小波變換的基本概念綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u7474小波變換的基本概念綜述 1109041連續(xù)小波變換 278752離散小波變換 3325423二進(jìn)小波變換 412710參考文獻(xiàn) 4小波是一種波，其存在區(qū)域較小，并且長(zhǎng)度有限，能夠衰減，均值為0。總結(jié)起來(lái)，小波是一個(gè)有限長(zhǎng)度波?，F(xiàn)設(shè)定ψ(t)為一個(gè)函數(shù)，且平方可積，ψ(t)∈L2(R)，若ψ(t)能夠達(dá)成，則稱ψ(t)為小波函數(shù)。通過(guò)這個(gè)定義，能夠得到其特點(diǎn)：第一個(gè)特點(diǎn)為小，原則上講，若函數(shù)L2(R)具有可容性，則稱其為小波母函數(shù)，通常為實(shí)數(shù)或者是復(fù)變函數(shù)，并且具有時(shí)域以及頻域的局部特征。另外，其第二個(gè)特點(diǎn)為波動(dòng)性，且正負(fù)交替，并具有為零的直流分量。正弦波同小波具有可對(duì)比性，其中的正弦函數(shù)為傅里葉變換分析所用其對(duì)比結(jié)果可見(jiàn)圖2-2。圖中左側(cè)為正弦函數(shù)，右側(cè)為小波函數(shù)，兩函數(shù)對(duì)比可以明顯看出，正弦函數(shù)的初值為負(fù)無(wú)窮大，終止為正無(wú)窮大，而小波函數(shù)則為有限值；正弦函數(shù)規(guī)律且對(duì)稱，小波函數(shù)不規(guī)律且不對(duì)稱。傅里葉變換主要是將整個(gè)信號(hào)分為多個(gè)正弦函數(shù)，而小波變換則是將其分解成疊加的小波函數(shù)，獲得的小波函數(shù)通過(guò)母小波函數(shù)并進(jìn)行平移以及尺度變換，再得到小波函數(shù)。通常，若需要更優(yōu)的結(jié)果，則需要使用小波函數(shù)來(lái)逼近局部特征，這方面小波函數(shù)較正弦函數(shù)具有更優(yōu)的效果。圖2.2傅里葉正弦波與小波小波母函數(shù)ψ(t)首先可以進(jìn)行平移以及伸縮，并獲得函數(shù)，a,b∈R;a>0。這里的a稱作伸縮因子，能夠表達(dá)函數(shù)寬度；這里的b稱作平移因子，能夠得到小波的t軸平移量。一般而言，在原點(diǎn)可以集中母小波函數(shù)ψ(t)的能量，b點(diǎn)可以集中小波函數(shù)的能量。被稱作連續(xù)小波函數(shù)基，通常設(shè)定a大于零。中的a能夠讓?duì)?t)伸縮，當(dāng)a不斷增大，ψ(t/a)逐漸變寬，小波持續(xù)時(shí)間也變寬；與幅度具有反比關(guān)系，不過(guò)小波形狀通常固定。在中，能夠使能量相等，也就是。1連續(xù)小波變換一般將基本小波定義為ψ(t)，定義可知，為連續(xù)小波函數(shù)。的積分小波變換可定義為式（2.1），積分小波變換也成為離散小波變換。（2.1）式（2.1）的a(≠0)、b、t均為連續(xù)變量，ψ*(t)為ψ(t)的復(fù)共軛。在此基礎(chǔ)上，可以知道連續(xù)小波變換具有線性性和平移不變性：(1)線性性若f(t)以及g(t)的小波變換設(shè)定為以及，那么任意實(shí)數(shù)、，的小波變換可表示為。(2)平移不變性若f(t)的小波變換設(shè)定成，那么的小波變換便可表示成?？梢哉J(rèn)為，f(t)可以看做平移后的函數(shù)，且是對(duì)于來(lái)說(shuō)。連續(xù)小波變換能夠以卷積形式表達(dá)：（2.2），小波變換能夠被視為卷積運(yùn)算，且同濾波器和信號(hào)相關(guān)。在工程方面，類似于高通濾波器。在連續(xù)小波變換中，一般的研究?jī)H注重小波，缺乏對(duì)應(yīng)尺度的研究。如果ψ(t)無(wú)與其對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)，那么所獲得的圖像僅僅只包括其中的部分細(xì)節(jié)。2離散小波變換連續(xù)的小波變換在計(jì)算機(jī)對(duì)其的處理中十分困難，對(duì)其的分析處理均容易出現(xiàn)很大的難度。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)f(t)均需要離散化處理，處理后的信號(hào)被稱為離散時(shí)間序列。連續(xù)小波變換中，兩個(gè)參數(shù)要進(jìn)行離散化，這兩個(gè)參數(shù)分別為尺度a以及平移參數(shù)b，如此一來(lái)，離散小波變換便完成了，這種變換也表示為DWT（DiscreteWaveletTransform）[6]。在連續(xù)變換中，小波基函數(shù)具有較強(qiáng)的相關(guān)性。所以，信號(hào)函數(shù)f(t)變換前為一維信號(hào)，而信號(hào)為二維信號(hào)，也是其變換后的信號(hào)，二維信號(hào)的缺點(diǎn)為其存在冗余。若在理想狀態(tài)下，小波基函數(shù)能夠滿足其進(jìn)行離散處理結(jié)束可以達(dá)到正交完備性的條件。如此一來(lái)，計(jì)算機(jī)便可以迅速完成運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算難度，能夠滿足大部分的硬件條件。若想要進(jìn)行離散小波變換，有一個(gè)必須提前解決的問(wèn)題，也就是采樣步長(zhǎng)如何設(shè)定才能夠充分得到其特性，并判斷變換后會(huì)不會(huì)出現(xiàn)逆變換現(xiàn)象，變換后會(huì)不會(huì)保留優(yōu)質(zhì)性質(zhì)。這些問(wèn)題主要可以總結(jié)為三個(gè)概念：第一個(gè)概念為采樣定律；第二個(gè)概念為框架理論；第三個(gè)概念為再生核分析。若要降低冗余度，小波基函數(shù)內(nèi)的a、b值取值需要特殊考慮，找到一些特定值才能完成任務(wù)。(1)尺度的離散化。一般來(lái)說(shuō)，首先完成冪數(shù)級(jí)離散化，使a取a=，>0，m∈Z，這樣冪級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為，。(2)位移的離散化。通常來(lái)說(shuō)，b的取值具有一定特點(diǎn)，其應(yīng)該為均勻離散的，并且全部時(shí)間軸必須均能夠被覆蓋。信息不能丟失，若想要做到這一點(diǎn)，采樣間隔b應(yīng)該須達(dá)到Nyquist采樣定理，采樣率同頻率通帶具有2倍或大于2倍的關(guān)系。所以，若m提升了1，其對(duì)應(yīng)的尺度a就要提升一倍，頻率會(huì)降低0.5倍。通過(guò)這個(gè)可以得出，即便采樣頻率減少0.5倍，信息丟失的情況仍然不會(huì)出現(xiàn)，換句話說(shuō)，頻率上限并不能對(duì)帶通信號(hào)的采樣頻率產(chǎn)生決定性作用。所以，尺度j固定的狀況下，的寬度為ψ(t)的倍。所以，采樣間隔就算提升至，也能夠避免信息丟失。所以，可以修改為：，記為。離散小波變換具體定義如下：，（2.3）3二進(jìn)小波變換連續(xù)小波變換的進(jìn)行過(guò)程，一般設(shè)定參數(shù)參數(shù)b設(shè)置為連續(xù)值，那么就能夠?qū)⒍M(jìn)小波的表達(dá)式設(shè)定成：，的二進(jìn)小波變換是：（2.4）二進(jìn)小波所做的任務(wù)是對(duì)參量進(jìn)行操作，這里的參量指的是尺度參量，操作為離散化操作，不過(guò)平移量具有連續(xù)變化的特性，所以，其還具有時(shí)頻共變的特性，但是正交離散小波卻并無(wú)此特性。參考文獻(xiàn)[1]李瑋瑤，王啟明等.基于小波變換的動(dòng)態(tài)發(fā)電機(jī)過(guò)熱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)研究[J].計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2015（4）：107-109.[2]孫建.基于聲信號(hào)的汽車底盤中助力轉(zhuǎn)向電機(jī)故障診斷方法研究[D].蘇州大學(xué)，2017.[3]陳東華，張鳳雛.基于小波變換的同步交流發(fā)電機(jī)旋轉(zhuǎn)整流器故障診斷[J].機(jī)械制造與自動(dòng)化，2018，47（06）：230-233.[4]陳學(xué)軍，楊永明.基于經(jīng)驗(yàn)小波變換的振動(dòng)信號(hào)分析[J].太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，2017，38（2）：339-346.[5]羅傳勝，宋運(yùn)平等.基于振動(dòng)聲學(xué)的變壓器分接開(kāi)關(guān)及繞組變形在線診斷技術(shù)[J].電工技術(shù)，2020，5