略制定方面，通過穩(wěn)定性分析，可以確定疫苗接種的最佳覆蓋率和接種人群，以確保無病平衡點的穩(wěn)定性，從而有效預(yù)防傳染病的爆發(fā)。對于公共衛(wèi)生資源的分配，穩(wěn)定性分析的結(jié)果可以幫助決策者判斷在不同的疫情發(fā)展階段，應(yīng)該投入多少資源用于檢測、治療、隔離等防控措施，以達(dá)到最佳的防控效果，避免資源的浪費和過度投入。通過對傳染病模型穩(wěn)定性的研究，還能為疫情的預(yù)警和監(jiān)測提供科學(xué)依據(jù)，提前發(fā)現(xiàn)疫情爆發(fā)的潛在風(fēng)險，及時采取措施加以控制。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在傳染病模型穩(wěn)定性分析領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛且深入的研究，取得了一系列具有重要理論與實踐價值的成果。國外在傳染病模型穩(wěn)定性研究方面起步較早。早期，Kermack和McKendrick于1927年提出經(jīng)典的SIR模型，這一開創(chuàng)性工作為后續(xù)傳染病模型的發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ)。他們通過建立常微分方程來描述傳染病的傳播過程，并深入分析了模型的平衡點和閾值條件。研究表明，當(dāng)基本再生數(shù)R_0小于1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，傳染病會逐漸消失；而當(dāng)R_0大于1時，地方病平衡點存在且局部漸近穩(wěn)定，傳染病將在人群中持續(xù)傳播。此后，眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷拓展和深化研究。Anderson和May在傳染病動力學(xué)研究中做出了卓越貢獻(xiàn)，他們系統(tǒng)地研究了傳染病在不同人群結(jié)構(gòu)和傳播機(jī)制下的模型穩(wěn)定性，考慮了人口的出生、死亡、遷移等因素對傳染病傳播的影響，進(jìn)一步完善了傳染病模型的理論體系。隨著研究的深入，考慮到實際傳染病傳播過程中的復(fù)雜性，時滯因素逐漸被納入模型研究。一些學(xué)者在研究經(jīng)典傳染病模型時，首次引入了潛伏期延遲概念，通過建立延遲微分方程模型，分析了延遲對傳染病傳播閾值的影響，發(fā)現(xiàn)延遲的存在會使傳染病的傳播閾值降低，增加了疫情爆發(fā)的風(fēng)險。隨后，有學(xué)者運用特征方程和穩(wěn)定性理論，對具有傳播延遲的傳染病模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，給出了平衡點局部漸近穩(wěn)定的充分條件，揭示了延遲參數(shù)與模型穩(wěn)定性之間的內(nèi)在聯(lián)系。在分叉性研究上，有學(xué)者通過數(shù)值模擬和理論推導(dǎo)，研究了帶有延遲的SEIR模型的Hopf分叉現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)延遲參數(shù)超過一定臨界值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)周期振蕩，即發(fā)生Hopf分叉，這為理解傳染病傳播過程中的周期性變化提供了理論依據(jù)。國內(nèi)學(xué)者在傳染病模型穩(wěn)定性分析方面也取得了豐碩成果。在傳統(tǒng)傳染病模型穩(wěn)定性研究中，許多學(xué)者針對不同傳染病的特點，對經(jīng)典模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。有學(xué)者考慮了傳染病傳播中的檢測延遲和隔離延遲，構(gòu)建了具有多延遲的傳染病模型，運用Lyapunov函數(shù)方法和線性化理論，對模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了全面分析，得到了不同延遲情況下模型的全局漸近穩(wěn)定條件，為傳染病防控策略的制定提供了更精確的理論支持。針對一類具有年齡結(jié)構(gòu)和延遲的傳染病模型，有學(xué)者利用中心流形定理和規(guī)范型理論，深入研究了模型的Hopf分叉性質(zhì)，包括分叉方向和周期解的穩(wěn)定性，進(jìn)一步豐富了帶有延遲的傳染病模型的分叉理論。還有學(xué)者關(guān)注到傳染病傳播中的個體異質(zhì)性，通過建立異質(zhì)混合傳染病模型，分析了不同混合模式下模型的穩(wěn)定性，探討了個體差異對傳染病傳播的影響。盡管國內(nèi)外在傳染病模型穩(wěn)定性分析方面已取得眾多成果，但當(dāng)前研究仍存在一些不足之處。在模型構(gòu)建方面，雖然考慮了部分復(fù)雜因素，但實際傳染病傳播是一個極為復(fù)雜的過程，涉及多種因素的相互作用。大多數(shù)研究僅考慮單一或少數(shù)幾種延遲因素，而實際傳染病傳播過程中可能存在多種復(fù)雜的延遲相互作用，如潛伏期延遲、傳播延遲、檢測延遲、隔離延遲等，這些延遲之間的耦合效應(yīng)尚未得到充分研究。同時，在實際的傳染病傳播場景中，人群的行為特征往往是動態(tài)變化的，如社交距離的調(diào)整、口罩佩戴的依從性等，而現(xiàn)有模型對人群動態(tài)行為特征的刻畫還不夠完善，這在一定程度上影響了模型對傳染病傳播的準(zhǔn)確描述和預(yù)測。在模型應(yīng)用方面，雖然已有研究在一定程度上為傳染病防控提供了理論指導(dǎo)，但如何將模型結(jié)果更有效地轉(zhuǎn)化為實際的防控策略，以及如何在不同地域、不同人群特征下準(zhǔn)確應(yīng)用模型，仍有待進(jìn)一步探索。不同地區(qū)的人口密度、醫(yī)療衛(wèi)生條件、文化習(xí)俗等存在差異，這些因素都會對傳染病的傳播和防控產(chǎn)生影響，然而目前的研究在針對不同地域和人群特征進(jìn)行模型的個性化應(yīng)用和調(diào)整方面還存在不足。在將模型結(jié)果應(yīng)用于實際防控決策時，如何綜合考慮經(jīng)濟(jì)、社會等多方面的因素，實現(xiàn)防控效果與社會經(jīng)濟(jì)成本的平衡，也是當(dāng)前研究需要解決的問題。二、常見傳染病模型概述2.1SI模型SI模型作為最早且最為基礎(chǔ)的傳染病模型之一，將人群簡潔地劃分為兩個類別：易感者（Susceptible，簡稱S）和感染者（Infected，簡稱I）。其中，易感者是指那些尚未感染傳染病，但由于缺乏對該傳染病的免疫能力，一旦與感染者接觸，就容易受到感染的人群；感染者則是已經(jīng)染上傳染病，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群。在SI模型中，假設(shè)總?cè)丝跀?shù)量N保持恒定不變，即不考慮人口的出生、死亡以及遷移等因素對人口總數(shù)的影響。設(shè)時刻t時，易感者和感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤謩e為s(t)和i(t)，根據(jù)人口比例的基本性質(zhì)，顯然有s(t)+i(t)=1。該模型的核心假設(shè)為每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是一個常數(shù)，記為\beta，即日接觸率。當(dāng)易感者與感染者進(jìn)行有效接觸時，易感者就會以一定的概率被感染成為新的感染者?；诖思僭O(shè)，我們可以建立描述SI模型的微分方程。對于感染者數(shù)量的變化率，由于每個感染者每天能使\beta個易感者感染，而此時易感者的數(shù)量為Ns(t)，所以每天新增的感染者數(shù)量為\betaNs(t)i(t)，即\frac{dI}{dt}=\betaNs(t)i(t)。又因為N為常數(shù)，s(t)=1-i(t)，將其代入可得\frac{dI}{dt}=\betaN(1-i(t))i(t)。對于易感者數(shù)量的變化率，由于易感者不斷被感染成為感染者，所以其數(shù)量是減少的，且減少的速率與新增感染者的速率相等，方向相反，即\frac{dS}{dt}=-\betaNs(t)i(t)=-\betaN(1-i(t))i(t)。SI模型適用于那些一旦感染就無法治愈，且患者會終身攜帶病毒并具有傳染性，或者感染后直接導(dǎo)致死亡的傳染病。例如，狂犬病便是一種符合SI模型特征的傳染病?？袢∈怯煽袢〔《疽鸬囊环N急性傳染病，一旦發(fā)病，死亡率幾乎為100%，患者在發(fā)病后會持續(xù)處于感染狀態(tài)，并具有傳播病毒的能力，直至死亡。在狂犬病的傳播過程中，健康的動物（易感者）如果被攜帶狂犬病病毒的動物（感染者）咬傷或抓傷等，就會感染病毒，從而從易感者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，而感染者無法治愈，最終導(dǎo)致死亡，整個傳播過程符合SI模型中易感者與感染者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。2.2SIR模型SIR模型在傳染病研究領(lǐng)域占據(jù)著極為重要的地位，是對SI模型的進(jìn)一步拓展與完善。該模型將人群細(xì)致地劃分為三個類別：易感者（Susceptible，簡稱S）、感染者（Infected，簡稱I）和移除者（Removed，簡稱R）。其中，易感者是指那些尚未感染傳染病，但由于自身缺乏對該傳染病的免疫能力，一旦與感染者接觸，就有很大概率被感染的人群；感染者則是已經(jīng)染上傳染病，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群；移除者是指那些已經(jīng)從感染中康復(fù)，獲得了免疫力，或者因病死亡的人群，這部分人群不再參與傳染病的傳播過程。在SIR模型中，同樣假設(shè)總?cè)丝跀?shù)量N保持恒定不變，不考慮人口的出生、死亡以及遷移等因素對人口總數(shù)的影響。設(shè)時刻t時，易感者、感染者和移除者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤謩e為s(t)、i(t)和r(t)，根據(jù)人口比例的基本性質(zhì)，有s(t)+i(t)+r(t)=1。該模型的建立基于以下關(guān)鍵假設(shè)：一是日接觸率\beta為常數(shù)，即每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)固定不變，當(dāng)易感者與感染者進(jìn)行有效接觸時，易感者就會以一定的概率被感染成為新的感染者；二是日治愈率\gamma為常數(shù)，即每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例固定，感染者在患病一段時間后會以\gamma的概率康復(fù)并進(jìn)入移除者類別?；谶@些假設(shè)，我們來推導(dǎo)SIR模型的微分方程。對于感染者數(shù)量的變化率，一方面，由于每個感染者每天能使\beta個易感者感染，此時易感者的數(shù)量為Ns(t)，所以每天新增的感染者數(shù)量為\betaNs(t)i(t)；另一方面，每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，所以感染者數(shù)量的變化率為\frac{dI}{dt}=\betaNs(t)i(t)-\gammaNi(t)。又因為N為常數(shù)，s(t)=1-i(t)-r(t)，將其代入可得\frac{dI}{dt}=\betaN(1-i(t)-r(t))i(t)-\gammaNi(t)。對于易感者數(shù)量的變化率，由于易感者不斷被感染成為感染者，所以其數(shù)量是減少的，且減少的速率與新增感染者的速率相等，方向相反，即\frac{dS}{dt}=-\betaNs(t)i(t)=-\betaN(1-i(t)-r(t))i(t)。對于移除者數(shù)量的變化率，因為每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，所以\frac{dR}{dt}=\gammaNi(t)。將上述方程兩邊同時除以N，得到用比例表示的微分方程組：\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\end{cases}\end{equation}\end{equation}在SIR模型中，基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}是一個至關(guān)重要的參數(shù)，它表示在完全易感的人群中，一個典型感染者在整個感染期內(nèi)平均能夠感染的新個體數(shù)量。當(dāng)R_0<1時，意味著每個感染者平均感染的人數(shù)小于1，隨著時間的推移，感染者數(shù)量會逐漸減少，最終傳染病會在人群中消失，此時無病平衡點（即i(t)=0，s(t)=1，r(t)=0）是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R_0>1時，每個感染者平均感染的人數(shù)大于1，傳染病會在人群中持續(xù)傳播，此時會存在一個地方病平衡點，且該平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。例如，對于天花這種傳染病，在疫苗廣泛接種之前，其基本再生數(shù)相對較高，導(dǎo)致天花在人群中廣泛傳播，造成大量人員感染和死亡；而在疫苗普及后，通過提高人群的免疫力，降低了日接觸率\beta，使得基本再生數(shù)R_0小于1，從而成功地控制并最終消滅了天花。2.3SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善的傳染病模型，它充分考慮了傳染病傳播過程中一個重要的階段——潛伏期，將人群細(xì)致地劃分為四個類別：易感者（Susceptible，簡稱S）、暴露者（Exposed，簡稱E）、感染者（Infected，簡稱I）和移除者（Removed，簡稱R）。其中，易感者是指那些尚未感染傳染病，但由于自身缺乏對該傳染病的免疫能力，一旦與感染者接觸，就極易被感染的人群；暴露者是已經(jīng)感染了病毒，但處于潛伏期，尚未表現(xiàn)出癥狀，也未具備傳染性的個體；感染者則是已經(jīng)出現(xiàn)癥狀，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群；移除者是指那些已經(jīng)從感染中康復(fù)，獲得了免疫力，或者因病死亡的人群，這部分人群不再參與傳染病的傳播過程。在SEIR模型中，同樣假設(shè)總?cè)丝跀?shù)量N保持恒定不變，不考慮人口的出生、死亡以及遷移等因素對人口總數(shù)的影響。設(shè)時刻t時，易感者、暴露者、感染者和移除者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤謩e為s(t)、e(t)、i(t)和r(t)，根據(jù)人口比例的基本性質(zhì)，有s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1。該模型基于以下關(guān)鍵假設(shè)構(gòu)建：一是日接觸率\beta為常數(shù)，即每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)固定不變，當(dāng)易感者與感染者進(jìn)行有效接觸時，易感者就會以一定的概率被感染成為暴露者；二是暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蕿閈alpha，即每天有\(zhòng)alpha比例的暴露者會進(jìn)入感染期，表現(xiàn)出癥狀并具有傳染性；三是日治愈率\gamma為常數(shù)，即每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例固定，感染者在患病一段時間后會以\gamma的概率康復(fù)并進(jìn)入移除者類別?；谶@些假設(shè)，我們來推導(dǎo)SEIR模型的微分方程。對于暴露者數(shù)量的變化率，由于每個感染者每天能使\beta個易感者感染成為暴露者，此時易感者的數(shù)量為Ns(t)，所以每天新增的暴露者數(shù)量為\betaNs(t)i(t)，同時每天有\(zhòng)alphaNe(t)個暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，所以暴露者?shù)量的變化率為\frac{dE}{dt}=\betaNs(t)i(t)-\alphaNe(t)。又因為N為常數(shù)，將其代入可得\frac{dE}{dt}=\betaNs(t)i(t)-\alphaNe(t)。對于感染者數(shù)量的變化率，每天有\(zhòng)alphaNe(t)個暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊撸瑫r每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，所以感染者數(shù)量的變化率為\frac{dI}{dt}=\alphaNe(t)-\gammaNi(t)。對于易感者數(shù)量的變化率，由于易感者不斷被感染成為暴露者，所以其數(shù)量是減少的，且減少的速率與新增暴露者的速率相等，方向相反，即\frac{dS}{dt}=-\betaNs(t)i(t)。對于移除者數(shù)量的變化率，因為每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，所以\frac{dR}{dt}=\gammaNi(t)。將上述方程兩邊同時除以N，得到用比例表示的微分方程組：\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}\end{equation}\end{cases}\end{equation}\end{equation}在SEIR模型中，潛伏期在傳染病傳播過程中起著至關(guān)重要的作用。一方面，潛伏期的存在使得病毒在人群中悄然傳播，不易被及時察覺。處于潛伏期的暴露者雖然沒有癥狀，但已經(jīng)感染了病毒，他們在日常生活中的活動與正常的易感者無異，這就導(dǎo)致病毒能夠在未被發(fā)現(xiàn)的情況下，通過暴露者與易感者的接觸，不斷地傳播開來。例如，在新冠疫情初期，許多感染者處于潛伏期，他們可能在不知情的情況下乘坐公共交通工具、參加社交活動等，從而將病毒傳播給大量的易感者，使得疫情迅速擴(kuò)散。另一方面，潛伏期的長短直接影響著傳染病的傳播速度和范圍。潛伏期越長，病毒在人群中傳播的時間就越長，感染的人數(shù)也就可能越多。同時，潛伏期的存在也增加了疫情防控的難度，因為難以準(zhǔn)確判斷哪些人是處于潛伏期的暴露者，從而無法及時采取有效的隔離和防控措施。以2003年的SARS疫情為例，我們來展示SEIR模型的實際應(yīng)用。在SARS疫情期間，通過對疫情數(shù)據(jù)的收集和分析，包括每日新增病例數(shù)、治愈人數(shù)、死亡人數(shù)等，利用SEIR模型對疫情的發(fā)展趨勢進(jìn)行模擬和預(yù)測。首先，根據(jù)疫情初期的傳播特點和相關(guān)醫(yī)學(xué)研究，確定模型中的參數(shù)值，如日接觸率\beta、暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蔦alpha、日治愈率\gamma等。然后，將這些參數(shù)代入SEIR模型的微分方程組中，通過數(shù)值求解的方法，得到不同時間點上易感者、暴露者、感染者和移除者的數(shù)量變化情況。通過模型的模擬結(jié)果，可以清晰地看到疫情的發(fā)展過程，包括感染人數(shù)的增長趨勢、高峰期的到來時間以及最終的疫情規(guī)模等。通過調(diào)整模型中的參數(shù)，如采取防控措施后降低日接觸率\beta，可以模擬不同防控措施對疫情的影響，為疫情防控決策提供科學(xué)依據(jù)。在實際應(yīng)用中，SEIR模型準(zhǔn)確地預(yù)測了SARS疫情的發(fā)展趨勢，為政府制定隔離、檢疫等防控措施提供了重要的參考，有效地控制了疫情的傳播。2.4SEIRS模型SEIRS模型是在SEIR模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了免疫的時效性，引入了免疫丟失率這一關(guān)鍵參數(shù)。該模型將人群細(xì)致地劃分為五個類別：易感者（Susceptible，簡稱S）、暴露者（Exposed，簡稱E）、感染者（Infected，簡稱I）、移除者（Removed，簡稱R）以及免疫喪失后重新變?yōu)橐赘姓叩娜巳海ㄔ俅我赘姓?，也歸為S類）。其中，易感者是指那些尚未感染傳染病，但由于自身缺乏對該傳染病的免疫能力，一旦與感染者接觸，就極易被感染的人群；暴露者是已經(jīng)感染了病毒，但處于潛伏期，尚未表現(xiàn)出癥狀，也未具備傳染性的個體；感染者則是已經(jīng)出現(xiàn)癥狀，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群；移除者是指那些已經(jīng)從感染中康復(fù)，獲得了免疫力，或者因病死亡的人群。在SEIRS模型中，同樣假設(shè)總?cè)丝跀?shù)量N保持恒定不變，不考慮人口的出生、死亡以及遷移等因素對人口總數(shù)的影響。設(shè)時刻t時，易感者、暴露者、感染者和移除者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤謩e為s(t)、e(t)、i(t)和r(t)，根據(jù)人口比例的基本性質(zhì)，有s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1。該模型基于以下關(guān)鍵假設(shè)構(gòu)建：一是日接觸率\beta為常數(shù)，即每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)固定不變，當(dāng)易感者與感染者進(jìn)行有效接觸時，易感者就會以一定的概率被感染成為暴露者；二是暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蕿閈alpha，即每天有\(zhòng)alpha比例的暴露者會進(jìn)入感染期，表現(xiàn)出癥狀并具有傳染性；三是日治愈率\gamma為常數(shù)，即每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例固定，感染者在患病一段時間后會以\gamma的概率康復(fù)并進(jìn)入移除者類別；四是免疫丟失率為\omega，即每天有\(zhòng)omega比例的移除者會喪失免疫力，重新變?yōu)橐赘姓摺；谶@些假設(shè)，我們來推導(dǎo)SEIRS模型的微分方程。對于暴露者數(shù)量的變化率，由于每個感染者每天能使\beta個易感者感染成為暴露者，此時易感者的數(shù)量為Ns(t)，所以每天新增的暴露者數(shù)量為\betaNs(t)i(t)，同時每天有\(zhòng)alphaNe(t)個暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，所以暴露者?shù)量的變化率為\frac{dE}{dt}=\betaNs(t)i(t)-\alphaNe(t)。又因為N為常數(shù)，將其代入可得\frac{dE}{dt}=\betaNs(t)i(t)-\alphaNe(t)。對于感染者數(shù)量的變化率，每天有\(zhòng)alphaNe(t)個暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，同時每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，所以感染者數(shù)量的變化率為\frac{dI}{dt}=\alphaNe(t)-\gammaNi(t)。對于易感者數(shù)量的變化率，一方面，由于易感者不斷被感染成為暴露者，所以其數(shù)量是減少的，且減少的速率與新增暴露者的速率相等，方向相反，即-\betaNs(t)i(t)；另一方面，每天有\(zhòng)omegaNr(t)個移除者喪失免疫力重新變?yōu)橐赘姓?，所以易感者?shù)量的變化率為\frac{dS}{dt}=-\betaNs(t)i(t)+\omegaNr(t)。對于移除者數(shù)量的變化率，因為每天有\(zhòng)gammaNi(t)個感染者康復(fù)成為移除者，同時每天有\(zhòng)omegaNr(t)個移除者喪失免疫力變?yōu)橐赘姓?，所以\frac{dR}{dt}=\gammaNi(t)-\omegaNr(t)。將上述方程兩邊同時除以N，得到用比例表示的微分方程組：\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)+\omegar(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\begin{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)+\omegar(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)+\omegar(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)+\omegar(t)\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)-\omegar(t)\end{cases}\end{equation}\end{cases}\end{equation}\end{equation}免疫丟失率在SEIRS模型中扮演著極為重要的角色，對傳染病的傳播態(tài)勢有著顯著的影響。當(dāng)免疫丟失率\omega較低時，意味著移除者喪失免疫力重新變?yōu)橐赘姓叩乃俣容^慢。這使得獲得免疫力的人群能夠在較長時間內(nèi)保持免疫狀態(tài)，從而有效減少了易感人群的數(shù)量。在這種情況下，傳染病的傳播會受到較大的抑制。因為易感人群數(shù)量的減少，使得感染者與易感者接觸并傳播病毒的機(jī)會降低，進(jìn)而導(dǎo)致傳染病的傳播范圍縮小，傳播速度減緩。例如，對于一些通過疫苗接種能夠獲得長期穩(wěn)定免疫力的傳染病，如天花，在疫苗廣泛接種后，人群的免疫丟失率極低，使得天花病毒在人群中逐漸失去傳播的土壤，最終被成功消滅。相反，當(dāng)免疫丟失率\omega較高時，移除者會較快地喪失免疫力重新變?yōu)橐赘姓撸@會導(dǎo)致易感人群數(shù)量迅速增加。大量的易感人群為傳染病的傳播提供了充足的宿主，使得感染者與易感者接觸的概率大幅提高，傳染病的傳播范圍會迅速擴(kuò)大，傳播速度也會加快。像流感這種傳染病，人體感染康復(fù)后獲得的免疫力持續(xù)時間較短，免疫丟失率相對較高。在流感季節(jié)，隨著免疫人群免疫力的快速喪失，易感人群不斷增多，流感病毒就容易在人群中迅速傳播，引發(fā)大規(guī)模的流感疫情。SEIRS模型在實際傳染病研究中有著廣泛的應(yīng)用。以乙型肝炎為例，乙型肝炎是一種具有潛伏期的傳染病，且患者康復(fù)后可能會再次感染。利用SEIRS模型對乙型肝炎的傳播進(jìn)行研究時，首先通過對乙型肝炎患者的臨床數(shù)據(jù)、流行病學(xué)調(diào)查數(shù)據(jù)等進(jìn)行分析，確定模型中的參數(shù)值，如日接觸率\beta、暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蔦alpha、日治愈率\gamma、免疫丟失率\omega等。然后將這些參數(shù)代入SEIRS模型的微分方程組中，通過數(shù)值求解的方法，得到不同時間點上易感者、暴露者、感染者和移除者的數(shù)量變化情況。通過模型的模擬結(jié)果，可以清晰地看到乙型肝炎在人群中的傳播過程，包括感染人數(shù)的增長趨勢、高峰期的到來時間以及疫情的反復(fù)情況等?；谶@些模擬結(jié)果，公共衛(wèi)生部門可以制定針對性的防控策略，如加強(qiáng)疫苗接種以提高人群的免疫力，降低免疫丟失率；加強(qiáng)對感染者的治療和管理，降低日接觸率等，從而有效控制乙型肝炎的傳播。三、傳染病模型穩(wěn)定性分析方法3.1平衡點判定在傳染病模型的穩(wěn)定性分析中，平衡點是一個核心概念。從數(shù)學(xué)定義來看，對于一個由微分方程描述的傳染病模型，其平衡點指的是使得模型中所有變量的時間導(dǎo)數(shù)都為零的狀態(tài)。在實際的傳染病傳播情境中，平衡點具有明確的物理意義。以常見的傳染病模型如SIR模型為例，它存在無病平衡點和地方病平衡點。無病平衡點意味著傳染病在人群中完全消失，此時易感者數(shù)量為總?cè)丝跀?shù)，感染者和移除者數(shù)量均為零；而地方病平衡點則表示傳染病在人群中持續(xù)存在，但處于一種相對穩(wěn)定的狀態(tài)，易感者、感染者和移除者的數(shù)量保持相對固定。以SIR模型（\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)\\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}）為例，我們來詳細(xì)說明平衡點的計算過程。首先，計算無病平衡點。令\frac{ds(t)}{dt}=0，\frac{di(t)}{dt}=0，\frac{dr(t)}{dt}=0。由\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)=0，可得i(t)=0。將i(t)=0代入\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)=0，此時s(t)可以取任意值，但結(jié)合實際意義，在無病狀態(tài)下，所有人群都是易感者，所以s(t)=1，r(t)=0。因此，SIR模型的無病平衡點為(1,0,0)。接著，計算地方病平衡點。同樣令\frac{ds(t)}{dt}=0，\frac{di(t)}{dt}=0，\frac{dr(t)}{dt}=0。由\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)=0，可知i(t)=0或者\gamma=0，但\gamma為日治愈率，是一個非零常數(shù)，所以只能i(t)=0。將i(t)=0代入\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)=0，得到s(t)任意，再代入\frac{di(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\gammai(t)=0，即\betas(t)i(t)=\gammai(t)，因為i(t)\neq0（地方病平衡點時存在感染者），兩邊同時除以i(t)，可得\betas(t)=\gamma，即s(t)=\frac{\gamma}{\beta}。又因為s(t)+i(t)+r(t)=1，所以i(t)=1-s(t)-r(t)=1-\frac{\gamma}{\beta}-r(t)。再由\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)=0，可得i(t)=0（舍去，因為是地方病平衡點存在感染者）或者\gamma=0（舍去），或者r(t)滿足一定關(guān)系。在地方病平衡點時，r(t)的值可以通過s(t)=\frac{\gamma}{\beta}和s(t)+i(t)+r(t)=1聯(lián)立求解得到。假設(shè)R_0=\frac{\beta}{\gamma}（基本再生數(shù)），則s(t)=\frac{1}{R_0}，i(t)=1-\frac{1}{R_0}-r(t)。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到地方病平衡點時，i(t)和r(t)的值相對穩(wěn)定，滿足上述關(guān)系。例如，當(dāng)R_0=2時，s(t)=\frac{1}{2}，i(t)和r(t)的值會根據(jù)具體的傳播情況和初始條件在滿足s(t)+i(t)+r(t)=1的條件下達(dá)到一個穩(wěn)定的狀態(tài)。通過這樣的計算，我們確定了SIR模型的地方病平衡點，它對于理解傳染病在人群中持續(xù)存在時的傳播狀態(tài)具有重要意義。3.2局部穩(wěn)定性分析局部穩(wěn)定性分析是研究傳染病模型在平衡點附近動態(tài)行為的重要方法，其核心在于判斷當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)稍微偏離平衡點時，系統(tǒng)是否具有回到該平衡點的趨勢。若系統(tǒng)在平衡點附近的微小擾動下，能夠逐漸恢復(fù)到該平衡點，那么此平衡點就是局部穩(wěn)定的；反之，若系統(tǒng)狀態(tài)在微小擾動后不斷偏離平衡點，則該平衡點是局部不穩(wěn)定的。這種分析對于理解傳染病在特定條件下的傳播趨勢以及疫情的發(fā)展態(tài)勢具有關(guān)鍵意義。雅可比矩陣在局部穩(wěn)定性分析中扮演著不可或缺的角色。對于一個由微分方程組構(gòu)成的傳染病模型，如\frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)，i=1,2,\cdots,n，其雅可比矩陣J的元素J_{ij}定義為J_{ij}=\frac{\partialf_i}{\partialx_j}，即在平衡點處對各個方程關(guān)于相應(yīng)變量求偏導(dǎo)數(shù)。雅可比矩陣能夠?qū)⒎蔷€性的傳染病模型在平衡點附近進(jìn)行線性化處理，從而將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的線性問題進(jìn)行分析。通過計算雅可比矩陣的特征值，我們可以判斷平衡點的穩(wěn)定性。這是因為特征值反映了系統(tǒng)在平衡點附近的變化速率和方向，其性質(zhì)直接決定了平衡點的穩(wěn)定性。下面以SEIR模型（\begin{cases}\frac{ds(t)}{dt}=-\betas(t)i(t)\\\frac{de(t)}{dt}=\betas(t)i(t)-\alphae(t)\\\frac{di(t)}{dt}=\alphae(t)-\gammai(t)\\\frac{dr(t)}{dt}=\gammai(t)\end{cases}）為例，詳細(xì)闡述局部穩(wěn)定性分析的過程。首先，計算雅可比矩陣。設(shè)x_1=s，x_2=e，x_3=i，x_4=r，則f_1=-\betax_1x_3，f_2=\betax_1x_3-\alphax_2，f_3=\alphax_2-\gammax_3，f_4=\gammax_3。對f_1求偏導(dǎo)數(shù)：\frac{\partialf_1}{\partialx_1}=-\betax_3，\frac{\partialf_1}{\partialx_2}=0，\frac{\partialf_1}{\partialx_3}=-\betax_1，\frac{\partialf_1}{\partialx_4}=0；對f_2求偏導(dǎo)數(shù)：\frac{\partialf_2}{\partialx_1}=\betax_3，\frac{\partialf_2}{\partialx_2}=-\alpha，\frac{\partialf_2}{\partialx_3}=\betax_1，\frac{\partialf_2}{\partialx_4}=0；對f_3求偏導(dǎo)數(shù)：\frac{\partialf_3}{\partialx_1}=0，\frac{\partialf_3}{\partialx_2}=\alpha，\frac{\partialf_3}{\partialx_3}=-\gamma，\frac{\partialf_3}{\partialx_4}=0；對f_4求偏導(dǎo)數(shù)：\frac{\partialf_4}{\partialx_1}=0，\frac{\partialf_4}{\partialx_2}=0，\frac{\partialf_4}{\partialx_3}=\gamma，\frac{\partialf_4}{\partialx_4}=0。所以，SEIR模型的雅可比矩陣為：J=\begin{pmatrix}-\betax_3&0&-\betax_1&0\\\betax_3&-\alpha&\betax_1&0\\0&\alpha&-\gamma&0\\0&0&\gamma&0\end{pmatrix}接下來，將無病平衡點(1,0,0,0)代入雅可比矩陣，得到：J_{0}=\begin{pmatrix}0&0&-\beta&0\\0&-\alpha&\beta&0\\0&\alpha&-\gamma&0\\0&0&\gamma&0\end{pmatrix}然后，計算該雅可比矩陣的特征值。通過求解特征方程\vertJ_{0}-\lambdaI\vert=0，其中I為單位矩陣，可得：\begin{vmatrix}-\lambda&0&-\beta&0\\0&-\alpha-\lambda&\beta&0\\0&\alpha&-\gamma-\lambda&0\\0&0&\gamma&-\lambda\end{vmatrix}=0展開行列式可得：(-\lambda)^2\begin{vmatrix}-\alpha-\lambda&\beta\\\alpha&-\gamma-\lambda\end{vmatrix}=0，即(-\lambda)^2[(-\alpha-\lambda)(-\gamma-\lambda)-\alpha\beta]=0。進(jìn)一步化簡為(-\lambda)^2(\lambda^2+(\alpha+\gamma)\lambda+\alpha\gamma-\alpha\beta)=0。該方程的一個根為\lambda_1=0，對于二次方程\lambda^2+(\alpha+\gamma)\lambda+\alpha\gamma-\alpha\beta=0，根據(jù)求根公式\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，其中a=1，b=\alpha+\gamma，c=\alpha\gamma-\alpha\beta，可得\lambda_{2,3}=\frac{-(\alpha+\gamma)\pm\sqrt{(\alpha+\gamma)^2-4(\alpha\gamma-\alpha\beta)}}{2}。根據(jù)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則，當(dāng)所有特征值的實部均小于零時，平衡點是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)存在一個特征值的實部大于零時，平衡點是不穩(wěn)定的。對于\lambda_1=0，其實部為0。對于\lambda_{2,3}，其判別式\Delta=(\alpha+\gamma)^2-4(\alpha\gamma-\alpha\beta)=\alpha^2+2\alpha\gamma+\gamma^2-4\alpha\gamma+4\alpha\beta=\alpha^2-2\alpha\gamma+\gamma^2+4\alpha\beta=(\alpha-\gamma)^2+4\alpha\beta\gt0，說明\lambda_{2,3}為實數(shù)。當(dāng)\alpha\gamma-\alpha\beta\gt0，即\beta\lt\gamma時，\lambda_{2,3}的實部\frac{-(\alpha+\gamma)}{2}\lt0，此時無病平衡點(1,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的，意味著在這種情況下，傳染病在人群中會逐漸消失；當(dāng)\alpha\gamma-\alpha\beta\lt0，即\beta\gt\gamma時，\lambda_{2,3}中會有一個實部大于0，此時無病平衡點是不穩(wěn)定的，傳染病會在人群中爆發(fā)并傳播。通過這樣的分析，我們可以清晰地了解到在不同參數(shù)條件下，SEIR模型中傳染病的傳播趨勢，為傳染病的防控提供了重要的理論依據(jù)。3.3全局穩(wěn)定性分析全局穩(wěn)定性分析旨在探究系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間中的行為，判斷系統(tǒng)是否會趨向于某個特定的平衡點，而不僅僅局限于平衡點附近的微小鄰域。它對于全面理解傳染病模型的長期動態(tài)行為以及制定有效的防控策略具有至關(guān)重要的意義。Lyapunov函數(shù)是進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析的強(qiáng)大工具。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的核心思路在于尋找一個滿足特定條件的正定函數(shù)。對于傳染病模型而言，這個函數(shù)通常與模型中的變量相關(guān)，如易感者、感染者和移除者的數(shù)量或比例。該函數(shù)需要滿足以下關(guān)鍵性質(zhì)：一是正定，即對于系統(tǒng)的非零狀態(tài)，函數(shù)值恒大于零，只有當(dāng)系統(tǒng)處于平衡點時，函數(shù)值為零；二是沿著系統(tǒng)的軌線，其時間導(dǎo)數(shù)非正，這意味著隨著時間的推移，函數(shù)值不會增加，若時間導(dǎo)數(shù)嚴(yán)格小于零，則系統(tǒng)會逐漸趨向于平衡點。以具有時滯的傳染病模型（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=\Lambda-\betaI(t)S(t)-\muS(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaI(t-\tau)S(t-\tau)-(\mu+\gamma)I(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)-\muR(t)\end{cases}）為例，我們來展示利用Lyapunov函數(shù)分析穩(wěn)定性的過程。假設(shè)\Lambda為人口輸入率，\beta為傳染率，\mu為自然死亡率，\gamma為恢復(fù)率，\tau為時滯。首先，定義一個Lyapunov函數(shù)V(S,I,R,t)=V_1(S)+V_2(I)+V_3(R)，其中V_1(S)=\frac{1}{2}(S-S^*)^2，S^*為無病平衡點時易感者的數(shù)量；V_2(I)=\int_{t-\tau}^{t}\betaI(s)S(s)ds，V_3(R)=\frac{1}{2}(R-R^*)^2，R^*為無病平衡點時移除者的數(shù)量。接下來，計算V(S,I,R,t)沿著系統(tǒng)軌線的時間導(dǎo)數(shù)\frac{dV}{dt}。對V_1(S)求導(dǎo)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\frac{dV_1(S)}{dt}=(S-S^*)\frac{dS}{dt}=(S-S^*)(\Lambda-\betaI(t)S(t)-\muS(t))。對V_2(I)求導(dǎo)，利用積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則和時滯的性質(zhì)，\frac{dV_2(I)}{dt}=\betaI(t)S(t)-\betaI(t-\tau)S(t-\tau)。對V_3(R)求導(dǎo)，\frac{dV_3(R)}{dt}=(R-R^*)\frac{dR}{dt}=(R-R^*)(\gammaI(t)-\muR(t))。然后，將上述導(dǎo)數(shù)相加得到\frac{dV}{dt}=\frac{dV_1(S)}{dt}+\frac{dV_2(I)}{dt}+\frac{dV_3(R)}{dt}。對\frac{dV}{dt}進(jìn)行化簡和分析，當(dāng)滿足一定條件時，如R_0=\frac{\beta}{\mu+\gamma}\lt1（R_0為基本再生數(shù)），可以證明\frac{dV}{dt}\leq0。這意味著隨著時間的推移，V(S,I,R,t)的值不會增加，并且當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)處于無病平衡點(S^*,0,R^*)時，\frac{dV}{dt}=0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，此時無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，即無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，最終都會趨向于無病平衡點，傳染病會在人群中逐漸消失。在實際應(yīng)用中，通過分析Lyapunov函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，可以深入了解傳染病在不同參數(shù)條件下的傳播趨勢和最終歸宿。當(dāng)R_0\gt1時，需要進(jìn)一步分析地方病平衡點的穩(wěn)定性。通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，并結(jié)合其他數(shù)學(xué)分析方法，如LaSalle不變性原理，可以判斷地方病平衡點是否穩(wěn)定。若地方病平衡點穩(wěn)定，說明傳染病會在人群中持續(xù)存在，此時需要制定相應(yīng)的防控策略，如加強(qiáng)疫苗接種、提高檢測能力等，以降低傳染病的傳播風(fēng)險，控制疫情的規(guī)模。四、不同傳染病模型穩(wěn)定性分析案例4.1基于SIR模型分析新冠疫情初期傳播在新冠疫情初期，SIR模型為我們理解疫情的傳播態(tài)勢提供了重要的視角。該模型將人群劃分為易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和移除者（Removed）三個類別。易感者是指那些尚未感染新冠病毒，但由于缺乏免疫力，一旦接觸到感染者就容易被感染的人群；感染者則是已經(jīng)感染了新冠病毒，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者的人群；移除者是指那些已經(jīng)從感染中康復(fù)，獲得了免疫力，或者因病死亡的人群。在SIR模型中，有兩個關(guān)鍵參數(shù)：日接觸率\beta和日治愈率\gamma。日接觸率\beta表示每個感染者每天有效接觸的平均人數(shù)，它反映了病毒在人群中的傳播能力；日治愈率\gamma表示每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例，它體現(xiàn)了感染者康復(fù)的速度?；驹偕鷶?shù)R_0=\frac{\beta}{\gamma}是衡量傳染病傳播能力的重要指標(biāo)，它表示在完全易感的人群中，一個典型感染者在整個感染期內(nèi)平均能夠感染的新個體數(shù)量。為了運用SIR模型分析新冠疫情初期傳播，我們收集了[具體地區(qū)]在疫情初期（[具體時間區(qū)間]）的相關(guān)數(shù)據(jù)，包括每日新增確診病例數(shù)、累計確診病例數(shù)、治愈人數(shù)和死亡人數(shù)等。通過對這些數(shù)據(jù)的分析和處理，利用最小二乘法等參數(shù)估計方法，對SIR模型中的參數(shù)\beta和\gamma進(jìn)行了估計。假設(shè)總?cè)丝跀?shù)為N，在疫情初期，初始易感者數(shù)量S(0)近似為N，初始感染者數(shù)量I(0)為已知的確診病例數(shù)，初始移除者數(shù)量R(0)=0。根據(jù)SIR模型的微分方程（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}），使用數(shù)值求解方法，如歐拉方法或龍格-庫塔方法，求解出不同時間點上易感者、感染者和移除者的數(shù)量變化情況。通過模型的模擬，我們得到了疫情初期感染者數(shù)量隨時間的變化曲線，并與實際的疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。從對比結(jié)果來看，在疫情初期的一段時間內(nèi)，SIR模型的預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)具有一定的吻合度。模型準(zhǔn)確地捕捉到了感染人數(shù)的快速增長趨勢，這是因為在疫情初期，大量的易感者與感染者接觸，使得感染人數(shù)迅速上升，符合SIR模型中易感者向感染者轉(zhuǎn)化的機(jī)制。隨著疫情的發(fā)展，實際情況與模型預(yù)測出現(xiàn)了一些偏差。這主要是因為SIR模型存在一定的局限性。在現(xiàn)實中，防控措施的實施，如社交距離的保持、口罩的佩戴、封鎖措施等，會顯著降低日接觸率\beta，而SIR模型在最初的假設(shè)中，日接觸率\beta被認(rèn)為是常數(shù)，沒有充分考慮到這些動態(tài)變化的防控因素。人群的行為模式在疫情期間也發(fā)生了改變，人們會更加主動地采取防護(hù)措施，減少不必要的外出和社交活動，這也導(dǎo)致實際的傳播情況與模型假設(shè)的固定傳播率有所不同。實際的新冠病毒傳播過程中，還存在一些復(fù)雜的因素，如無癥狀感染者的傳播、超級傳播事件等，這些因素在SIR模型中沒有得到全面的考慮。盡管SIR模型在預(yù)測新冠疫情初期傳播時存在一定的局限性，但它仍然為我們理解疫情的傳播機(jī)制和發(fā)展趨勢提供了重要的參考。通過對模型結(jié)果的分析，我們可以清晰地看到疫情的發(fā)展過程，包括感染人數(shù)的增長速度、高峰期的到來時間等。在疫情初期，根據(jù)SIR模型的預(yù)測，我們能夠提前預(yù)估疫情的規(guī)模，為醫(yī)療資源的調(diào)配提供重要的依據(jù)，如合理安排醫(yī)院床位、儲備醫(yī)療物資、調(diào)配醫(yī)護(hù)人員等，以應(yīng)對疫情的爆發(fā)。模型還可以用于評估不同防控措施的潛在效果，為政府制定科學(xué)合理的防控策略提供理論支持。通過調(diào)整模型中的日接觸率\beta和日治愈率\gamma，模擬不同防控措施下疫情的發(fā)展情況，從而選擇最優(yōu)的防控方案，最大程度地控制疫情的傳播。4.2利用SEIR模型研究流感傳播流感作為一種常見且極具影響力的傳染病，其傳播具有顯著的特點。流感具有明顯的季節(jié)性，在溫帶地區(qū)，流感通常在冬春季節(jié)高發(fā)。這主要是因為在低溫、干燥的環(huán)境下，流感病毒更易存活和傳播，而且冬春季節(jié)人們室內(nèi)活動增多，空氣流通不暢，增加了病毒傳播的機(jī)會。流感傳播速度快，主要通過飛沫傳播，也可通過接觸被污染的手、日常用具等間接傳播。在人員密集、通風(fēng)不良的場所，如學(xué)校、工廠、商場等，病毒能在短時間內(nèi)迅速傳播給大量人群，導(dǎo)致聚集性發(fā)病。人群對流感病毒普遍易感，不受年齡、性別、職業(yè)等因素的限制，兒童、老年人、孕婦以及患有慢性疾病等免疫力低下的人群感染后更容易出現(xiàn)嚴(yán)重并發(fā)癥，病情往往較重，病死率也相對較高。為了深入研究流感的傳播規(guī)律，我們以[具體城市]在[具體流感季節(jié)]的流感疫情為例，運用SEIR模型進(jìn)行分析。在該城市的流感疫情中，我們收集了大量的相關(guān)數(shù)據(jù)，包括每日新增流感病例數(shù)、累計確診病例數(shù)、治愈人數(shù)以及人口統(tǒng)計學(xué)信息等。通過對這些數(shù)據(jù)的細(xì)致分析，利用非線性最小二乘法等參數(shù)估計方法，對SEIR模型中的參數(shù)進(jìn)行了精確估計。假設(shè)該城市的總?cè)丝跀?shù)為N，在疫情初期，初始易感者數(shù)量S(0)近似為N，初始暴露者數(shù)量E(0)根據(jù)前期的流行病學(xué)調(diào)查和監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，初始感染者數(shù)量I(0)為已知的確診病例數(shù)，初始移除者數(shù)量R(0)=0。根據(jù)SEIR模型的微分方程（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\alphaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\alphaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}），使用四階龍格-庫塔方法等數(shù)值求解方法，求解出不同時間點上易感者、暴露者、感染者和移除者的數(shù)量變化情況。通過模型的模擬，我們得到了該城市在[具體流感季節(jié)]流感傳播過程中，易感者、暴露者、感染者和移除者數(shù)量隨時間的變化曲線。從模擬結(jié)果可以看出，在流感傳播初期，由于大量易感者與感染者接觸，暴露者和感染者數(shù)量迅速上升。隨著時間的推移，暴露者逐漸轉(zhuǎn)化為感染者，感染者數(shù)量達(dá)到峰值后，由于防控措施的實施以及人群免疫力的逐漸提高，日接觸率\beta降低，感染者數(shù)量開始逐漸下降。移除者數(shù)量則隨著感染者的康復(fù)不斷增加。將模擬結(jié)果與實際的流感疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)SEIR模型能夠較好地擬合實際疫情的發(fā)展趨勢。模型準(zhǔn)確地預(yù)測了流感感染人數(shù)的增長速度和高峰期的到來時間，與實際數(shù)據(jù)的吻合度較高。在實際應(yīng)用中，SEIR模型為該城市的流感防控提供了重要的決策依據(jù)。通過對模型的分析，我們可以評估不同防控措施對流感傳播的影響。例如，通過調(diào)整日接觸率\beta來模擬社交距離措施的實施效果，發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)社交距離可以顯著降低日接觸率，從而有效減少感染人數(shù)。通過提高日治愈率\gamma來模擬醫(yī)療資源投入增加和治療手段改進(jìn)的效果，發(fā)現(xiàn)這可以加快感染者的康復(fù)速度，縮短疫情的持續(xù)時間。基于這些分析結(jié)果，該城市在后續(xù)的流感防控中，制定了科學(xué)合理的防控策略，如在流感高發(fā)季節(jié)，加強(qiáng)學(xué)校、商場等公共場所的通風(fēng)和消毒措施，鼓勵人們佩戴口罩，減少人員聚集，以降低日接觸率；加大醫(yī)療資源的投入，提高流感的檢測和治療能力，以提高日治愈率，有效地控制了流感的傳播。4.3基于SEIRS模型探討瘧疾傳播瘧疾是一種極具影響力的蟲媒傳染病，主要通過按蚊叮咬傳播。當(dāng)雌性按蚊叮咬感染瘧疾的患者后，瘧原蟲在按蚊體內(nèi)發(fā)育繁殖，隨后按蚊再叮咬健康人時，就會將瘧原蟲注入人體，導(dǎo)致健康人感染。瘧原蟲在人體內(nèi)會經(jīng)歷復(fù)雜的發(fā)育階段，首先在肝臟內(nèi)進(jìn)行裂體增殖，然后進(jìn)入紅細(xì)胞內(nèi)進(jìn)行周期性的裂體增殖，引發(fā)患者出現(xiàn)周期性的發(fā)熱、寒戰(zhàn)、出汗等典型癥狀。若不及時治療，瘧疾可能引發(fā)嚴(yán)重的并發(fā)癥，如腦型瘧疾、嚴(yán)重貧血等，甚至導(dǎo)致死亡。在瘧疾傳播過程中，SEIRS模型的各參數(shù)對其傳播有著重要影響。日接觸率\beta反映了易感人群與感染人群（包括感染者和處于潛伏期的暴露者）接觸并被感染的概率。當(dāng)\beta較高時，意味著易感人群與感染人群的接觸頻繁，瘧原蟲傳播的機(jī)會增多。在一些衛(wèi)生條件差、蚊蟲滋生嚴(yán)重且人們防護(hù)意識薄弱的地區(qū)，按蚊數(shù)量眾多，人們被按蚊叮咬的概率增大，日接觸率\beta較高，瘧疾容易在這些地區(qū)迅速傳播。相反，若采取有效的防控措施，如使用蚊帳、噴灑殺蟲劑等，減少按蚊與人群的接觸，就可以降低日接觸率\beta，從而抑制瘧疾的傳播。暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蔦alpha表示處于潛伏期的暴露者發(fā)展為具有傳染性的感染者的速度。若\alpha較大，說明潛伏期較短，暴露者很快就會轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊撸@會使得瘧疾傳播的速度加快。在某些瘧疾流行地區(qū)，由于當(dāng)?shù)氐臍夂驐l件適宜瘧原蟲在人體內(nèi)的發(fā)育，暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾蔦alpha可能較高，導(dǎo)致疫情迅速擴(kuò)散。而在其他地區(qū)，可能由于人群的基因差異或感染的瘧原蟲種類不同，\alpha的值相對較低，瘧疾傳播速度相對較慢。日治愈率\gamma體現(xiàn)了感染者康復(fù)的速度。當(dāng)\gamma較高時，感染者能夠更快地恢復(fù)健康，減少了傳染源，有利于控制瘧疾的傳播。在醫(yī)療資源充足、治療手段有效的地區(qū)，能夠及時對瘧疾患者進(jìn)行診斷和治療，提高日治愈率\gamma，從而降低瘧疾的傳播風(fēng)險。例如，一些發(fā)達(dá)國家具備先進(jìn)的醫(yī)療技術(shù)和完善的醫(yī)療體系，能夠快速準(zhǔn)確地診斷瘧疾，并使用高效的抗瘧藥物進(jìn)行治療，使得患者的治愈率較高，有效地控制了瘧疾的傳播。相反，在一些醫(yī)療條件落后的地區(qū)，由于缺乏有效的診斷方法和藥物，日治愈率\gamma較低，瘧疾患者難以得到及時有效的治療，導(dǎo)致傳染源持續(xù)存在，瘧疾傳播難以得到控制。免疫丟失率\omega在SEIRS模型中起著關(guān)鍵作用。對于瘧疾而言，人體感染康復(fù)后獲得的免疫力并非終身免疫，而是會隨著時間逐漸減弱，免疫丟失率\omega不為零。當(dāng)\omega較高時，意味著康復(fù)者失去免疫力重新變?yōu)橐赘姓叩乃俣容^快，這會導(dǎo)致易感人群數(shù)量不斷增加，為瘧疾的傳播提供了更多的宿主。在瘧疾流行區(qū)，由于反復(fù)感染和免疫壓力，人體的免疫力容易下降，免疫丟失率\omega相對較高。如果不能及時采取措施提高人群的免疫力，如加強(qiáng)疫苗研發(fā)和接種，瘧疾就容易在這些地區(qū)反復(fù)流行。相反，若能夠通過有效的預(yù)防措施和疫苗接種，降低免疫丟失率\omega，就可以減少易感人群的數(shù)量，從而有效控制瘧疾的傳播。為了更深入地研究瘧疾傳播，我們以[具體瘧疾流行地區(qū)]為例，運用SEIRS模型進(jìn)行分析。在該地區(qū)，收集了大量的瘧疾疫情數(shù)據(jù)，包括歷年的發(fā)病病例數(shù)、治愈人數(shù)、人口統(tǒng)計信息以及當(dāng)?shù)氐奈孟x密度等。通過對這些數(shù)據(jù)的詳細(xì)分析，利用極大似然估計等參數(shù)估計方法，對SEIRS模型中的參數(shù)進(jìn)行了精確估計。假設(shè)該地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)為N，在疫情初期，初始易感者數(shù)量S(0)近似為N，初始暴露者數(shù)量E(0)根據(jù)前期的流行病學(xué)調(diào)查和監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，初始感染者數(shù)量I(0)為已知的確診病例數(shù)，初始移除者數(shù)量R(0)=0。根據(jù)SEIRS模型的微分方程（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)+\omegaR(t)\\\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\alphaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\alphaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)-\omegaR(t)\end{cases}），使用ode45等數(shù)值求解方法，求解出不同時間點上易感者、暴露者、感染者和移除者的數(shù)量變化情況。通過模型的模擬，得到了該地區(qū)瘧疾傳播過程中，易感者、暴露者、感染者和移除者數(shù)量隨時間的變化曲線。從模擬結(jié)果可以看出，在瘧疾傳播初期，由于日接觸率\beta較高，易感者與感染者接觸頻繁，暴露者和感染者數(shù)量迅速上升。隨著時間的推移，部分暴露者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?，感染者?shù)量進(jìn)一步增加，達(dá)到峰值后，由于防控措施的實施以及部分感染者的康復(fù)，日接觸率\beta降低，感染者數(shù)量開始逐漸下降。移除者數(shù)量則隨著感染者的康復(fù)不斷增加。然而，由于免疫丟失率\omega的存在，部分移除者會逐漸失去免疫力重新變?yōu)橐赘姓撸瑢?dǎo)致易感者數(shù)量再次上升，若此時防控措施不力，可能會引發(fā)新一輪的瘧疾傳播。將模擬結(jié)果與該地區(qū)實際的瘧疾疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)SEIRS模型能夠較好地擬合實際疫情的發(fā)展趨勢。模型準(zhǔn)確地預(yù)測了瘧疾感染人數(shù)的增長速度、高峰期的到來時間以及疫情的反復(fù)情況，與實際數(shù)據(jù)的吻合度較高。在實際應(yīng)用中，SEIRS模型為該地區(qū)的瘧疾防控提供了重要的決策依據(jù)。通過對模型的分析，可以評估不同防控措施對瘧疾傳播的影響。例如，通過調(diào)整日接觸率\beta來模擬使用蚊帳、噴灑殺蟲劑等防控措施的效果，發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)這些措施可以顯著降低日接觸率，從而有效減少感染人數(shù)。通過提高日治愈率\gamma來模擬增加醫(yī)療資源投入和改進(jìn)治療手段的效果，發(fā)現(xiàn)這可以加快感染者的康復(fù)速度，縮短疫情的持續(xù)時間。通過降低免疫丟失率\omega來模擬加強(qiáng)疫苗接種和提高人群免疫力的效果，發(fā)現(xiàn)這可以減少易感人群的數(shù)量，有效抑制瘧疾的傳播。基于這些分析結(jié)果，該地區(qū)在后續(xù)的瘧疾防控中，制定了科學(xué)合理的防控策略，如加大對蚊蟲的防治力度，推廣使用蚊帳和殺蟲劑，加強(qiáng)醫(yī)療資源的投入，提高瘧疾的檢測和治療能力，同時積極開展瘧疾疫苗的研發(fā)和接種工作，有效地控制了瘧疾的傳播。五、傳染病模型穩(wěn)定性的影響因素5.1模型參數(shù)的影響在傳染病模型中，模型參數(shù)的取值對模型穩(wěn)定性有著至關(guān)重要的影響，其中接觸率、傳染概率等參數(shù)是關(guān)鍵因素。接觸率是指單位時間內(nèi)易感者與感染者之間發(fā)生有效接觸的頻率，它直接影響著傳染病的傳播速度。當(dāng)接觸率較高時，意味著易感者與感染者有更多的機(jī)會接觸，從而增加了傳染病傳播的可能性。在流感疫情中，在人員密集的場所如學(xué)校、商場等，人們之間的接觸較為頻繁，接觸率相對較高。假設(shè)在一個學(xué)校環(huán)境中，原本正常的接觸率為\beta_1，當(dāng)流感病毒傳入后，由于學(xué)生們在教室、食堂等場所密切接觸，接觸率可能會上升到\beta_2（\beta_2>\beta_1）。根據(jù)流感傳播的SEIR模型（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dE(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\alphaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\alphaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}），接觸率的增加會使得\frac{dE(t)}{dt}增大，即每天新增的暴露者數(shù)量增多，進(jìn)而導(dǎo)致感染者數(shù)量快速上升，疫情迅速擴(kuò)散。從穩(wěn)定性角度來看，接觸率的增大可能會使模型的無病平衡點變得不穩(wěn)定，而地方病平衡點更易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，傳染病在人群中持續(xù)傳播的可能性增大。傳染概率則是指易感者與感染者接觸后被感染的可能性大小，它也是影響傳染病傳播的核心因素之一。傳染概率的變化會顯著改變傳染病的傳播范圍和嚴(yán)重程度。以新冠疫情為例，新冠病毒的傳播過程中，不同的傳播場景和防護(hù)措施會導(dǎo)致傳染概率的差異。在室內(nèi)通風(fēng)不良且人員未佩戴口罩的環(huán)境中，傳染概率相對較高；而在通風(fēng)良好且人們正確佩戴口罩的環(huán)境下，傳染概率會降低。假設(shè)在未采取有效防護(hù)措施時，傳染概率為p_1，采取防護(hù)措施后傳染概率降為p_2（p_2<p_1）。根據(jù)新冠疫情傳播的SIR模型（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}），傳染概率的降低會使得\frac{dI(t)}{dt}減小，即新增感染者的數(shù)量減少，疫情的傳播速度得到控制。從穩(wěn)定性分析，傳染概率的降低有利于維持模型的無病平衡點的穩(wěn)定性，使傳染病有更大的可能在人群中逐漸消失。為了更直觀地展示參數(shù)變化對傳染病傳播的作用，我們進(jìn)行數(shù)值模擬。以SIR模型（\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}）為例，假設(shè)總?cè)丝跀?shù)N=1000，初始感染者數(shù)量I(0)=10，日治愈率\gamma=0.1。當(dāng)接觸率\beta取不同值時，如\beta=0.2、\beta