利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題課件★★題型一

確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)(微專題)微專題1數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)【答案】當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a＝1或a≤0時(shí)，f(x)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)研究其單調(diào)性及最值，從而討論a的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(0)＝1，而當(dāng)x>－1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x<－1時(shí)，g(x)<0.當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0.所以g(x)的大致圖象如圖所示．①當(dāng)a>1時(shí)，方程g(x)＝a無解，即f(x)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)a＝1時(shí)，方程g(x)＝a有且只有一解，即f(x)有唯一的零點(diǎn)；③當(dāng)0<a<1時(shí)，方程g(x)＝a有兩解，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)a≤0時(shí)，方程g(x)＝a有且只有一解，即f(x)有唯一的零點(diǎn)．綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a＝1或a≤0時(shí)，f(x)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．【講評】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．狀元筆記數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義域區(qū)間端點(diǎn)值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析(2)討論方程f(x)＝1根的個(gè)數(shù)．【答案】(2)見解析作出h(x)的圖象如圖．微專題2利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)已知函數(shù)f(x)＝xsinx－1.【答案】(1)見解析【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，(2)證明：函數(shù)y＝f(x)在[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】(2)證明見解析當(dāng)x∈(m，π]時(shí)，有g(shù)(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，則f(x)在(m，π]上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)y＝f(x)在[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn)．狀元筆記利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)，再確定區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析易知h′(x)在區(qū)間(0，＋∞)單調(diào)遞增，又h′(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，則h(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(1)＝0，原不等式得證．(2)判斷f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(2)2【解析】(2)f′(x)＝(2x－1)lnx－1(x>0)，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝2lnx－＋2，易知g′(x)在區(qū)間(0，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，題型二

由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的最大值；【答案】(1)－1

若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(2)(0，＋∞)若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零點(diǎn)；零點(diǎn)，即0<a<1滿足條件．綜上，若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為(0，＋∞)．狀元筆記已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題的解法

思考題3

(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝(x>0)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(2)(1，e)∪(e，＋∞)【解析】(2)曲線y＝f(x)