第四章圖形的相似【知識(shí)點(diǎn)01】成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的等于另外兩條線段的，那么這四條線段叫做成比例線段?！局R(shí)點(diǎn)02】比例的性質(zhì)1）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。2）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使，叫做把線段AB，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)?！局R(shí)點(diǎn)03】平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的?！局R(shí)點(diǎn)04】相似三角形的相關(guān)概念、判定和性質(zhì)1）相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角，的兩個(gè)三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）相似比的概念：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是有順序的。3）相似三角形的判定判定1：如果兩個(gè)三角形的三組，那么這兩個(gè)三角形相似。判定2：如果兩個(gè)三角形的，并且?jiàn)A角，那么這兩個(gè)三角形相似。判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的，那么這兩個(gè)三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）。4）相似三角形的性質(zhì)①對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊的比；②拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都。③相似三角形周長(zhǎng)的比等于，面積的比等于。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【知識(shí)點(diǎn)05】利用相似三角形測(cè)高1、利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量河的寬度，計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度或深度。2、利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測(cè)物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則。【知識(shí)點(diǎn)06】位似及位似作圖1、位似的概念及性質(zhì)（1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做，這個(gè)點(diǎn)叫做。這時(shí)的相似比又稱(chēng)為。（2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①，相似圖形沒(méi)有；②，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：。（3）位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比。2、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形。畫(huà)位似圖形的一般步驟：①；②（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③；④，得到圖形。3、圖形的變換與坐標(biāo)（1）：①圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個(gè)單位，反之則減；②圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。（2）:①圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。（3）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。易錯(cuò)點(diǎn)1相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題易錯(cuò)問(wèn)題一、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.忽略相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，未分“△ABC∽△DEF”和“△ABC∽△DFE”兩種情況討論，導(dǎo)致漏解。2.計(jì)算時(shí)間時(shí)未考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍，如超過(guò)線段端點(diǎn)仍繼續(xù)計(jì)算，得出無(wú)效時(shí)間值。3.誤用運(yùn)動(dòng)速度，混淆“單向運(yùn)動(dòng)”與“往返運(yùn)動(dòng)”的速度方向，導(dǎo)致時(shí)間計(jì)算錯(cuò)誤。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.解題第一步明確動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑和速度，標(biāo)注線段長(zhǎng)度，確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間的取值范圍（如t≥0，且動(dòng)點(diǎn)不超出線段）。2.遇相似條件先列出所有可能的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)組合，分別列比例式求解，最后驗(yàn)證解是否符合運(yùn)動(dòng)范圍，排除無(wú)效解。例題1．（24-25八年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)秒時(shí)，由P、B、Q三點(diǎn)連成的三角形與相似．易錯(cuò)點(diǎn)2相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)多解問(wèn)題易錯(cuò)問(wèn)題一、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.未分類(lèi)討論相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，僅按一種對(duì)應(yīng)關(guān)系列比例式，漏求線段長(zhǎng)。2.計(jì)算時(shí)忽略動(dòng)點(diǎn)位置限制，未判斷所求線段長(zhǎng)是否符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，得出不合理值。3.混淆動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的“線段”與“直線”背景，誤用無(wú)限延伸條件算線段長(zhǎng)。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.先明確相似的所有可能對(duì)應(yīng)情況，每種情況列比例式，避免漏解。2.求出線段長(zhǎng)后，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍（如在線段上）驗(yàn)證，排除超出或負(fù)數(shù)的無(wú)效結(jié)果。例題2．（2026·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形中，，點(diǎn)M是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)圖中存在直角三角形時(shí)（不添加其他線段），的長(zhǎng)為．易錯(cuò)點(diǎn)3由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值易錯(cuò)問(wèn)題一、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.

誤用平行線分線段成比例定理，未確認(rèn)截線是否“同時(shí)截兩條平行線”，如截線不平行卻套用定理，導(dǎo)致比值錯(cuò)。2.

混淆“分線段成比例”與“分線段相等”，默認(rèn)截線等分線段，忽略非等分情況。3.

計(jì)算時(shí)未找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段，將不對(duì)應(yīng)的線段列入比例式。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.

先判斷是否滿(mǎn)足“兩平行線被一組直線所截”，確認(rèn)定理適用條件。2.

標(biāo)注線段端點(diǎn)，明確對(duì)應(yīng)關(guān)系后列比例式，計(jì)算后結(jié)合圖形驗(yàn)證，避免對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤。例題3．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，D，E分別是，上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)F，若，，則的值為．易錯(cuò)點(diǎn)4相似三角形與幾何圖形綜合易錯(cuò)問(wèn)題一、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)1.

未結(jié)合圖形特性找相似條件，如在矩形、菱形中忽略隱含的直角、等邊關(guān)系，漏相似三角形。2.

誤用相似性質(zhì)，將“對(duì)應(yīng)高比=相似比”錯(cuò)用為“高=相似比×對(duì)應(yīng)高”，計(jì)算線段長(zhǎng)出錯(cuò)。3.

忽略圖形動(dòng)態(tài)變化（如折疊、旋轉(zhuǎn)）后的相似對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致比例式列錯(cuò)。二、注意事項(xiàng)總結(jié)1.

先分析圖形固有性質(zhì)（如直角、對(duì)邊相等），挖掘隱含相似條件。2.

列比例式前標(biāo)注相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，結(jié)合圖形動(dòng)態(tài)狀態(tài)驗(yàn)證，確保性質(zhì)應(yīng)用正確。例題4．（24-25九年級(jí)下·遼寧撫順·階段練習(xí)）新定義：如果從一個(gè)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向不過(guò)該頂點(diǎn)的對(duì)角線作垂線，垂線交平行四邊形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個(gè)平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)”．如圖1，在中，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若F為的中點(diǎn)，則是垂中平行四邊形，E是垂中點(diǎn)．

(1)如圖1，在垂中平行四邊形中，E是垂中點(diǎn)．若，，則_____；_____；(2)如圖2，在垂中平行四邊形中，是垂中點(diǎn)．若，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，于點(diǎn)，，．①請(qǐng)畫(huà)出以為邊的垂中平行四邊形，使得為垂中點(diǎn)，點(diǎn)在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫(huà)圖工具，不寫(xiě)畫(huà)法及證明，在圖上標(biāo)明字母）②將沿翻折得到，若射線與①中所畫(huà)的垂中平行四邊形的邊交于另一點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．一、單選題1．（24-25九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在鈍角三角形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)止．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為秒，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒2．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足E在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為．若，，則菱形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形中，E是中點(diǎn)，連接，作交于F，交于P，交于H，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于G，則的值為（）A． B． C． D．4．（2025年貴州省遵義市初中畢業(yè)生（學(xué)業(yè)）水平檢測(cè)一模檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知在直角梯形中，，，，，．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在邊、上，且．線段與相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)，給出下列說(shuō)法：①當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，；②；③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積始終等于；④當(dāng)是以線段為腰的等腰三角形時(shí)，最多有四種結(jié)果說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是多少個(gè)？（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題5．（2025·廣東汕頭·一模）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為；6．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，的值為．7．（2025·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，連結(jié)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，．

8．（24-25九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在中，，點(diǎn)P、Q分別為上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，若點(diǎn)D始終在邊上，當(dāng)與相似時(shí)，的長(zhǎng)為．三、解答題9．（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，是的中線，E是線段上的一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．(1)求的值；(2)若，求的長(zhǎng)．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)作交于點(diǎn)R，連接，當(dāng)t為何值時(shí)，與以P、R、Q為頂點(diǎn)的三角形相似．11．（24-25九年級(jí)下·遼寧撫順·階段練習(xí)）【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），連接，．求證：．【特例研討】（3）如圖3，和是等腰直角三角形，，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，，在同一條直線上，與交于點(diǎn)，連接．①求的度數(shù)；②求的長(zhǎng)．【深入探究】（4）如圖4，在四邊形中，，，，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．12．（24-25九年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是中點(diǎn)．連結(jié)，交于點(diǎn)G，求的值．（1）小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D作交于H，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到問(wèn)題的答案．下面是小明的部分證明過(guò)程：解：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作交于H，是的中點(diǎn)，，，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖圖2，在中，E、F分別是、的中點(diǎn)，連接分別交、于M、N，求證：．【拓展提高】（3）如圖圖3，點(diǎn)D、E分別是、邊的中點(diǎn)，、交于F，，，，求四邊形的面積．13．（24-25九年級(jí)下·山東青島·自主招生）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”某校九年級(jí)三班數(shù)學(xué)探究小組在研究矩形時(shí)發(fā)現(xiàn)矩形里有一個(gè)有趣的“十字架”：如圖①，在矩形中，，，E、F、G、H分別是邊、、、上的點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)O，當(dāng)時(shí)，總是會(huì)有．【模型建立】如何證明這個(gè)猜想呢？在同學(xué)們陷入深思時(shí)，組長(zhǎng)小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將F、G分別移動(dòng)到頂點(diǎn)A、D處，如圖②所示．（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？（2）你能在圖①中添加輔助線，并對(duì)輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？【模型應(yīng)用】（3）如圖③，在正方