松江二中2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本表分設(shè)試券和簽題紙，試卷包括三部分；3．本考試分設(shè)試卷和答題紙，每卷10分．各卷共5題，每卷20分．在試卷上作答一律不得分．4．作答必須涂寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作者一樣不寫(xiě)．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)全集，集合，則___________．2.將寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)__________．3.函數(shù)的定義域是__________.4.若關(guān)于的方程的解集為，則______．5.若方程的兩根為、，則___________．6.已知“”是“”的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________．7.函數(shù)在上的最大值與最小值的差為1，則________．8.已知函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是___________．9.若不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______．10.不等式有多種解法，其中之一是在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象，然后求解，請(qǐng)類比求解以下問(wèn)題:設(shè),，若對(duì)任意，都有，則的最小值是_____.11.已知函數(shù).若的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.12.設(shè)集合S，T都至少含有兩個(gè)元素，且S，T同時(shí)滿足：條件1：對(duì)任意，若，則；條件2：對(duì)任意，若，則．給出下列說(shuō)法：①若S只有2個(gè)元素，則這2個(gè)元素互為相反數(shù)；②若S只有2個(gè)元素，則必有3個(gè)元素；③若S只有2個(gè)元素，則可能有4個(gè)元素；④存在含有3個(gè)元素的集合S，滿足有4個(gè)元素．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是______________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)，則可以是（）A B. C. D.15.已知集合，若集合是的個(gè)不同子集，且為的真子集，則的最大值是（）A.2 B.4 C.6 D.816.設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，若為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟17.設(shè)集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知集合，集合.（1）若集合，且滿足，求實(shí)數(shù)值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍19.當(dāng)前，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，正極大改變著人類生產(chǎn)和生活方式，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展注入強(qiáng)勁動(dòng)能.2022年，工業(yè)和信息化部等十七部門(mén)印發(fā)了《“機(jī)器人＋”應(yīng)用行動(dòng)實(shí)施方案》，《方案》指出，到2025年，制造業(yè)機(jī)器人密度較2020年應(yīng)實(shí)現(xiàn)翻番，服務(wù)機(jī)器人、特種機(jī)器人行業(yè)應(yīng)用深度和廣度應(yīng)顯著提升，機(jī)器人促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)高質(zhì)量發(fā)展的能力應(yīng)明顯增強(qiáng).某動(dòng)力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計(jì)劃投入6300萬(wàn)元購(gòu)買一批智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后的前年，設(shè)備維護(hù)成本共萬(wàn)元，每年電池銷售收入為6700萬(wàn)元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后，前年的總盈利額為萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；（2）使用若干年后，對(duì)該批智能機(jī)器人的處理方案有兩種.方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以2000萬(wàn)價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以4800萬(wàn)元的價(jià)格處理.問(wèn)哪種方案更合理？并說(shuō)明理由.20.已知函數(shù)（1）若將圖象向下平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若，解關(guān)于的方程（3）若，且，解關(guān)于的不等式21.已知集合，且中至少有三個(gè)元素.如果，，，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，其中，（例如：），對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，，，使得，，均屬于，則稱集合是集合的“優(yōu)美子集”.（1）若集合，，判斷，是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）若集合具有性質(zhì)，判斷集合是否集合的“優(yōu)美子集”，并說(shuō)明理由；（3）對(duì)于集合的非空子集，證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“優(yōu)美子集”.參考答案及解析：松江二中2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本表分設(shè)試券和簽題紙，試卷包括三部分；3．本考試分設(shè)試卷和答題紙，每卷10分．各卷共5題，每卷20分．在試卷上作答一律不得分．4．作答必須涂寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作者一樣不寫(xiě)．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)全集，集合，則___________．【答案】【解析】【分析】利用補(bǔ)集的概念運(yùn)算即可.【詳解】由可得，所以，則.故答案為：2.將寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)與根式的化簡(jiǎn)，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得.故答案為：.3.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的定義域列出不等式，然后解分式不等式即可求得函數(shù)定義域.詳解】，∴，∴，∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.4.若關(guān)于的方程的解集為，則______．【答案】1【解析】【分析】對(duì)方程進(jìn)行變形，得，根據(jù)解集為空集進(jìn)一步推導(dǎo)關(guān)于m的等式即可求解．【詳解】對(duì)方程變形，可得整式方程，，所以，由于解集為，故，解得．故答案為：1．5.若方程的兩根為、，則___________．【答案】【解析】【分析】利用韋達(dá)定理結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠痰膬筛鶠?、，由韋達(dá)定理可得，故.故答案為：.6.已知“”是“”的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】分別求解不等式，根據(jù)充分而不必要性求解.【詳解】因?yàn)?，解得，又，解得，設(shè)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞址潜匾獥l件，所以是的真子集，得，解得，等號(hào)不同時(shí)成立，的取值范圍為.故答案為：7.函數(shù)在上的最大值與最小值的差為1，則________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，因此，最大值為，最小值為.由題知，，即，得（滿足）.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，因此，最大值為，最小值為.由題知，，即，得（滿足）.綜上所述，或.故答案為：或8.已知函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，求得值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，分和，兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增，可得的值域?yàn)椋沟煤瘮?shù)的值域?yàn)?，則，解得；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為單調(diào)遞減，可得的值域?yàn)?，此時(shí)函數(shù)的值域不可能為，舍去，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.9.若不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用絕對(duì)值的三角不等式求出最小值即可.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，由不等式的解集不是空集，得，所以的取值范圍是.故答案為：10.不等式有多種解法，其中之一是在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象，然后求解，請(qǐng)類比求解以下問(wèn)題:設(shè),，若對(duì)任意，都有，則的最小值是_____.【答案】2【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，探索滿足的關(guān)系，再求的最小值.【詳解】類比圖象法解不等式，畫(huà)出和的圖象.因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以兩個(gè)函數(shù)圖象應(yīng)如下圖所示：由圖象得：.所以.故答案為：211.已知函數(shù).若的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，，代入得到，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出，代入，解出，構(gòu)造函數(shù)，利用在是單調(diào)遞減函數(shù)，得到，從而得到的值域?yàn)?，即可求得答?【詳解】不妨設(shè)，，，在上，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，又，在上，，，設(shè)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，，的值域?yàn)?，若存關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.故答案為：.12.設(shè)集合S，T都至少含有兩個(gè)元素，且S，T同時(shí)滿足：條件1：對(duì)任意，若，則；條件2：對(duì)任意，若，則．給出下列說(shuō)法：①若S只有2個(gè)元素，則這2個(gè)元素互為相反數(shù)；②若S只有2個(gè)元素，則必有3個(gè)元素；③若S只有2個(gè)元素，則可能有4個(gè)元素；④存在含有3個(gè)元素的集合S，滿足有4個(gè)元素．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是______________．【答案】①②【解析】【分析】對(duì)于①由條件2知正確；對(duì)于④：設(shè)，由條件1推出中元素，再由條件2推出的元素必在中，分析這些元素能得出不同的元素至少有4個(gè)，與有3個(gè)元素矛盾.對(duì)于②③：，由條件1得，若中除0外只有一個(gè)元素，由求得；若中還有另兩個(gè)元素，，由條件2得出中更多的元素，類似④的推斷過(guò)程，分析這些元素至少有3個(gè)不同，與中只有兩個(gè)元素矛盾；【詳解】對(duì)于①：由條件2知，，，且，所以若S只有2個(gè)元素，則這2個(gè)元素互為相反數(shù)，故①正確；對(duì)于④：若有3個(gè)元素，不妨設(shè)，其中，則，所以，而與為兩個(gè)互不相等的正數(shù)，與為兩個(gè)互不相等的負(fù)數(shù)，故集合中至少有4個(gè)元素，與有3個(gè)元素矛盾，故④錯(cuò)誤.對(duì)于②③：若有2個(gè)元素，由①知集合中的2個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè).由條件1得，由于集合中至少有2個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素.當(dāng)集合只有2個(gè)元素時(shí)，即，由條件1得，則或，故.當(dāng)集合有多于2個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，則，，由于，所以，又，故集合至少有3個(gè)元素，與S中只有兩個(gè)元素矛盾.綜上，，故②正確，③錯(cuò)誤.故答案為：①②.【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)學(xué)中新定義題目要仔細(xì)閱讀并理解新定義的內(nèi)涵，并根據(jù)新定義對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移應(yīng)用，此題中涉及集合元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，要充要利用集合元素的互異性通過(guò)列舉法列出特例元素，以排除重復(fù)元素.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的判定，即可求解.【詳解】由時(shí)，由，即，可得，即成立，反之，例如時(shí)，滿足，此時(shí)，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及充分條件、必要條件的判定，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.14.冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)，則可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域、對(duì)稱性、單調(diào)性等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；B選項(xiàng)，的定義域是，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意；C選項(xiàng)，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，不符合題意；D選項(xiàng)，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)，符合題意.故選：D15.已知集合，若集合是的個(gè)不同子集，且為的真子集，則的最大值是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】確定的所有子集，結(jié)合并集運(yùn)算即可求解.【詳解】的子集有：，要滿足為的真子集，且的最大，由8個(gè)子集可知：兩個(gè)元素的子集最多一個(gè)，若兩個(gè)元素的子集有兩個(gè)，任意兩個(gè)的并集都是，不符合題意，單元素子集最多兩個(gè)，若單元素子集有3個(gè)，，并集為，不符合題意，再包含一個(gè)空集，舉例：符合題意.即的最大值是，故選：B16.設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，若為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】解題的關(guān)鍵在于理解的定義，然后利用基本不等式求出的最小值，再結(jié)合的定義求出的最小值.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而中至少有一個(gè)不小于2，不妨設(shè)，則，所以.假設(shè)的最小值為2，，，所以，所以，與矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；假設(shè)的最小值為3，則，或，，同理，可得，顯然不成立，B錯(cuò)誤；假設(shè)的最小值為4，同理，易得，若取，則，即，假設(shè)成立，C正確，D錯(cuò)誤.故選：.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟17.設(shè)集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根據(jù)并集定義計(jì)算可得；（2）依題意是的真子集，即可得到不等式組，解得即可.【小問(wèn)1詳解】由，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，由，即，解得，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，又恒成立，即，所以（等號(hào)不同時(shí)取到），解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知集合，集合.（1）若集合，且滿足，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得，再結(jié)合韋達(dá)定理及完全平方公式求解即可；（2）由題意可得，再由，可得，分、為單元素集和，分別求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得，由韋達(dá)定理可得，所以，又因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以且，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)為單元素集時(shí)，則有，解得，此時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，即方程的兩個(gè)根為，所以，解得；綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.當(dāng)前，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，正極大改變著人類生產(chǎn)和生活方式，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展注入強(qiáng)勁動(dòng)能.2022年，工業(yè)和信息化部等十七部門(mén)印發(fā)了《“機(jī)器人＋”應(yīng)用行動(dòng)實(shí)施方案》，《方案》指出，到2025年，制造業(yè)機(jī)器人密度較2020年應(yīng)實(shí)現(xiàn)翻番，服務(wù)機(jī)器人、特種機(jī)器人行業(yè)應(yīng)用深度和廣度應(yīng)顯著提升，機(jī)器人促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)高質(zhì)量發(fā)展的能力應(yīng)明顯增強(qiáng).某動(dòng)力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計(jì)劃投入6300萬(wàn)元購(gòu)買一批智能工業(yè)機(jī)器人，使用該批智能機(jī)器人后的前年，設(shè)備維護(hù)成本共萬(wàn)元，每年電池銷售收入為6700萬(wàn)元，設(shè)使用該批智能機(jī)器人后，前年的總盈利額為萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；（2）使用若干年后，對(duì)該批智能機(jī)器人的處理方案有兩種.方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以2000萬(wàn)價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，將該批智能機(jī)器人以4800萬(wàn)元的價(jià)格處理.問(wèn)哪種方案更合理？并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）方案二更合理，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）分別計(jì)算出方案一與方案二的總盈利，然后比較，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，.【小問(wèn)2詳解】方案一：總盈利額，當(dāng)時(shí)，，若此時(shí)處理掉智能機(jī)器人，總盈利為萬(wàn)元；方案二：年均盈利額（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，年平均盈利額最大，若此時(shí)處理掉智能機(jī)器人，總盈利為萬(wàn)元.兩方案總利潤(rùn)都是13200萬(wàn)元，但方案二用時(shí)更短，則方案二更合理.20.已知函數(shù)（1）若將的圖象向下平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若，解關(guān)于的方程（3）若，且，解關(guān)于的不等式【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）確定平移后解析式，代入求解即可；（2）由指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合定義域求解即可；（3）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到且．再通過(guò)討論和求解即可.【小問(wèn)1詳解】將的圖象向下平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，將點(diǎn)代入上式，得解得【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以原方程為，由，得，又，所以，所以，即，所以，考慮到，解得，所以．【小問(wèn)3詳解】由，得，所以且，所以且．當(dāng)時(shí)，，由得，由，得，所以；當(dāng)時(shí)，，，由得，由，得，所以．綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．21.已知集合，且中至少有三個(gè)元素.如果，，，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集