17.3勾股定理（勾股定理的逆定理）基礎達標練題型一由三邊長度判斷直角三角形題型二勾股數(shù)題型三格點中判斷直角三角形題型四利用勾股定理的逆定理進行求值題型五利用勾股定理的逆定理進行證明題型六確定直角三角形的個數(shù)題型七勾股定理的逆定理的應用能力提升題題型一與勾股定理逆定理有關的幾何多結(jié)論問題題型二勾股定理及其逆定理的綜合運用基礎達標練題型一由三邊長度判斷直角三角形1．下列各組數(shù)據(jù)是三角形三條邊的長，組成的三角形不是直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解題的關鍵．根據(jù)題意，逐項驗證是否符合勾股定理即可判斷．【詳解】對于A，，故是直角三角形，不符合題意；對于B，，故是直角三角形，不符合題意；對于C，，故不是直角三角形，符合題意；對于D，，故是直角三角形，不符合題意；故選：C．2．五根小木棒的長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列圖形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用．欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A、，，故A不正確；B、，，故B正確；C、，，故C不正確；D、，，故D不正確．故選：B．3．三角形滿足下列條件，不能判斷它是直角三角形的是（）A．三個內(nèi)角度數(shù)之比為 B．三邊之比為C．一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角之差 D．三邊長分別為，2，【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進行計算逐一判斷即可解答．本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．【詳解】解：A、∵三個內(nèi)角之比為，三角形內(nèi)角和為∴最大角為，∴此時三角形不是直角三角形，故不符合題意；B、∵三邊之比為，∴設，∴，∴，∴三角形是直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故C不符合題意；D、∵三邊長分別為，2，，∴，∴三角形為直角三角形，故D不符合題意；故選：A．4．已知滿足．(1)求的值；(2)判斷長度為的三條線段能否構成直角三角形，并說明理由．【答案】(1)，，(2)長度為a，b，c的三條線段能構成直角三角形，見解析【分析】本題考查非負性，勾股定理逆定理，熟練掌握絕對值，完全平方和算術平方根的非負性，勾股定理逆定理是解題的關鍵：（1）根據(jù)非負性進行求解即可；（2）根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，解得，，；（2）長度為a，b，c的三條線段能構成直角三角形．理由如下：，，；即；長度為a，b，c的三條線段能構成直角三角形．5．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于點D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．(1)求CD的長；(2)求AB的長；(3)判斷△ABC的形狀．【答案】（1）CD長為12；（2）AB的長為25；（3）△ABC是直角三角形【詳解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB，∴BD2＋CD2＝BC2∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．∴CD＝12．（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，∴CD2＋AD2＝AC2∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．∴AD＝16．∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，∴AB2＝BC2＋AC2∴△ABC是直角三角形．題型二勾股數(shù)6．下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義和勾股定理逆定理進行判斷即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．【詳解】解：、∵，∴不能組成直角三角形，不是勾股數(shù)，故此選項符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；故選：．7．下列各組數(shù)據(jù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5【答案】D【分析】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理，關鍵是掌握勾股定理及勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．據(jù)此即可得出答案．【詳解】解：A、，，1不符合是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B、1，2，，不符合是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C、4，5，7，不能構成直角三角形，故不符合題意；D、3，4，5，三邊是整數(shù)，同時能構成直角三角形，故符合題意；故選：D．8．定義：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)的平方和，即，那么稱m為廣義勾股數(shù)．給出下面三個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)，正確的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】B【分析】本題主要考查了閱讀新定義以及勾股定理的應用，根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義逐個判斷解答即可.【詳解】解：因為，所以7不是廣義勾股數(shù)，則①正確；因為，所以13是廣義勾股數(shù)，則②正確；因為，可知15不是廣義勾股數(shù)，則③不正確.所以正確的有①②.故選：B.9．定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三邊a，b，c滿足．求證：c是“完美勾股數(shù)”．(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”．多項式有一個因式，求該多項式的另一個因式．【答案】(1)是(2)見解析(3)【分析】本題考查了勾股數(shù)和新定義的綜合應用．（1）根據(jù)完美勾股數(shù)的定義可得答案；（3）利用完全平方公式證明即可；（3）由勾股定理可得m，n的關系式，將m，n的關系式代入，根據(jù)多項式有一個因式，求解即可．【詳解】（1）解：，數(shù)10是“完美勾股數(shù)”，故答案為：是；（2）證明：，，是“完美勾股數(shù)”；（3）解：由題意得：，，，，，，又，，即，，有一個因式為，，∴另一個因式為．題型三格點中判斷直角三角形10．如圖，若在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應用，熟練掌握相關知識是解題關鍵．根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理可得，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可知，，，∴，∴的形狀為直角三角形．故選：A．11．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點都在小正方形的頂點上，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成為解題的關鍵．如圖：連接，先運用勾股定理求出的三邊的長度，再運用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，進而得出的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖：連接，∵每個小正方形的邊長都是1，∴，∵10+10=20，∴，∴是等腰直角三角形，∴．故選：B．12．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，按要求完成下列各題．(1)試判斷的形狀并說明理由；(2)在網(wǎng)格中以為邊向右作直角三角形，令點在格點上，且使是等腰三角形，則的長為．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)或5【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，準確地做出圖形是解題的關鍵．（1）先根據(jù)勾股定理求邊長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定；（2）畫出圖形，分類討論，再求解．【詳解】（1）解：是直角三角形．理由：由勾股定理，得，，，是直角三角形．（2）解：點的位置有兩處，如圖所示．當點在點處時，；當點在點處時，．綜上所述，的長為或5．故答案為：或5．題型四利用勾股定理的逆定理進行求值13．在中，，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理逆定理，直角三角形性質(zhì)，由，得，然后通過直角三角形的性質(zhì)即可求解，掌握知識點的運用是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴是直角三角形，∴，∴，故選：．14．如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角（）得到，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可解決問題；【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∵，∴，又∵∴，，∴，∴，∴，∴．故選：D．15．如圖，已知中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，點為垂足，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出的長，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，進而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：連接，

∵，，∴，∵的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：D．16．如圖，中為上的中線，，垂足為，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此題的關鍵．首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求得的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【詳解】解：∵，中為上的中線，∴，∵，∴，∴，在中，，，，∴，故選：D．17．如圖，在中，，，，則數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應用和實數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理求得的長度，然后結(jié)合數(shù)軸求得的值即可．【詳解】解：在中，，，，設點A所表示的數(shù)為，∵，∴，∴，數(shù)軸上點所表示的數(shù)是：．故選：D．18．如圖，在中，的平分線交于點，點，分別為線段，邊上的動點．則的最小值為（）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】B【分析】本題考查了勾股定理逆定理，角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點，利用軸對稱性質(zhì)求解最值問題是解題的關鍵．先由勾股定理逆定理得到，作交于點，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得到，再由等面積法求出，作點關于的對稱點，則在點在上，則，過點作交于點H，那么，故當點、、三點共線且點與點重合時，最小，為最小值，再由等面積法即可求解．【詳解】解：∵，是直角三角形，，作交于點，，又是的平分線，．，即，，是的平分線，點為上動點，作點關于的對稱點，則在點在上，．過點作交于點H，∴當點、、三點共線且點與點重合時，最小，為最小值．由（1）可知，是直角三角形，，解得：．故選：B．19．如圖，在中，是的中點，作，交于點，且．(1)試說明：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵，注意方程思想在這類問題中的應用．（1）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得，再結(jié)合可求得，可證得結(jié)論；（2）設，則，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】（1）解：連接，∵D是的中點，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵在中，，∴，∴．∵是的中點，∴．設，則．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以的長為．20．如圖，在中，，，邊上的中線，延長至點，使，連接．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應用，三角形中線的定義等知識，掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形中線的定義得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先推出，確定是直角三角形，且，再根據(jù)勾股定理得即可．【詳解】（1）證明：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的長為．21．如圖，每個小正方形的邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，點A、B、C、D分別在格點上．(1)求四邊形的周長及面積；(2)求的度數(shù)；(3)畫出點C到線段的垂線段，并求出垂線段的長．【答案】(1)(2)(3)圖見解析，【分析】此題考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識．（1）根據(jù)勾股定理求出各邊的長度即可得到周長，根據(jù)三角形面積公式即可求出四邊形的面積；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出答案；（3）根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）解：由勾股定理可得，，∴四邊形的周長,四邊形的面積；（2）∵，∴，∴是直角三角形，，（3）如圖，即為所求，∵，∴，∴22．如圖，點O是等邊內(nèi)一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再結(jié)合等邊三角形性質(zhì)證明，即可解題；（2）利用等邊三角形性質(zhì)得到，結(jié)合全等三角形性質(zhì)推出，再利用勾股定理逆定理推出，最后利用結(jié)合全等三角形性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】（1）證明：由題意可得：，∵是等邊三角形．∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：由題意可得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，勾股定理逆定理，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．23．如圖，在中，，點是邊上一點，連接，且，．(1)求證：；(2)若，求的周長．【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，關鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形面積公式得出，再利用勾股定理得出，進而解答即可．【詳解】（1）證明：在中，，，，∵，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴，∴，在中，，即，解得，∴的周長．題型五利用勾股定理的逆定理進行證明24．三角形的三邊長a，b，c滿足，則此三角形是（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：，∴即，所以此三角形是直角三角形，故選：C．25．如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，且．(1)求證：是直角三角形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)論；（2）設，，則，，首先確定的長，在中，，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，的垂直平分線分別交、于點、，，，，，是直角三角形，且；是直角三角形；（2）解：∵，設，，則，，在中，，在中，，∴，解得：（負值舍去），∴，∴．26．如圖，在中，分別為邊上的點，垂直平分，垂足為，連接．(1)是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析；(2)的長為5．【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）運用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再證明，由此即可解答；（2）根據(jù)題意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，，是直角三角形，且，垂直平分，，，在和中，，，，是直角三角形；（2）解：由（1）知，，，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，的長為5．27.如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．【答案】見解析【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】證明：連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∵正方形ABCD的邊長是4，BE=CE，DF=3CF．∴BE=CE=2，CF=1，DF=3，由勾股定理得，AE2=AB2+BE2=42+22=20，EF2=CE2+CF2=22+12=5，AF2=AD2+DF2=42+32=25，又∵AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解決此題關鍵．題型六確定直角三角形的個數(shù)28．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D均在格點上，若從中任取三點構成三角形，則其中是直角三角形的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，解題的關鍵是掌握兩個定理．利用勾股定理求出每條邊的平方，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可．【詳解】解：如圖，連接，借助網(wǎng)格和勾股定理得，，，，，，，∵，∴為直角三角形；∵，∴為直角三角形；∵，∴為直角三角形；∴直角三角形有3個，故選：B．29．如圖，在方格中作以為一邊的，要求點也在格點上，這樣的能做出（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】可以分A、B、C分別是直角頂點三種情況進行討論即可解決．【詳解】解：當AB是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D，E，H四個；當AB是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；當AB是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G．因而共有6個滿足條件的頂點．故選D．【點睛】正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關鍵．30．如圖所示網(wǎng)格中，已知，兩個格點，現(xiàn)要在網(wǎng)格中另取一格點，使得，則這樣的格點共有（

）個

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理以及逆定理與網(wǎng)格問題，根據(jù)網(wǎng)格的特點，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，

設網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為，連接,由圖可知，,,,,,,;綜上，共有個格點使得．故選：C．題型七勾股定理的逆定理的應用31．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”其大意是：有一塊三角形沙田，三條邊分別為5里，12里，13里，問這塊沙田的面積為（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面積計算，解題的關鍵是判斷三角形的形狀，再計算其面積．先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再根據(jù)直角三角形的面積公式計算沙田的面積．【詳解】解：已知三角形沙田的三條邊分別為5里，12里，13里．，．這個三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里為兩條直角邊．沙田的面積為（平方里）．故選：A．32．甲、乙兩艘客輪沿不同方向同時離開港口P，航行的速度都是，甲客輪到達點A．乙客輪用到達B點，若A、B兩點的直線距離為，甲客輪沿北偏西的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是（）A．南偏西 B．北偏東 C．南偏東 D．南偏西【答案】A【分析】本題考查方向角，理解方向角的定義，平角以及勾股定理的逆定理是正確解答的前提．根據(jù)方向角的定義畫出相應的圖形，根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定義即可求出的方向角即可．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，，，即的方向為南偏西，同理可得，的方向也可為北偏東，故選：A．33．小紅家的木門左下角有一點受潮，她想檢測門是否變形，準備采用如下方法：如圖，先測量門的邊和的長，再測量點A和點C之間的距離，由此可推斷是不是直角，這樣做的依據(jù)是（

）A．勾股定理B．若三角形的三邊長滿足，則這個三角形是直角三角形C．三角形內(nèi)角和定理D．直角三角形的兩銳角互余【答案】B【分析】本題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理，如果，則可判斷是直角三角形，由此可推斷是否為直角．【詳解】解：先測量門的邊和的長，再測量點A和點C間的距離，用勾股定理的逆定理判斷：若滿足，則可判斷是直角三角形，即為直角；若，則不是直角．故選：B．34．城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．如圖，某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（陰影部分）．若，，，，則這塊可以綠化的空地（陰影部分）的面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，求陰影部分的面積，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)逆定理說明是直角三角形，然后根據(jù)得出答案．【詳解】解：∵，，，∴．∵，，∴，，∴是直角三角形，，∴．∴這塊可綠化的空地的面積為．故選：C．35．如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地，測得，，，，且，則這塊菜地的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的實際應用，連接，利用勾股定理得到，進而利用勾股定理的逆定理證明，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積進行求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，∴．∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴四邊形的面積的面積的面積故選：B．36．為了讓學生更多的參與到勞動實踐中，育才中學開辟了一片勞動基地，然后中間用柵欄將這塊勞動基地劃分成兩部分，分別種植花卉和蔬菜（如圖），其中，已知，，，．(1)求花卉區(qū)的面積；(2)若學校在蔬菜基地周圍修兩條步道（寬度忽略不計）和，這兩條步道的長度相差多少米？【答案】(1)花卉區(qū)的面積為；(2)這兩條步道的長度相差6米．【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行線的性質(zhì)．（1）由勾股定理的逆定理可得，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（2）由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線段之間的和差計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴花卉區(qū)的面積為．（2）解：∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴這兩條步道的長度相差6米．37．第12屆世界運動會于2025年8月7日至8月17日在四川成都舉行，健身運動的熱潮也席卷全市，更多的人開始運動健身．為了方便人們運動，現(xiàn)在對市郊區(qū)綠道進行修整．綠道分布具體如下：已知，，，點B在點C的正西方向，點D在點C的正北方處．(1)試判斷與的位置關系，并說明理由；(2)修整好后，居委會派出無人機進行環(huán)境檢測，無人機從A飛到D，求線段的長度．【答案】(1)與的位置關系為，理由見解析；(2)線段的長度為．【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理．（1）由勾股定理可得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，從而可得與的位置關系；（2）作，交延長線于點，則四邊形是長方形，根據(jù)勾股定理即可得線段的長度．【詳解】（1）解：與的位置關系為，理由：根據(jù)題意可知，，，，∴，又∵，，∴，∴是直角三角形，，∴．（2）解：作，交延長線于點，則四邊形是長方形，∴，，，∴，∴∴線段的長度為．38．已知圖①是某超市的購物車，圖②是超市購物車的側(cè)面示意圖，現(xiàn)已測得購物車支架，，兩輪輪軸的水平距離（購物車車輪半徑忽略不計），，均與地面平行．(1)猜想兩支架與的位置關系并說明理由；(2)若的長度為，，求購物車把手點到的距離．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】此題考查了勾股定理及其逆定理的應用，熟練掌握定理內(nèi)容是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理判斷為直角三角形，即可得到結(jié)論；（2）過點作交的延長線于點，延長交于點，求出，．即可得答案．【詳解】（1）解：．理由如下：，．∴為直角三角形，，；（2）解：過點作交的延長線于點，延長交于點，如圖，，∴．又，∴，．，，在中，，∴，根據(jù)勾股定理，得，，∴解得：．．購物車把手點到的距離為．39．臺風是一種自然災害，它以暴風眼為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風沿東西方向由點A向點B運動．已知點C為一海港，點C與直線上的兩點A，B的距離分別為，且，以風眼為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)求的度數(shù)．(2)風眼離海港C最近的距離是多少？(3)若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)(2)風眼離海港最近的距離是(3)臺風影響該海港持續(xù)的時間為【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用、三角形面積公式的應用，解題的關鍵是利用勾股定理逆定理判斷三角形形狀，結(jié)合面積公式和勾股定理解決距離及時間問題．（1）通過計算與是否相等，利用勾股定理逆定理判斷的度數(shù)；（2）過點C作，利用直角三角形面積公式，結(jié)合、、的長度求出的長，即風眼離海港C最近的距離；（3）在上找到到C距離為的兩點E、，利用勾股定理求出和的長，進而得到的長，再結(jié)合臺風速度求出影響持續(xù)時間．【詳解】（1）因為，所以，所以是直角三角形，．（2）如圖，過點作于點．因為是直角三角形，所以，所以，所以．故風眼離海港最近的距離是．（3）如圖，為上兩點，且．在中，由勾股定理，得，所以．同理可得，所以，故臺風影響該海港持續(xù)的時間為．．題型一與勾股定理逆定理有關的幾何多結(jié)論問題40.如圖，D為等邊三角形內(nèi)的一點，，將線段以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，下列結(jié)論：①點D與點的距離為5；②可以由繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；③；④點D到的距離為3；⑤．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，可判斷為等邊三角形，則，可對①進行判斷；由為等邊三角形得到，則把逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，與重合，與重合，于是可對②進行判斷；再根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，則可對③④進行判斷；由于四邊形的面積，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進行判斷．【詳解】解：連接，如圖所示，∵線段以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，∴，∴為等邊三角形，∴，故①正確；∵為等邊三角形，∴，∴把逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，與重合，與重合，∴可以由繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，故②正確；∴，∵，∴在中，，∴為直角三角形，∴，∴，∴點D到的距離為3，故④正確；∵，∴，故③錯誤；∵四邊形的面積，故⑤正確．故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．41．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確的有（）①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】①根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷①；②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②；③根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．【詳解】解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，所以①正確；∴PQ=PB=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正確；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯誤．所以正確的有①②③．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．42．如圖，O是等邊三角形內(nèi)一點，，，，將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②點O與的距離為4；③；④．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】連接，作交的延長線于點E，由等邊三角形的性質(zhì)得，，由旋轉(zhuǎn)得，，則是等邊三角形，，可證明，則可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，可判斷①正確；因為，所以點O與的距離為4，可判斷②正確；因為，，所以，則，而，則，可判斷③正確；因為，則，所以，則，可判斷④錯誤，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，作交的延長線于點E，∵是等邊三角形，∴，，∵將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，∴，∴是等邊三角形，，在和中，，∴，∴可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故①正確；∴，∴點O與的距離為4，故②正確；∵，∴，∴，∴是直角三角形，且，∵，∴，故③正確；∵，，∴，∴，故④錯誤，故選：C．【點睛】此題重點考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．43．如圖，中，且，為外一點，連接，過作交于點，為上一點且，連接，．將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到線段，連接分別交、于點、，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，，，則．其中正確的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】先證明，得到對應邊相等，對應角相等，依次得出①正確和③錯誤，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，得出②正確，由三角形的三邊關系，可以得出④正確，利用勾股定理逆定理和三角形面積公式即可判定⑤正確．【詳解】解:∵，，∴，又∵且，∴，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，，故①正確；∵，∴，∴，故②正確；，即，故④正確；∵，，，∴，∴，故③錯誤；如圖，連接，若，，，∴，∴，即，∴，∴，∴，故⑤正確；故選：C．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等內(nèi)容，解決本題的關鍵是能正確分析圖形中的相等關系，能在相等的邊和角中進行轉(zhuǎn)化，能構造直角三角形進行求解等．題型二勾股定理及其逆定理的綜合運用44.如圖，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410【答案】45°/45度【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法運算，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理即可解答．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=22，AC=2∴∠ABC=45°，BC=A∵BD=12，DC=410∴BD∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°，故答案為：45°．45.如圖，△ABC中，AB=AC，BC長為5，點D是AC上的一點，BD=4,CD=3．(1)△BCD是哪種類型的三角形，請給出證明；(2)求出線段AC的長．【答案】(1)直角三角形，見解析(2)25【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可證明．（2）設AC=x，則AD=x-3，在Rt△BAD【詳解】（1）△ABD為直角三角形．∵BD=4，CD=3，BC=5，∴4∴B∴∠BDC=90°∴△BCD為直角三角形．（2）在Rt△BAD中，設AC=AB=x，則AD=x-3由勾股定理得：4解得：x=25∴AC=25【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，判定∠BDC=90°是解題的關鍵．46．如圖，點，，在同一條直線上，，，，，，連接，求點到的距離．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，可證，得到，設點到的距離為，由等積法即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴，∴，∵，∴；∴，設點到的距離為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴點到的距離為．47．如圖，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由兩個三角形全等的判定定理證得，再由全等性質(zhì)即可得到答案；（2）連接，如圖所示，在中，由勾股定理及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得到及，在中，由勾股定理的逆定理得到，從而得到的度數(shù)．．【詳解】（1）解：在和中，，，；（2）解：連接，如圖所示：，在中，，，則由勾股定理可得，且，，，在中，，，則，，，即為等腰直角三角形，，．【點睛】本題考查三角形綜合，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，熟記三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識是解決問題的關鍵．48．在中，，設為最長邊，當時，是直角三角形；當時，通過比較代數(shù)式和的大小，探究的形狀（按角分類）．(1)當三邊長分別為6，8，9時，為________角形；當三邊長分別為6，8，11時，為________三角形；(2)猜想：當________時，為銳角三角形；當________時，為鈍角三角形；(3)當時，探究的形狀，并求出對應的的取值范圍．【答案】(1)銳角，鈍角(2)，(3)是銳角三角形，此時；時，是直角三角形；是鈍角三角形，此時【分析】本題主要考查了勾股定理和三角形的性質(zhì)，熟練掌握“大邊對大角，大角對大邊”、“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是解題的關鍵．【詳解】（1）解：當三邊長分別為6，8，10時，是一個直角邊長分別為6、8的直角三角形，斜邊長為10，，所以當三邊長分別為6，8，9時，邊長為9的邊所對的角小于直角，則為銳角三角形；，所以當三邊長分別為6，8，11時，邊長為11的邊所對的角大于直角，則為鈍角三角形；故答案為：銳角，鈍角．（2）解：由（1），猜想當時，為銳角三角形；當時，為鈍角三角形；故答案為：，．（3）解：為最長邊，，時，是直角三角形；時，是銳角三角形，此時，即；時，是鈍角三角形，此時，即；綜上，時，是銳角三角形；時，是直角三角形；時，是鈍角三角形．49．閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．一道習題引發(fā)的思考小明在學習《勾股定理》一章內(nèi)容時，遇到了一個習題，并對有關內(nèi)容進行了研究：【習題再現(xiàn)】古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認為對嗎?如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?【資料搜集】定義：勾股數(shù)是指可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)．一般地，若三角形三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，那么a，b，c稱為一組勾股數(shù)．關于勾股數(shù)的研究；我國西周初數(shù)學家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了"勾三，股四，弦五"，這組數(shù)（3、4、5）是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股數(shù)．畢達哥拉