試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁汕尾市2025-2026學(xué)年度普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚?準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不得使用涂改液?修正帶?刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．某圓臺(tái)形無蓋水桶的表面積為，水桶下底面的半徑為5cm，上底面的半徑為10cm，則該水桶的容積為（

）（水桶壁與底的厚度忽略不計(jì)）A． B． C． D．4．雙曲線過點(diǎn)，其兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的方程為（

）A． B．不存在C． D．5．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則（

）A． B． C．2 D．6．某投資公司計(jì)劃投資A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成本成正比例，其關(guān)系如圖1所示，B產(chǎn)品的利潤與投資成本的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2所示（利潤與投資成本單位：萬元）.假設(shè)該公司有20萬元資金，并全部投入兩種產(chǎn)品中，進(jìn)行科學(xué)合理投資，使公司獲得最大利潤為（

）A．5.6萬元 B．5萬元 C．6萬元 D．4.8萬元7．四只鴿子飛回三個(gè)不同的籠子，則至少有一個(gè)空籠子的概率為（

）A． B． C． D．8．已知圓為的外接圓，是邊上一點(diǎn)，且平分，若，則（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法中正確的有（

）A．若，則B．C．若，則D．若，則有最大值210．分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．是等差數(shù)列B．若，則C．若，則D．若，則11．已知函數(shù)，則（

）A．若，且的對(duì)稱中心為，則的極大值點(diǎn)為B．若，且，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則只有一個(gè)零點(diǎn)D．若且，直線是過函數(shù)對(duì)稱中心的切線，定點(diǎn)滿足，則過點(diǎn)與相切的直線有三條三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知一個(gè)扇形的周長是16，面積是12，則其圓心角的弧度.13．圓的圓心是橢圓的上焦點(diǎn)，且與直線相切，圓面積的最大值為.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，過的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值為.四?解答題15．已知在處有極小值.(1)求的值；(2)設(shè)，若在上恒成立，求的取值范圍（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.16．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值.17．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若且.(1)求角以及邊的大??；(2)若分別是的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)，求.18．記為遞增數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記的前項(xiàng)和為，證明：.19．已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：在內(nèi)存在唯一極小值點(diǎn)；(3)若是負(fù)整數(shù)，且對(duì)任意的恒成立，求的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】由不等式性質(zhì)求出集合，再由集合的交集運(yùn)算求解．【詳解】，，，.故選：B2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，并利用復(fù)數(shù)的概念即可得答案．【詳解】，所以虛部為.故選：D3．B【分析】水桶是一個(gè)倒立的圓臺(tái)，設(shè)母線長為，由圓臺(tái)的體積公式求解．【詳解】水桶是一個(gè)倒立的圓臺(tái)，設(shè)母線長為，因?yàn)楸砻娣e為，下底面的半徑為5cm，上底面的半徑為10cm，所以，解得，設(shè)水桶的高為，如圖所示：，所以水桶的容積為.故選：B4．C【分析】由雙曲線的漸近線性質(zhì)及兩條漸近線的夾角為，分類求解即可．【詳解】由兩條漸近線的夾角為，可得漸近線的傾斜角為或，由可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，當(dāng)漸近線的傾斜角為時(shí)，漸近線方程為，點(diǎn)在直線的下方，不可能在該雙曲線上，不合題意；當(dāng)漸近線的傾斜角為時(shí)，漸近線方程為，點(diǎn)在直線的上方，此時(shí)解得，則雙曲線的方程為.故選：C5．D【分析】先得到函數(shù)一個(gè)周期為2，從而代入計(jì)算即可.【詳解】，故的一個(gè)周期為2，所以.故選：D6．D【分析】根據(jù)已給函數(shù)模型結(jié)合已知數(shù)據(jù)求出解析式，設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則B產(chǎn)品投入萬元，求出利潤的表達(dá)式，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值．【詳解】設(shè)投資為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，B產(chǎn)品的利潤為萬元.由題意設(shè).由圖知.又.從而.設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則B產(chǎn)品投入（）萬元，設(shè)公司利潤為萬元，則，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).所以A產(chǎn)品投入16萬元，B產(chǎn)品投入4萬元時(shí)，才能使公司獲得最大利潤，最大利潤為4.8萬元.故選：D7．B【分析】由排列與組合知識(shí)及古典概型求解．【詳解】四只鴿子飛回三個(gè)不同的籠子的總方法數(shù)為，其中“至少有一個(gè)空籠子”包含兩種情況：①恰有兩個(gè)空籠子（即4只鴿子在同一個(gè)籠子），有種；②恰有一個(gè)空籠子（即4只鴿子在兩個(gè)籠子里），有種，故所求概率為.故選：B8．A【分析】由，設(shè)，因?yàn)椋蠼獬龅闹?，即可求解．【詳解】，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，設(shè)，因?yàn)?，所?故選：A9．AB【分析】對(duì)于A項(xiàng)，作差進(jìn)行判斷；對(duì)于B項(xiàng)，由進(jìn)行判斷；對(duì)于C項(xiàng)，作差判斷；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)勾函數(shù)判斷．【詳解】，故選項(xiàng)A正確.時(shí)，，則，故選項(xiàng)B正確.若或，即，則，故；若，即，則，故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，，所以，即原式最大值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB10．AC【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為，則，所以是等差數(shù)列，A正確；，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，又，所以.可設(shè)，所以，所以，故C正確；成等差數(shù)列，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．ACD【分析】先求出，再利用函數(shù)的判別式判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后由圖象逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，則的對(duì)稱軸為，代入，得，，又因?yàn)椋?，故，令，得極值點(diǎn)和；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),所以極大值點(diǎn)為，A正確；因?yàn)?，且，所以，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（極值點(diǎn)），但三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由極值的符號(hào)決定：若極大值與極小值同號(hào)，則只有1個(gè)零點(diǎn)；若異號(hào)，則有3個(gè)零點(diǎn)，僅無法確定極值符號(hào)，故無法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，B錯(cuò)誤；因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，則，即，是的根，由韋達(dá)定理：，，又因?yàn)椋@然兩個(gè)極值點(diǎn)處的函數(shù)值同號(hào)，若，先增后減再增，極值同號(hào)則與軸僅一個(gè)交點(diǎn)；若，先減后增再減，極值同號(hào)則與軸僅一個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象知，只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，C正確；因?yàn)榍?，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，且所在大概位置如圖所示，所以有三條切線，D正確.故選：ACD.12．6或【分析】直接利用扇形的周長公式和面積公式建立方程組，進(jìn)一步求出圓心角的大小.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，扇形的弧長為，所以，解得或；當(dāng)，時(shí)，利用，解得；當(dāng)，時(shí)，利用，解得.故答案為：6或.13．【分析】直線恒過定點(diǎn)，圓心為.圓的半徑為點(diǎn)到該直線的距離，其最大值為線段的長度，此時(shí)圓面積最大．【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，橢圓的上焦點(diǎn)為，當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，圓面積取得最大值，此時(shí)圓的半徑為：，此時(shí)最大面積為.故答案為：14．16【分析】先由拋物線的定義求出的值，然后利用焦點(diǎn)弦與原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積公式求出焦點(diǎn)弦的傾斜角，最后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)求值．【詳解】由已知得，則，所以拋物線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：1615．(1)(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出的值，再檢驗(yàn)即可；（2）由題意在上恒成立，則，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，依題意可得，解得.當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在處有極小值，所以符合題意.（2）由題意在上恒成立，所以只需，由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，因?yàn)?，所以，即，所?16．(1).(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求由點(diǎn)到面的距離；（2）利用向量法求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）方法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為所以令，則，此時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)此距離為，，即點(diǎn)到平面的距離為.方法二：因?yàn)樵谡襟w中，且，所以四邊形是平行四邊形，則，又因?yàn)槊?，則平面.所以點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)此距離為，，則，，，所以，則，所以.（2）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.17．(1)，6(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再由三角恒等變換化簡可求出，再由余弦定理計(jì)算可求出；（2）方法一：由結(jié)合平面向量線性運(yùn)算計(jì)算求解；方法二：由余弦定理進(jìn)行求解．【詳解】（1）（為外接圓半徑），，，，，，，，即.，，，.（2）方法一：由題意知，，，，，.方法二：由已知及余弦定理，得，，，是的重心，，.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)利用分和結(jié)合等差數(shù)列定義即可依次求出數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減求和方法結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解；（3）方法一：由和放縮公式結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算求證即可得證；方法二：由數(shù)列的單調(diào)性和放縮公式得到即可計(jì)算求證.【詳解】（1）由題令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，且是遞增數(shù)列，所以，所以，即是公差和首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列，所以.（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)椋?，所以，則，兩式相減得，即.（3）方法一：，所以，①因?yàn)?，所以，②?②得，即，所以.方法二：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以是遞減數(shù)列.所以，所以，所以.19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)切線方程即可求出參數(shù).（2）對(duì)函數(shù)兩次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定極小值；（3）當(dāng)時(shí)，判斷不符合題意；故.當(dāng)時(shí)