第四章圖形的相似【知識點(diǎn)01】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。【知識點(diǎn)02】比例的性質(zhì)1）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。2）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)?！局R點(diǎn)03】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例?！局R點(diǎn)04】相似三角形的相關(guān)概念、判定和性質(zhì)1）相似三角形的概念：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）相似比的概念：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對應(yīng)邊的比是有順序的。3）相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）。4）相似三角形的性質(zhì)①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。③相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【知識點(diǎn)05】利用相似三角形測高1、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。2、利用三角形的性質(zhì)來解決實(shí)際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則?！局R點(diǎn)06】位似及位似作圖1、位似的概念及性質(zhì)（1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。（2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。（3）位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。（4）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。2、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點(diǎn)，得到圖形。3、圖形的變換與坐標(biāo)（1）平移：①圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個單位時，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個單位，反之則減；②圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。（2）軸對稱:①圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。（3）以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。易錯點(diǎn)1相似三角形動點(diǎn)中求時間多解問題易錯問題一、易錯點(diǎn)總結(jié)1.忽略相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”兩種情況討論，導(dǎo)致漏解。2.計算時間時未考慮動點(diǎn)運(yùn)動范圍，如超過線段端點(diǎn)仍繼續(xù)計算，得出無效時間值。3.誤用運(yùn)動速度，混淆“單向運(yùn)動”與“往返運(yùn)動”的速度方向，導(dǎo)致時間計算錯誤。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.解題第一步明確動點(diǎn)運(yùn)動路徑和速度，標(biāo)注線段長度，確定運(yùn)動時間的取值范圍（如t≥0，且動點(diǎn)不超出線段）。2.遇相似條件先列出所有可能的對應(yīng)頂點(diǎn)組合，分別列比例式求解，最后驗(yàn)證解是否符合運(yùn)動范圍，排除無效解。例題1．（24-25八年級下·山東東營·期末）如圖，在中，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊運(yùn)動，速度為，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊運(yùn)動，速度為，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，停止運(yùn)動．如果P，Q兩點(diǎn)同時運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)秒時，由P、B、Q三點(diǎn)連成的三角形與相似．【答案】2秒或秒【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．利用時間表示相應(yīng)線段長和利用相似比列方程是解決此題的關(guān)鍵．分兩種情況，利用相似三角形的判定建立方程求解即可；【詳解】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，以與相似，厘米，，∴當(dāng)時，，即；解得：，當(dāng)時，，即；解得：，即經(jīng)過2秒或秒時，與相似，故答案為：2秒或秒．易錯點(diǎn)2相似三角形動點(diǎn)中求線段長多解問題易錯問題一、易錯點(diǎn)總結(jié)1.未分類討論相似三角形對應(yīng)頂點(diǎn)，僅按一種對應(yīng)關(guān)系列比例式，漏求線段長。2.計算時忽略動點(diǎn)位置限制，未判斷所求線段長是否符合實(shí)際運(yùn)動場景，得出不合理值。3.混淆動點(diǎn)運(yùn)動的“線段”與“直線”背景，誤用無限延伸條件算線段長。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.先明確相似的所有可能對應(yīng)情況，每種情況列比例式，避免漏解。2.求出線段長后，結(jié)合動點(diǎn)運(yùn)動范圍（如在線段上）驗(yàn)證，排除超出或負(fù)數(shù)的無效結(jié)果。例題2．（2026·江西·模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形中，，點(diǎn)M是邊上一動點(diǎn)，連接，當(dāng)圖中存在直角三角形時（不添加其他線段），的長為．【答案】4或或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)題意求出等腰三角形底邊上的高，然后分三種情況討論，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意求出等腰三角形底邊上的高.如圖（1），過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵，∴．根據(jù)直角三角形的直角不確定，分情況求解.①當(dāng)時，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，此時均為直角三角形，；②當(dāng)時，為直角三角形，如圖（2），，∴，∴，即，解得；③當(dāng)時，為直角三角形，如圖（3），同理②可得,；綜上所述，的長為4或或．故答案為：4或或．易錯點(diǎn)3由平行截線求相關(guān)線段的長或比值易錯問題一、易錯點(diǎn)總結(jié)1.

誤用平行線分線段成比例定理，未確認(rèn)截線是否“同時截兩條平行線”，如截線不平行卻套用定理，導(dǎo)致比值錯。2.

混淆“分線段成比例”與“分線段相等”，默認(rèn)截線等分線段，忽略非等分情況。3.

計算時未找準(zhǔn)對應(yīng)線段，將不對應(yīng)的線段列入比例式。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.

先判斷是否滿足“兩平行線被一組直線所截”，確認(rèn)定理適用條件。2.

標(biāo)注線段端點(diǎn)，明確對應(yīng)關(guān)系后列比例式，計算后結(jié)合圖形驗(yàn)證，避免對應(yīng)錯誤。例題3．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，D，E分別是，上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)F，若，，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，過點(diǎn)D作，交于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，交于H，則，設(shè)，則，∵，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，故答案為：．易錯點(diǎn)4相似三角形與幾何圖形綜合易錯問題一、易錯點(diǎn)總結(jié)1.

未結(jié)合圖形特性找相似條件，如在矩形、菱形中忽略隱含的直角、等邊關(guān)系，漏相似三角形。2.

誤用相似性質(zhì)，將“對應(yīng)高比=相似比”錯用為“高=相似比×對應(yīng)高”，計算線段長出錯。3.

忽略圖形動態(tài)變化（如折疊、旋轉(zhuǎn)）后的相似對應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致比例式列錯。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.

先分析圖形固有性質(zhì)（如直角、對邊相等），挖掘隱含相似條件。2.

列比例式前標(biāo)注相似三角形對應(yīng)頂點(diǎn)，結(jié)合圖形動態(tài)狀態(tài)驗(yàn)證，確保性質(zhì)應(yīng)用正確。例題4．（24-25九年級下·遼寧撫順·階段練習(xí)）新定義：如果從一個平行四邊形的一個頂點(diǎn)向不過該頂點(diǎn)的對角線作垂線，垂線交平行四邊形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)”．如圖1，在中，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若F為的中點(diǎn)，則是垂中平行四邊形，E是垂中點(diǎn)．

(1)如圖1，在垂中平行四邊形中，E是垂中點(diǎn)．若，，則_____；_____；(2)如圖2，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，于點(diǎn)，，．①請畫出以為邊的垂中平行四邊形，使得為垂中點(diǎn)，點(diǎn)在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫圖工具，不寫畫法及證明，在圖上標(biāo)明字母）②將沿翻折得到，若射線與①中所畫的垂中平行四邊形的邊交于另一點(diǎn)，連接，請直接寫出的長．【答案】(1)1，(2)．證明見解析(3)①畫圖見解析；②的長為或【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點(diǎn)，連接，在延長線上取點(diǎn)F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點(diǎn)，不符合題意．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，，，，，，，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中平行四邊形中，，且為的中點(diǎn)，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點(diǎn)，，，，，，，即，為的中點(diǎn)；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，在射線上取，連接，故為的中點(diǎn)；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長線于點(diǎn)，連接，在延長線上取點(diǎn)F，使，連接，則為的中點(diǎn)，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照圖1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過P作于H，則，，，，，，；，，，，即

∴若按照圖2作圖，延長、交于點(diǎn)，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照圖3作圖，則：沒有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級·全國·單元測試）如圖，在鈍角三角形中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止．點(diǎn)運(yùn)動的速度為秒，點(diǎn)運(yùn)動的速度為秒．如果兩點(diǎn)同時運(yùn)動，那么當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是（）A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定，解題時要注意此題有兩種相似形式，別漏解；還要注意運(yùn)用方程思想解題．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，和，可求運(yùn)動的時間是3秒或4.8秒．【詳解】解：根據(jù)題意得：設(shè)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是秒，①若，則，即，解得：；②若，則，即，解得：；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是3秒或4.8秒，故選：A2．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，過點(diǎn)A作，垂足E在的延長線上，過點(diǎn)E作，垂足為．若，，則菱形的邊長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由菱形的面積公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的邊長．本題考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由菱形的面積公式推出，判定．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，菱形的面積，，，，，，∴，，，，菱形的邊長為．故選：C．3．（24-25九年級下·廣東深圳·開學(xué)考試）如圖，正方形中，E是中點(diǎn)，連接，作交于F，交于P，交于H，延長交延長線于G，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明，得，根據(jù)證明，，，列比例式可求得：和的長，從而得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是弄清比例之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2025年貴州省遵義市初中畢業(yè)生（學(xué)業(yè)）水平檢測一模檢測數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知在直角梯形中，，，，，．動點(diǎn)P、Q分別在邊、上，且．線段與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，射線交的延長線于點(diǎn)G，設(shè)，給出下列說法：①當(dāng)四邊形為平行四邊形時，；②；③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，四邊形的面積始終等于；④當(dāng)是以線段為腰的等腰三角形時，最多有四種結(jié)果說法正確的個數(shù)是多少個？（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①由平行四邊形的性質(zhì)即可求值；②由平行線分線段成比例即可求解其比值；③點(diǎn)P在上運(yùn)動時，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得與的比始終是，且，所以其面積為定值，進(jìn)而求出其面積即可；④以線段為腰，則可能是，也可能是，所以分情況求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，即，∴當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，∴，∴，故①正確；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．∴，即．作，垂足為點(diǎn)N，過E作于M，∴，，∴，∴，∴．∴，故③正確；作，垂足為點(diǎn)H，則，，（i）當(dāng)時，，∴，解得，（ii）當(dāng)時，，解得或，綜上，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，x的值為、2或，故④錯誤，∴正確的結(jié)論有3個．故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、以及梯形的面積的求解、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識，能夠利用所學(xué)知識熟練求解是解答的關(guān)鍵．二、填空題5．（2025·廣東汕頭·一模）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則的長為；【答案】/【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，作，可得，推出，即可求解．【詳解】解：作交于點(diǎn)H，如圖所示：∵是的中點(diǎn)，∴，∵∴，∴，∵，∴，故答案為：．6．（23-24九年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，連接，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間是秒，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時，的值為．【答案】或【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定及性質(zhì)，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．分類討論垂直的情況，利用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】①解：當(dāng)軸時，延長交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)于點(diǎn)，如圖所示：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，，又∵，∴（SSS），∴，∵，；∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．②當(dāng)軸時，連接，與交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)，關(guān)于對稱，∴垂直平分，∴，，∴，∴，又∵，∴(ASA)，∴，∴，解得：．綜上所述，的值為或；故答案為：或．7．（2025·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，連結(jié)，是邊上一動點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時，．

【答案】或【分析】本題主要考查了矩形的折疊問題、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．由折疊知，設(shè)，則，再分和兩種情況，可證與相似，利用對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵矩形中，，∴，由折疊知，設(shè)，則，∵是直角三角形時，∴當(dāng)時，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴；當(dāng)時，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．故答案為：或．8．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在中，，點(diǎn)P、Q分別為上一動點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，若點(diǎn)D始終在邊上，當(dāng)與相似時，的長為．【答案】或【分析】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，當(dāng)與相似時，設(shè)，則，分兩種情況：①，②，分別列方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)與相似時，∵點(diǎn)D始終在邊上，根據(jù)折疊，設(shè)，則，∴分兩種情況：①，此時，∴，即，解得，∴，②，此時，∴，即，解得，∴，綜上，的長為或，故答案為：或．三、解答題9．（23-24九年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，是的中線，E是線段上的一點(diǎn)，且，連接并延長交于點(diǎn)F．(1)求的值；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查中線定義，線段和差關(guān)系，平行線分線段成比例等知識內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．．（1）根據(jù)題意可知，繼而得到本題答案；（2）過D作交于M點(diǎn)，繼而得到，再利用中線定義得到，再利用平行線分線段定理可得，繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過D作交于M點(diǎn)，∴，∵是的中線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．10．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，解答下列問題：(1)當(dāng)時，判斷的形狀，并說明理由；(2)作交于點(diǎn)R，連接，當(dāng)t為何值時，與以P、R、Q為頂點(diǎn)的三角形相似．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析(2)當(dāng)時，與以P、R、Q為頂點(diǎn)的三角形相似【分析】本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時，可分別計算出、的長，再對的形狀進(jìn)行判斷即可；（2）先證為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形是矩形，再分、、三種情況分別列比例式建立方程求解即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：當(dāng)時，，，，，∵是邊長為的等邊三角形，∴，∴是等邊三角形．（2）解：如圖：過Q作，垂足為E，∵，，，是等邊三角形，，∵，∴，，∴，，，∴四邊形是平行四邊形，，又，，∵與以P、R、Q為頂點(diǎn)的三角形相似∴當(dāng)時，∴，即，解得：；∴當(dāng)時，∴，即，解得：；當(dāng)時，不符合題意．綜上，當(dāng)時，與以P、R、Q為頂點(diǎn)的三角形相似．11．（24-25九年級下·遼寧撫順·階段練習(xí)）【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），連接，．求證：．【特例研討】（3）如圖3，和是等腰直角三角形，，，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，，在同一條直線上，與交于點(diǎn)，連接．①求的度數(shù)；②求的長．【深入探究】（4）如圖4，在四邊形中，，，，若，請直接寫出的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）①；②（4）【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似等，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；（1）利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判定求解；（2）先證，推出，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得，可證；（3）①與（2）同理，得，推出，利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)推出，所以；②過點(diǎn)D作于G，設(shè)，利用勾股定理求出，從而可求的長；（4）作，且，連接，，，依次證明，，利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，推出，，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，再利用勾股定理求解．【詳解】（1），，，，，，故答案為：．（2）由（1）知，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，．（3）①和是等腰直角三角形，，與（2）同理，得，，，，，，，解得，，點(diǎn)，，在同一條直線上，，又，滿足，，．②如圖3，過點(diǎn)D作于G，則，為等腰直角三角形，，，，，設(shè)，由勾股定理可求得，又，，，由可得，解得，，．（4）如圖4，作，且，連接，，，，，，，，，由得，，由，，可得，由勾股定理得，，解得，，，，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，則，又，，，，．12．（24-25九年級上·廣東清遠(yuǎn)·期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是中點(diǎn)．連結(jié)，交于點(diǎn)G，求的值．（1）小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作交于H，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到問題的答案．下面是小明的部分證明過程：解：如圖1，過點(diǎn)D作交于H，是的中點(diǎn)，，，請你補(bǔ)全余下的證明過程．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖圖2，在中，E、F分別是、的中點(diǎn)，連接分別交、于M、N，求證：．【拓展提高】（3）如圖圖3，點(diǎn)D、E分別是、邊的中點(diǎn)，、交于F，，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）12【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識，（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理和中點(diǎn)的定義進(jìn)行解答即可；（2）連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．根據(jù)（1）問可得．同理可得,由點(diǎn)為的中點(diǎn)得到，即可證明結(jié)論成立；（3）求出，得到，．根據(jù)即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)D作交于H，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)．又（2）證明：連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，根據(jù)（1）問可得．同理可得點(diǎn)為的中點(diǎn)．（3）由第（1）問可知，同理可得，．13．（24-25九年級下·山東青島·自主招生）【問題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”某校九年級三班數(shù)學(xué)探究小組在研究矩形時發(fā)現(xiàn)矩形里有一個有趣的“十字架”：如圖①，在矩形中，，，E、F、G、H分別是邊、、、上的點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)O，當(dāng)時，總是會有．【模型建立】如何證明這個猜想呢？在同學(xué)們陷入深思時，組長小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將F、G分別移動到頂點(diǎn)A、D處，如圖②所示．（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？（2）你能在圖①中添加輔助線，并對輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？【模型應(yīng)用】（3）如圖③，在正方形中，，E、F分別在邊、上，連接、，若，，則．（直接寫出結(jié)果）．【拓廣延伸】（4）如圖④，在直角梯形中，，，點(diǎn)M、N分別是邊上的動點(diǎn)，連接交梯形對角線于點(diǎn)O，若，則的長度為．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）能，過程見詳解（2）見詳解（3）1（4）【分析】（1）結(jié)合矩形的性質(zhì)，以及直角三角形兩個銳角互余得，證明，把，代入，即可作答．（2）分別過作，結(jié)合矩形的性質(zhì)證明四邊形是矩形，四邊形是矩形，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，證明，把，代入，即可作答．（3）先結(jié)合正方形的性質(zhì)得，，再根據(jù)角的等量代換得，故證明，結(jié)合，