導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題課件★★函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系已知函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．

回歸教材利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的________；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的____；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．定義域零點導(dǎo)數(shù)的絕對值與函數(shù)值變化的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．常用結(jié)論(1)在某區(qū)間內(nèi)，f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時，f′(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時，f′(x)<0有解．1．判斷下面結(jié)論是否正確．(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0.

夯實雙基答案(1)×

解析對于(1)，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，但f′(x)＝3x2≥0；(2)在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．答案(2)√

(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時，f′(x)<0有解．答案(3)√

(4)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性．答案(4)√

解析對于(4)，如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性．(5)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上變化得越快，其導(dǎo)數(shù)就越大．答案(5)×2．【多選題】已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(

)√A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e)√解析由題意得，當(dāng)x∈(－∞，c)時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c)上單調(diào)遞增，因為a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(c，e)上單調(diào)遞減，因為c<d<e，所以f(c)>f(d)>f(e)．3．(課本習(xí)題改編)函數(shù)y＝3x2－2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為________，單調(diào)遞減區(qū)間為______________．4．(2025·青島檢測)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是________．(0，2]間為(－∞，－a]和[a，＋∞)．∵函數(shù)在[2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，∴[2，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2.5．已知函數(shù)f(x)＝－

x2－3x＋4lnx在(t，t＋2)上不單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是________．[0，1)題型一

不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(e，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，(1，e)(3)f(x)＝(x－1)ex－x2；【答案】(3)單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)【解析】(3)由f(x)＝(x－1)ex－x2，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表：x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

由表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)．(4)f(x)＝x＋2cosx，x∈(0，π)．狀元筆記

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意先求定義域．(2)使f′(x)>0的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，使f′(x)<0的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．題型二

含參函數(shù)的單調(diào)性(微專題)微專題1導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)型

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【答案】見解析狀元筆記導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)型含參函數(shù)單調(diào)性的討論方法(1)判斷導(dǎo)函數(shù)是否有根，無根會出現(xiàn)恒成立的情況，即原函數(shù)在定義域上單調(diào)．(2)若有根，求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷根是否在定義域內(nèi)，不在定義域內(nèi)會出現(xiàn)恒成立的情況，即原函數(shù)在定義域上單調(diào)．(3)根在定義域內(nèi)，穿根法確定導(dǎo)函數(shù)的符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性．微專題2導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)型【答案】見解析【答案】見解析

則x，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

狀元筆記

導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)型的含參函數(shù)單調(diào)性的討論方法(1)先判斷導(dǎo)函數(shù)是否有根，沒有根會出現(xiàn)恒成立的情況，即原函數(shù)在定義域上單調(diào)．(2)如果導(dǎo)函數(shù)有根，先求根(能因式分解的因式分解求根)，并判斷根是否在定義域內(nèi)(討論根與定義域端點值的大小關(guān)系)．①若有一根在定義域內(nèi)，穿根法確定導(dǎo)函數(shù)的符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性．②若有兩根在定義域內(nèi)，確定兩根大小關(guān)系，穿根法確定導(dǎo)函數(shù)的符號，進而確定原函數(shù)的單調(diào)性．思考題1

(2025·湖北武漢模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax，討論f(x)的單調(diào)性．【答案】見解析【解析】由題意可知f(x)的定義域為R，且f′(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，若a≥0，則2ex＋a>0，令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0，可知f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．若a<0，令f′(x)＝0，綜上所述，若a≥0，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；微專題3二次求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性(2020·課標(biāo)全國Ⅱ，文，節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋1.設(shè)a>0，討論函數(shù)g(x)＝

的單調(diào)性．【答案】見解析設(shè)m(x)＝2(x－a－xlnx＋xlna)，則m′(x)＝2(lna－lnx)，當(dāng)x>a時，lnx>lna，所以m′(x)<0，m(x)單調(diào)遞減，因此有m(x)<m(a)＝0，即g′(x)<0，所以g(x)單調(diào)遞減．當(dāng)0<x<a時，lnx<lna，所以m′(x)>0，m(x)單調(diào)遞增，因此有m(x)<m(a)＝0，即g′(x)<0，所以g(x)單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，a)和(a，＋∞)上單調(diào)遞減，沒有單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又h(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時，h(x)>0，即f′(x)>0；當(dāng)x>1時，h(x)<0，即f′(x)<0.因此，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)．題型三

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(微專題)微專題1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象

(1)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是(

)【解析】由題圖知，當(dāng)x<0時，xf′(x)>0，則f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<b時，xf′(x)>0，則f′(x)>0，故f(x)在(0，b)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>b時，xf′(x)<0，則f′(x)<0，故f(x)在(b，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上所述，只有D符合題意．故選D.√(2)已知f(x)＝

x2＋cosx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則y＝f′(x)的圖象大致是(

)√狀元筆記(1)解決導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系問題的關(guān)鍵點有兩個：一是抓住原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值為正、原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值為負；二是抓住原函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映導(dǎo)函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況．(2)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的單調(diào)性與原函數(shù)圖象凹凸性之間的關(guān)系：若f′(x)>0且單調(diào)遞增，則原函數(shù)f(x)的圖象上升且下凸；若f′(x)>0且單調(diào)遞減，則原函數(shù)f(x)的圖象上升且上凸；若f′(x)<0且單調(diào)遞增，則原函數(shù)f(x)的圖象下降且下凸；若f′(x)<0且單調(diào)遞減，則原函數(shù)f(x)的圖象下降且上凸．思考題3已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)

的單調(diào)性說法正確的是(

)A．在(－1，1)單調(diào)遞減 B．在(0，2－

)單調(diào)遞減C．在[2－

，1]單調(diào)遞減 D．在[1，2]單調(diào)遞減√【解析】∵當(dāng)f′(x)<0時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)f′(x)>0時，f(x)單調(diào)遞增，∴結(jié)合題中的圖象可知f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．微專題2比較大小、解不等式【解析】∵f(x)的定義域為R，且f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，√(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)<2x，f(2)＝3，則不等式f(x)>x2－1的解集是(

)A．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)【解析】令g(x)＝f(x)－x2，則g′(x)＝f′(x)－2x<0，即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減．又不等式f(x)>x2－1可化為f(x)－x2>－1，而g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以該不等式可化為g(x)>g(2)，故該不等式的解集為(－∞，2)．故選D.狀元筆記

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的方法利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，把比較大小和解不等式問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小和解不等式問題．比較大小時，還要注意當(dāng)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)時，應(yīng)先利用函數(shù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再進行比較；解不等式時，還要注意將常數(shù)巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”．√中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．c>b>a B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a【解析】設(shè)n(x)＝ex－x－1，則n′(x)＝ex－1，當(dāng)x>0時，n′(x)>0，n(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，n′(x)<0，n(x)單調(diào)遞減，所以n(x)≥n(0)＝0，故ex≥x＋1，當(dāng)x＝0時等號成立，所以f′(x)≤0但不恒為0，所以f(x)在R上單調(diào)遞減，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0?f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤微專題3求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0)．(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；【答案】(1)(－1，0)∪(0，＋∞)因為h(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以a＞－1.又因為a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍為(－1，0)∪(0，＋∞)．

(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(2)因為h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，所以h′(x)＝

－ax－2≤0且不恒為零在[1，4]上恒成立，所以a≥m(x)max，狀元筆記根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理，函數(shù)y