直線與雙曲線的位置關(guān)系2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題課件★★1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(代數(shù)法)(2)當(dāng)b2－a2k2≠0時(shí)，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相離：Δ<0.2．直線與雙曲線的位置關(guān)系(幾何法)可以根據(jù)漸近線的斜率判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系．例如：設(shè)此雙曲線的漸近線斜率為±k，(1)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)P且斜率等于±k時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，如圖，直線①③均與雙曲線右支交于一點(diǎn)；(2)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)P且斜率在(－k，k)上時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各交于一點(diǎn)，如直線②；(3)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)P且斜率在(－∞，－k)∪(k，＋∞)上時(shí)，直線可能與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，如直線⑥，也可能與雙曲線右支相切，如直線④，還可能與雙曲線相離，如直線⑤.題型一

直線與雙曲線的位置關(guān)系一個(gè)公共點(diǎn)的直線有(

)A．1條 B．2條C．3條

D．4條√

(2)如果直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．【解析】由題意知k≠±1，聯(lián)立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由題意此方程有兩個(gè)不等的正根，狀元筆記直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0為例：(1)若a≠0且Δ>0，則直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若a≠0且Δ＝0，則直線與雙曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)若a≠0且Δ<0，則直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；(4)若a＝0且b≠0，則直線與雙曲線的漸近線平行，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(5)若a＝0且b＝0，則直線為雙曲線的漸近線，與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．

思考題1

(1)直線l：y＝2x和雙曲線x2－y2＝4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．0【解析】(幾何法)雙曲線的漸近線為x2－y2＝0，即y＝±x.∵雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，l過(guò)原點(diǎn)，且l的斜率大于漸近線斜率，∴直線l與雙曲線相離，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.題型二

弦長(zhǎng)問(wèn)題【解析】(2)由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由題意得直線AB的方程為y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，狀元筆記題型三

中點(diǎn)弦問(wèn)題【答案】不能，理由見(jiàn)解析狀元筆記直線與雙曲線相交所得弦的中點(diǎn)問(wèn)題常用點(diǎn)差法，但是點(diǎn)差法只是代數(shù)運(yùn)算，所以還需驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交．√

思考題3已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3，0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M(－12，－15)，則E的方程為(

)題型四

直線與雙曲線的綜合問(wèn)題(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|＝|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(2)由題意知直線l不過(guò)點(diǎn)A.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略)．整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由4－5k2≠0且Δ>0，由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，且易知AD的斜率存在，(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C的右支相交于A，B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，OA⊥OB，求C的離心率；(2)當(dāng)C的焦距為2時(shí)，∠AOB恒為銳角，求C的實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍．【解析】(2)若C的焦距為2，則c＝1，即F(1，0)．由于直線l不為水平直線，可設(shè)其方程為x＝my＋1.結(jié)合b2＝1－a2(0<a<1)，得[a2(m2＋1)－m2]y2＋2m(a2－1)y－(a2－1)2＝0，則a2(m2＋1)－m2≠0，Δ>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一、圓錐曲線第三定義及其應(yīng)用【人教A版選修一P108例3，P109練習(xí)T4】圓錐曲線的第三定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)連線的斜率的乘積等于常數(shù)e2－1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(除去A1，A2兩點(diǎn))，其中兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓或雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)．當(dāng)e2－1＞0時(shí)，軌跡為雙曲線(除去A1，A2兩點(diǎn))，當(dāng)－1<e2－1<0時(shí)，軌跡為橢圓(除去A1，A2兩點(diǎn))．√二、重溫高考√2．【多選題】(2022·全國(guó)乙卷，理)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且√√0)，F(xiàn)2(c，0)．當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M，N在雙曲線兩支上時(shí)，如圖1所示，設(shè)過(guò)F1的直線與圓D切于點(diǎn)P，連接OP，由題意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.過(guò)點(diǎn)F2作F2Q⊥F1N，交F1N于點(diǎn)Q.由中位線的性質(zhì)，可得|F2Q|3．(202