一元一次方程（全章知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．【要點(diǎn)提示】判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．【知識(shí)點(diǎn)2】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【知識(shí)點(diǎn)3】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并同類項(xiàng)：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【知識(shí)點(diǎn)4】用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)4.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.考點(diǎn)與題型目錄【考點(diǎn)一】一元一次方程的概念【題型1】方程及方程的解.....................................................3【題型2】利用等式基本性質(zhì)進(jìn)行判斷...........................................4【題型3】利用等式基本性質(zhì)求天平中砝碼的質(zhì)量與個(gè)數(shù)...........................5【考點(diǎn)二】解一元一次方程【題型4】一元一次方程的同解原理.............................................7【題型5】一元一次方程中的錯(cuò)解問(wèn)題...........................................9【題型6】一元一次方程中的遮擋問(wèn)題..........................................11【題型7】一元一次方程中分子與分母含小數(shù)問(wèn)題................................13【題型8】一元一次方程中有解、無(wú)解、無(wú)數(shù)解問(wèn)題..............................14【題型9】一元一次方程中的整數(shù)解問(wèn)題........................................16【題型10】解含絕對(duì)值的一元一次方程.........................................18【題型11】用整體思想解一元一次方程.........................................19【題型12】一元一次方程中大數(shù)據(jù)問(wèn)題.........................................22【題型13】一元一次方程中規(guī)律問(wèn)題...........................................23【題型14】含參一元一次方程的解總是一個(gè)常數(shù)問(wèn)題.............................25【考點(diǎn)三】實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程【題型15】列一元一次方程解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題.......................................26【題型16】列一元一次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題.......................................31第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】方程及方程的解【例1】（23-24七年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知關(guān)于x的方程是一元一次方程．(1)求m的值；(2)已知：是該一元一次方程的解，求n的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查一元一次方程的定義，方程的解．（1）根據(jù)一元一次方程的定義可得，，求解即可；（2）把代入方程，求解即可．解：（1）∵關(guān)于x的方程是一元一次方程，∴且∴；（2）由（1）得，該一元一次方程為，∵是該方程的解，∴，∴．【變式1】（2024七年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）已知是非零整數(shù)，關(guān)于的方程是一元一次方程，求的值．【答案】4或或1【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．分情況討論，（1），，（2），，根據(jù)一元一次方程的定義求得、的值．解：分兩種情況：（1），，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；（2），，解得，，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，由原方程，得，不符合題意．【變式2】（21-22七年級(jí)上·福建福州·期末）已知關(guān)于x的方程的解是，那么關(guān)于m的方程的解是．【答案】m=4【分析】根據(jù)一元一次方程解的定義，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程）即可．解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，把d=a+c代入方程，得，即am=4a，m=4．故答案為：m=4．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【題型2】利用等式基本性質(zhì)進(jìn)行判斷【例2】（23-24七年級(jí)上·安徽池州·期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．解：A、等式兩邊同時(shí)加上n得，，變形正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、等式兩邊同時(shí)乘n得，，變形正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、等式兩邊同時(shí)除以n，當(dāng)時(shí)，兩邊都除以n無(wú)意義，變形錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；D、無(wú)論n取何值，等式兩邊同時(shí)除以得，，變形正確，故選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式1】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·期末）下列運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，理解并掌握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．等式性質(zhì)：（1）等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；（2）等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可．解：A.如果，如果，那么，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.因?yàn)椋匀绻?，那么，該選擇正確，符合題意；C.如果，那么或，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.如果，那么，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：B．【變式2】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）將方程變形為用含的式子表示，那么；【答案】【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)運(yùn)算即可，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：，∴，∴，故答案為：．【題型3】利用等式基本性質(zhì)求天平中砝碼的質(zhì)量與個(gè)數(shù)【例3】（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）已知〇、△、口分別代表不同物體，用天平比較它們的質(zhì)量，如圖所示．根據(jù)砝碼顯示的質(zhì)量，求〇g，□=g．【答案】【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟悉掌握并能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．設(shè)1個(gè)〇重g，1個(gè)□重g，1個(gè)△重g，利用代數(shù)式可表達(dá)出，，，運(yùn)算求解即可．解：設(shè)1個(gè)〇重g，1個(gè)□重g，1個(gè)△重g．由題意可得：，，．根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，將的兩邊同除以2，得，將的兩邊同除以5，得，將和代入，得，根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，將兩邊同時(shí)減，得，根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，將兩邊同時(shí)除以，得，將代入，得，〇g，□g．故答案為：，．【變式1】（21-22八年級(jí)上·四川成都·期末）某小組設(shè)計(jì)了一組數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給全班同學(xué)展示以下三個(gè)圖，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，現(xiàn)要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盤中放入砝碼的克數(shù)為（

）A．25克 B．30克 C．40克 D．50克【答案】C【分析】由圖（a）和圖（b）可得5個(gè)黑三角和5個(gè)黑圓共重150克，從而1個(gè)黑三角和1個(gè)黑圓共重30克，由此可計(jì)算出1個(gè)黑三角重20克，1個(gè)黑圓重10克，可計(jì)算出此題結(jié)果．解：設(shè)一個(gè)黑三角重a克，一個(gè)黑圓重b克，由題意，得5（a+b）=150，解得a+b=30，由圖（a）得，a+2（a+b）=80，即a+2×30=80，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了利用等式的性質(zhì)和方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出關(guān)系式，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【變式2】如圖所示，在天平的左盤上的兩個(gè)物品取下一個(gè)，右盤取下個(gè)砝碼才能使天平仍然平衡．【答案】3【分析】根據(jù)題意，設(shè)左邊的物品每個(gè)重量為g，每個(gè)砝碼的重量為g，根據(jù)等式的性質(zhì)即可求得答案．解：設(shè)左邊的物品每個(gè)重量為g，每個(gè)砝碼的重量為g，則即故右盤取下3個(gè)個(gè)砝碼才能使天平仍然平衡．故答案為：3【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．【題型4】一元一次方程的同解原理【例4】（2024·河北邯鄲·三模）已知關(guān)于x的方程的解比方程的解大5，求這兩個(gè)方程的解．【答案】方程的解為，方程的解為【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義．首先由方程，用表示，然后由第二個(gè)方程，再用表示，此時(shí)兩個(gè)的值相差5，可得方程求出的值，進(jìn)而即可求得方程的解．解：由題意得：，解得：．由，解得：，關(guān)于的方程的解比方程的解大5，，解得，，，這兩個(gè)方程的解為和．【變式1】（20-21六年級(jí)下·上海松江·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程與的解相同，則．【答案】【分析】把當(dāng)成已知數(shù)，求得，根據(jù)解相等，得到關(guān)于的方程，求解即可．解：由可得：，，，．由可得：，，，．又因?yàn)榻庀嗤?，所以，，，．故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查了一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是正確的用表示出兩個(gè)方程的解．【變式2】（22-23七年級(jí)上·貴州銅仁·期中）若關(guān)于的方程與的解相同，則a=【答案】【分析】首先根據(jù)一元一次方程的解法，分別求出關(guān)于x的方程方程與的解；然后根據(jù)它們的解相同，求出a的值是多少即可．解：由得，，由得，，∴，∵關(guān)于的方程與的解相同，∴∴，故答案為．【點(diǎn)撥】此題主要考查了同解方程，以及一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【題型5】一元一次方程中的錯(cuò)解問(wèn)題【例5】（23-24七年級(jí)下·陜西漢中·期中）青青在解關(guān)于x的一元一次方程時(shí)，由于粗心大意在去分母時(shí)出現(xiàn)漏乘錯(cuò)誤，把原方程化為，并解得，請(qǐng)你求出原方程正確的解．【答案】【分析】本題考查了一元一次方程解得定義及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可．解：把代入，得，∴，把代入，得，∴．【變式1】（22-23七年級(jí)下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）小明同學(xué)在解方程去分母時(shí)，由于方程的右邊的忘記了乘以15，因而他求得的解為，該方程的正確的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)錯(cuò)誤的結(jié)果，確定出的值，進(jìn)而求出正確的解即可．解：根據(jù)小明的錯(cuò)誤解法，去分母得：，去括號(hào)得：，把代入得：，解得；將代入原方程得正確方程為：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得，解得，所以原方程正確的解為．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1，注意錯(cuò)誤解題的位置，根據(jù)錯(cuò)誤解，先求出字母的值；再根據(jù)正確的方程進(jìn)行解方程．【變式2】（21-22六年級(jí)上·山東威?！て谀┰诮怅P(guān)于x的方程時(shí)，小穎在去分母的過(guò)程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)小穎解方程的過(guò)程求出a的值，然后正確求出原方程的解即可．解：由題意得的解為，∴，解得，∴，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【題型6】一元一次方程中的遮擋問(wèn)題【例6】（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）整式，其中整式的系數(shù)■被污染．（1）若■是，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是．（2）若時(shí)，的值為19，則原式中■的值是．【答案】【分析】本題考查整式的加減、解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，由題意構(gòu)建關(guān)于x的參數(shù)方程是解題的關(guān)鍵．（1）由題意列代數(shù)式，然后去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可解答；（2）設(shè)，然后列代數(shù)式代簡(jiǎn)，然后得到得出關(guān)于m參數(shù)的方程求解即可．解：（1）當(dāng)■是時(shí)，則；故答案為．（2）設(shè)，∵的值為19，∴，∵，∴，解得：．故答案為．【變式1】（17-18七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）方程中有一個(gè)數(shù)字被墨水蓋住了，查后面的答案，知道這個(gè)方程的解是，那么墨水蓋住的數(shù)字是【答案】0【分析】設(shè)被墨水蓋住的數(shù)字為，把代入方程計(jì)算即可求出的值．解：設(shè)被墨水蓋住的數(shù)字為，把代入方程得：，去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：，故答案為：0．【點(diǎn)撥】此題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式2】（17-18七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）小明做作業(yè)時(shí)，不小心將方程●中的一個(gè)常數(shù)污染了看不清楚，小芳告訴他該方程的解是負(fù)數(shù)，并且這個(gè)常數(shù)是負(fù)整數(shù)，該方程的解是．【答案】-【分析】設(shè)這個(gè)常數(shù)為m，求出關(guān)于x的方程，進(jìn)一步探討得出答案即可．解：設(shè)這個(gè)常數(shù)為m，則m整理得：3（x-2）-6=8x+6m解得x=-，∵方程的解是負(fù)數(shù)，m是負(fù)整數(shù)，∴6m+12的值是正數(shù)，∴m=-1，解：，得x=-故答案為：-【點(diǎn)撥】此題考查了方程的解和解方程的步驟與方法，注意審清題意，正確理解方程的解．【題型7】一元一次方程中分子與分母含小數(shù)問(wèn)題【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同學(xué)解方程的過(guò)程如下框：解：兩邊同時(shí)乘以10，得……①合并同類項(xiàng)，得……②系數(shù)化1，得……③請(qǐng)寫出解答過(guò)程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫出正確的解答過(guò)程．【答案】最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是，正確的解法見(jiàn)解析．【分析】此題主要考查了解一元一次方程，第1步是將方程中未知數(shù)的系數(shù)化為整數(shù)，而不是去分母可得出錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，先將系數(shù)化為整數(shù)得，再合并同類項(xiàng)，最后再將未知數(shù)的系數(shù)化為1即可得出該方程的解，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解：最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是，正確的解法如下：對(duì)于方程，將系數(shù)化為整數(shù)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化，得．【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）解方程：【答案】【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵；去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可解決．解：，原方程化為：，去分母，得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得．【變式2】（22-23七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）先將分母去掉，然后再把括號(hào)去掉，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1即可得出x的值；（2）先整理，然后去分母，去括號(hào)，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1即可得出x的值；解：（1）去分母得：，去括號(hào)得：移項(xiàng)得：合并同類項(xiàng)得：系數(shù)化為1得：；（2）．去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)得：合并同類項(xiàng)得：系數(shù)化為1得：．【題型8】一元一次方程中有解、無(wú)解、無(wú)數(shù)解問(wèn)題【例8】（22-23七年級(jí)下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）若一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】當(dāng)方程滿足時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)解．解：整理得：方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，，，解得：，，．故選A【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程，以及方程解的情況，熟悉方程的解的各種情況是解題關(guān)鍵．【變式1】（19-20七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）若關(guān)于x的方程有無(wú)數(shù)解，則3m+n的值為；【答案】0【分析】根據(jù)方程有無(wú)數(shù)解，求出m、n的值，代入3m+n計(jì)算即可．解：，移項(xiàng)得：mx+x=-1，合并同類項(xiàng)得：(m+1)x=-1，∵該方程有無(wú)數(shù)解，∴m+1=0，-1=0，解得m=-1，n=3，∴3m+n=-3+3=0，故答案為：0．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程解的情況，一元一次方程（形如ax=b）的解的情況：①當(dāng)a≠0時(shí)，方程有唯一解x=，②當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解，③當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解．【變式2】（20-21六年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程2a（x+5）＝3x+1無(wú)解，則a＝．【答案】【分析】先把原方程變?yōu)?，再由方程無(wú)解即可得到，由此求解即可．解：∵，∴，∴，∵關(guān)于的方程無(wú)解，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程無(wú)解的問(wèn)題，熟知一元一次方程無(wú)解的條件是解題的關(guān)鍵．【題型9】一元一次方程中的整數(shù)解問(wèn)題【例9】（22-23七年級(jí)上·重慶·期中）已知關(guān)于x的整式，整式，若p是常數(shù)，且的值與x無(wú)關(guān)．(1)求p的值；(2)若q為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程的解是正整數(shù)，求的值．【答案】(1)；(2)或【分析】本題考查了整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題、解一元一次方程等知識(shí)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）將、代入，化簡(jiǎn)后根據(jù)無(wú)關(guān)項(xiàng)，得到，即可求出p的值；（2）先解一元一次方程，進(jìn)而得出的值，即可計(jì)算求值．解：（1），，，的值與x無(wú)關(guān)，，；（2），，q為整數(shù)，是正整數(shù)，且，，或,，或【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·開(kāi)學(xué)考試）若關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，且關(guān)于的多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式，那么所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次方程，多項(xiàng)式次數(shù)和項(xiàng)的定義，先解方程得到，根據(jù)方程的解為正整數(shù)推出是整數(shù)，進(jìn)而得到解得或2或4；再根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)和項(xiàng)的定義得到且，據(jù)此得到所有滿足條件的整數(shù)a的值為1，4，由此可得答案．解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，∴是整數(shù)，且∴或2或4，∵是二次三項(xiàng)式，∴，∴且，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為1，4，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）若關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為（

）A．1 B．2 C．3或4 D．0或1【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的解和解含字母系數(shù)的一元一次方程，掌握方程的解即是正整數(shù)和是整數(shù)的兩個(gè)條件是解題的關(guān)鍵．首先求出關(guān)于的方程的解，解得，再根據(jù)方程的解為正整數(shù)，為整數(shù)，分類討論即可求出的值．解：由題可知，，解得：，方程的解為正整數(shù)，為整數(shù)，或，或，故選：D．【題型10】解含絕對(duì)值的一元一次方程【例10】（2024七年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）解方程：．【答案】或【分析】本題考查了一元一次方程的解法，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用解方程的步驟和方法正確解答．按照根據(jù)絕對(duì)值意義先去括號(hào)，再解一元一次方程的步驟和方法解方程即可．解：，∴或，解得或【變式1】（20-21七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知：，當(dāng)b=1時(shí)方程的解為．【答案】或【分析】利用絕對(duì)值的意義得到，然后解兩個(gè)一次方程即可．解：∵，且，∴，即或，所以或．故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程：解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對(duì)值符號(hào)得到一般形式的一元一次方程，再求解．【變式2】（2023七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，那么的值為．【答案】40【分析】根據(jù)題意，絕對(duì)值方程只有一個(gè)解，可知，即可求出x值和a值，代入代數(shù)式即可．本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及一元一次方程，熟練掌握0的絕對(duì)值為0，解方程，是解決本題的關(guān)鍵．解：∵關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，∴，，∴，．代入．故答案為：40．【題型11】用整體思想解一元一次方程【例11】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用整體思想解方程．【答案】【分析】本題考查的是利用換元的思想解方程，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，利用換元的思想計(jì)算即可．解：，設(shè)，則原方程可變形為，，，，，，k=1∴，解得．【變式1】（23-24七年級(jí)上·山東濰坊·期末）數(shù)學(xué)李老師讓同學(xué)們解方程．小亮認(rèn)為“方程兩邊有分母，應(yīng)該先去分母”，小穎認(rèn)為“方程中有及，且互為相反數(shù)，應(yīng)該用整體思想求解”．請(qǐng)你分別用小亮、小穎的方法求解該方程．【分析】本題考查解一元一次方程．按照兩人的方法，逐一進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟，正確的進(jìn)行計(jì)算．解：小亮：原方程可化為；小穎：原方程可化為．去括號(hào)，得：4a-20=1，移項(xiàng)，得：4a=21，系數(shù)化為1，得：a=．故x+2=，解得x=．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）【教材呈現(xiàn)】如圖是蘇科版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材82頁(yè)的部分內(nèi)容．“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．(1)【問(wèn)題解決】對(duì)議一議中的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，并寫出過(guò)程；(2)【簡(jiǎn)單應(yīng)用】①已知，則；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式的求值，整體代入是解題的關(guān)鍵；（1）把看作一個(gè)整體，合并同類項(xiàng)，即可進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）①把看作一個(gè)整體進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可，②先把看作一個(gè)整體，合并同類項(xiàng)，再整體代入計(jì)算即可；（3）將方程化為，再將，代入求值即可．解：（1）設(shè)，原式；當(dāng)時(shí)，原式（2）①∵，∴故答案為：．②∵，∴（3）∵∴∵∴即解得：【題型12】一元一次方程中大數(shù)據(jù)問(wèn)題【例12】（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程的解為，求關(guān)于的一元一次方程的解．【答案】【分析】本題考查解一元一次方程，一元一次方程的解，將關(guān)于的一元一次方程兩邊各項(xiàng)乘得到，進(jìn)而得到的解為，進(jìn)一步求解即可．解：因?yàn)殛P(guān)于的一元一次方程的解為，所以關(guān)于的一元一次方程兩邊各項(xiàng)乘得到：②，方程①和方程②同解，所以，解得：．故答案為：．【變式1】（22-23七年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，則關(guān)于的一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的解的定義，可得，關(guān)于的方程化簡(jiǎn)為，解方程即可．解：∵關(guān)于的一元一次方程的解是，即的解是，∴，即的解為∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23七年級(jí)上·江蘇常州·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為．【答案】【分析】設(shè)，再根據(jù)題目中關(guān)于x的一元一次方程的解確定出y的值即可．解：設(shè)，則關(guān)于y的方程化為：，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程的解．正確理解方程的解的概念和運(yùn)用整體代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型13】一元一次方程中規(guī)律問(wèn)題【例13】（20-21七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）方程的解是．【答案】1011【分析】先將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再提取公因式，即可解出方程．解：原方程可化為，即，提取公因式得，，化簡(jiǎn)得，，解得，；故答案為：1011．【點(diǎn)撥】本題主要考查解一元一次方程，找準(zhǔn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式1】（20-21七年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）一元一次方程的解為（

）A．30 B．24 C．21 D．12【答案】C【分析】方程整理為,即，然后根據(jù)等式性質(zhì)求得方程的解即可．解：變形為，即，所以4x=4×21，所以x=21，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）方程的解是．【答案】【分析】本題考查了解一元一次方程，先把方程化成即可求解，解題關(guān)鍵是靈活應(yīng)用，對(duì)方程轉(zhuǎn)換．解：原方程變?yōu)椋?，，，∴，∴，故答案為：．【題型14】含參一元一次方程的解總是一個(gè)常數(shù)問(wèn)題【例14】（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）若不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵；將代入中，化簡(jiǎn)得到，由不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是可知，k的值對(duì)方程沒(méi)有影響，即可得到，求解即可；解：不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是，，，，，，，故選：C．【變式1】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）若不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是，則的值是．【答案】/【分析】本題考查代入法、一元一次方程的解法，解題時(shí)要根據(jù)方程組的特點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的計(jì)算．首先把根代入原方程中得到一個(gè)關(guān)于k的方程，再根據(jù)方程與k無(wú)關(guān)的應(yīng)滿足的條件求出a、b的值，最后求出結(jié)果即可．解：把代入原方程并整理得，整理得：，要使等式不論k取什么數(shù)均成立，只有，解得：，，∴．故答案為：．【變式2】（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期末）已知為定值，關(guān)于的方程，無(wú)論為何值，它的解總是1，則【答案】【分析】本題考查方程解的定義，求代數(shù)式的值；熟練運(yùn)用方程解的定義及由k可以取任何值得到a和b的值是解題的關(guān)鍵．把代入已知等式，得到，整理為的形式，令，由此求得，進(jìn)而求得a、b的值，代入求值即可．解：把代入方程，得：，即，整理得：，無(wú)論m為何值，它的解總是1，，，解得：，，則，故答案為：．【題型15】列一元一次方程解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題【例15】（24-25七年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）人數(shù)2024版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)7頁(yè)，可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)．例如：，，我們知道分?jǐn)?shù)可以寫成小數(shù)，反過(guò)來(lái)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)，一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式．無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行探究：設(shè)…﹐兩邊同乘以10得：，即，解得∴，因此，是有理數(shù)．(1)無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)為_(kāi)_________．(2)試說(shuō)明無(wú)限循環(huán)小數(shù)是一個(gè)有理數(shù)(3)大小比較：____．（選填“”“”或“”）(4)無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)．（直接寫出答案）【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)=；(4)（或）【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題干轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．（1）仿照題干，設(shè)，兩邊同乘以10，得到，求出的值即可；（2）設(shè)，兩邊同乘以10，得到，求出的值，即可說(shuō)明結(jié)論；（3）設(shè)，兩邊同乘以10，得到，求出，即可得到答案；（4）設(shè)，兩邊同乘以100得到，解得：，再根據(jù)，即可得到答案．解：（1）設(shè)，兩邊同乘以10得：，即，解得：，即無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)為，故答案為：；（2）設(shè)，兩邊同乘以10得：，即，解得：，即無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)為，所以，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是一個(gè)有理數(shù)；（3）設(shè)，兩邊同乘以10得：，即，解得：，即無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成，即，故答案為：；（4）設(shè)，兩邊同乘以100得，，即，解得：，即無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)為則．【變式1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）【閱讀材料】我們知道可以寫成小數(shù)形式為，反過(guò)來(lái)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式．方法如下：設(shè)，由可知：，所以，解方程得，所以；【類比探究】再以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例，做進(jìn)一步的討論：無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法：設(shè)，由可知，，所以，解方程得，于是得；【解決問(wèn)題】(1)把下列無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式：______，②______；(2)把無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫化成分?jǐn)?shù)形式，寫出過(guò)程；(3)若，則______．【答案】(1)①，②(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查解一元一次方程，熟練運(yùn)用一元一次方程是解題關(guān)鍵（1）①設(shè)，則，然后解方程即可；②設(shè)，則，然后解方程即可；（2）設(shè)，則，然后解方程即可；（3）由可得，然后根據(jù)與的關(guān)系列式計(jì)算即可．解：（1）①設(shè)，由可知：，所以，解得，故答案為：；②設(shè)，由可知：，所以，解得，故答案為：；（2）設(shè)，由可知：，所以，解得，即；（3）∵，∴擴(kuò)大1000倍可得，∵，∴，∴，故答案為：．【變式2】（23-24七年級(jí)上·山東德州·期末）對(duì)于關(guān)系式，小明給出了以下證明．證明：因?yàn)?，所以設(shè)，則，所以，解得，于是．(1)實(shí)踐探究：請(qǐng)你仿照小明的方法把