第第頁浙江省金華市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是點(diǎn)A3，?4，?5A．5 B．25 C．34 D．412．橢圓C：x216+y29=1的左焦點(diǎn)為FA．3 B．4 C．6 D．83．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若A．?8 B．8 C．1或?8 D．?1或84．?dāng)€（cuán）尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長(zhǎng)為6，頂角為2πA．33π B．63π C．5．已知圓C：x2+y2=2，點(diǎn)A(m,m?3)A．1 B．2 C．22 D．6．直線y=12x+t與曲線y=x相切，且與圓A．15 B．55 C．3 7．在數(shù)列an中，an+1an=1+A．9 B．10 C．11 D．128．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是C的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)FA．2 B．2 C．3 D．3二、多項(xiàng)題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9．已知點(diǎn)M橢圓C:4x2+9y2A．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是9B．橢圓C焦距是2C．存在M使得∠D．三角形MF110．等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1A．?dāng)?shù)列an是遞減數(shù)列 B．C．S9是Sn中最小項(xiàng) 11．如圖，正方體ABCD?A1B1CA．直線DB1與平面AEF垂直 B．直線A1C．三棱錐D?AEF的體積為23 D．點(diǎn)D到平面AEF的距離為12．已知拋物線C:y2=4x，點(diǎn)M(?2,0)，P(2,0)，過點(diǎn)P的直線l交拋物線C與A,B兩點(diǎn)，設(shè)A(A．y1y2=?8 C．1AP+1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線x+y+2=0的傾斜角的是．14．已知函數(shù)fx=sin2x?x15．九連環(huán)是我國(guó)古代流傳至今的一種益智游戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)，移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個(gè)數(shù).在某種玩法中，推廣到m連環(huán)，用an表示解下nn≤m個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，若數(shù)列an滿足：a1=1，且16．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?3,0),B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB=2，則P點(diǎn)的軌跡Γ為圓，過點(diǎn)A的直線交圓Γ于兩點(diǎn)C，D，且AC=CD四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列an中，a1（1）求證：數(shù)列an2n（2）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，求18．如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA（1）求異面直線AB（2）求二面角B119．已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l的傾斜角為銳角，l與圓x2+y2=12相切，與橢圓C交于A、B20．如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，AD=4，AB=2，AC∩BD=O，SO⊥平面ABCD，SO=3，BF（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點(diǎn)M，使得平面MEF⊥平面SCD？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且（1）證明：數(shù)列an?1是等比數(shù)列，并求數(shù)列（2）若bn=an+(?1)nlog3an22．已知雙曲線Γ:x2a2?y（1）求Γ的方程；（2）如圖，過原點(diǎn)O作互相垂直的直線l1，l2分別交雙曲線于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，A，D在①求四邊形ACBD面積的取值范圍；②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由點(diǎn)B是點(diǎn)A3，4，?5則OB=故答案為：A.【分析】由射影的定義求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用向量求模公式得出OB?2．【答案】D【解析】【解答】解：令橢圓C的右焦點(diǎn)F'，依題意，線段P1P2與FF因此|P2F|=|P1F'所以|P故答案為：D.【分析】令橢圓C的右焦點(diǎn)F'，由已知條件和平行四邊形的定義，從而判斷出四邊形P1F3．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}因?yàn)镾3=3a即q2+q?2=0，解得q=1或所以a6a3故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，從而建立公比的方程，解方程得出公比的值，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出a64．【答案】B【解析】【解答】解：軸截面如圖，其中AB=6，∠ACB=2π3，

所以所以AC=AOcosπ6=3×23=2故答案為：B.【分析】由軸截面三角形和已知條件，從而可得圓錐底面半徑，由余弦函數(shù)的定義得出母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得出該屋頂?shù)拿娣e.5．【答案】C【解析】【解答】解：由圓C：x2+y2=2，

得出圓C所以|=2所以，點(diǎn)A到圓C上點(diǎn)的最小距離為32故答案為：C.【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)的圖象求最值的方法，從而求出|AC|的最小值，再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法，進(jìn)而得出點(diǎn)A到圓6．【答案】B【解析】【解答】設(shè)直線y=12x+t在曲線y=則f'(x0)將(1，1)代入直線所以直線方程為y=12x+又x?2y+1=0與圓x2則r=|故答案為：B

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(x7．【答案】B【解析】【解答】解：由an+1an所以a2所以an?a所以an=n(n?1)2+1(n≥2)，

又因?yàn)閍由an=46，解得故答案為：B.【分析】根據(jù)題意和遞推公式變形，可得an+1?a8．【答案】B【解析】【解答】由圓的性質(zhì)可知，F(xiàn)2P⊥OP，OM⊥PM，所以|因?yàn)閨OA|又因?yàn)镻O平分∠APM，所以∠APM=2∠PAO，由∠APM+∠PAO=90°，得∠PAO=30°，所以∠POM=2∠PAO=60°，即b所以e=故答案為：B

【分析】由圓的性質(zhì)得出|F2P|=b，|OP|=a，再由PO平分9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)?x所以a2對(duì)于A：因?yàn)閍=3，所以長(zhǎng)軸為2a=6，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)閏=5，所以焦距為2c=2對(duì)于C：當(dāng)M取到上頂點(diǎn)時(shí)此時(shí)∠F此時(shí)MF1=M所以cos∠F1MF所以存在M使得∠F對(duì)于D：當(dāng)M取到上頂點(diǎn)時(shí)此時(shí)三角形MF此時(shí)S=1故答案為：BCD.【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出a，b的值，再由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)定義，從而判斷出選項(xiàng)A；利用橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出c的值，從而得出橢圓的焦距，則判斷出選項(xiàng)B；當(dāng)M取到上頂點(diǎn)時(shí)此時(shí)∠F1MF2取到最大值，再結(jié)合焦距的定義，從而得出此時(shí)MF1，MF2，F(xiàn)110．【答案】B,C【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}由S6=S解得a1=?9d，因?yàn)閍1對(duì)于A：由d>0，得等差數(shù)列{a對(duì)于B：因?yàn)閍10對(duì)于C：因?yàn)镾n又因?yàn)閐>0，當(dāng)n=9或n=10時(shí)，Sn取到最小值，即S9為對(duì)于D：因?yàn)镾2=2a由d>0，得S2故答案為：BC.【分析】根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式可得a1=?9d，d>0，再結(jié)合公差的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出數(shù)列的單調(diào)性，則判斷出選項(xiàng)A；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和d>0，n>0，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和開口方向，則得出11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如圖所示，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，則D(0,0,0),B對(duì)于A，DB設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，則n?AE又因?yàn)镈B1=(2,2,2)與n=(2,1,2)不平行，故直線對(duì)于B，因?yàn)锳1G=(0,2,?1)所以A1G??n故直線A1G與平面對(duì)于C，因?yàn)閂D?AEF對(duì)于D，因?yàn)镈A=(2,0,0)，平面AEF的法向量為n故點(diǎn)D到平面AEF的距離為d=|故答案為：BCD.【分析】利用已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求出相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出平面AEF的法向量，再根據(jù)DB1=(2,2,2)與n=(2,1,2)不平行，故直線DB1與平面AEF不垂直，則判斷出選項(xiàng)A；利用A1G=(0,2,?1)和平面AEF的法向量以及兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，所以直線A12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：設(shè)直線l的方程為x=my+2，由x=my+2y2=4x，消去x因?yàn)橹本€l交拋物線C與A,B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,所以y1+y因?yàn)閨AB|=4mAP=(同理，可得BP=1+m2|=|因?yàn)閗==2m(?8故答案為：ABD.【分析】設(shè)直線l的方程為x=my+2，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，則消去x，得出y2?4my?8=0，設(shè)A(x13．【答案】3【解析】【解答】設(shè)直線x+y+2=0的傾斜角為α，

因?yàn)橹本€x+y+2=0的斜率?1，即tanα=?1，

因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α=故答案為：3π【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.14．【答案】?3【解析】【解答】解：由于f'x=2cos2x?f'所以fx=sin2x?x，則f'故答案為：?3.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出函數(shù)fx=sin2x?xf15．【答案】2【解析】【解答】解：因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

則當(dāng)n≥4時(shí)，an=2an?1?1=22an?2+2?1=4an?2+3，即an+1=4an?2+1，故答案為：2n?1【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式得到遞推公式，即an=4an?2+3，再由遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，則判斷出數(shù)列a16．【答案】x?52+【解析】【解答】解：設(shè)Px,y，則x+32+即(x?5)2因?yàn)锳C=CD，故點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，

過圓心5,0作AD的垂線，垂足為

則M為CD的中點(diǎn)，則AM=32CD，

解得CD=2故答案為：(x?5)2+y【分析】設(shè)Px,y，再根據(jù)PAPB=217．【答案】（1）證明：因?yàn)閍n+1=2a∴{an2n}∴an2n（2）解：因?yàn)镾n所以2Sn∴?Sn∴S【解析】【分析】（1）利用已知條件和遞推關(guān)系變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義證出數(shù)列{an2（2）利用已知條件和錯(cuò)位相減法，從而可求出Sn（1）因?yàn)閍n+1=2∴{an2n}∴an2（2）Sn2Sn=∴?Sn∴S18．【答案】（1）解：以{AB,AC

則A(0,0,0),B(1,0,0),B1AB所以cos<所以，直線AB1，（2）解：設(shè)m=(x,y,z)為平面B1則m?令x=1,同理AD=(則n?可取平面ADC1的一個(gè)法向量為則cos<由圖可知二面角B1所以二面角B1?AD?C【解析】【分析】(1)利用已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，則求出AB1,(2)利用已知條件和兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出平面B1AD和平面ADC1的一個(gè)法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和二面角（1）以{AB,AC則A(0,0,0),B(1,0,0),BAB所以cos<所以直線AB1，（2）設(shè)m=(x,y,z)為平面B1AD則m?令x=1,同理AD=(則n?可取平面ADC1的一個(gè)法向量為則cos<由圖可知二面角B1所以二面角B1?AD?C19．【答案】（1）解：∵橢圓C:x2a2+則a=21a2+所以，橢圓C的方程為：x2???（2）解：設(shè)直線l的方程為：y=kx+m(k>0)，∵l與圓x2∴m設(shè)點(diǎn)A(x1,∴（則Δ>0∵S∴AB∴1+∴1+又因?yàn)?m2=1+k2，∴5k4?4故m2所以，直線l的方程為：y=x±1.【解析】【分析】(1)將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程，從而建立a，b的方程組，再解方程組得出a，b的值，從而得出橢圓C的方程.(2)設(shè)直線l的方程為：y=kx+m(k>0)，A(x1,y1)，B(x（1）∵橢圓C:x2a2+則a=21a∴（2）設(shè)l的方程為：y=kx+m(k>0)∵l與圓x2∴設(shè)點(diǎn)A(x1∴（則Δ>0∵S∴AB∴1+∴1+又2m2∴k2=1，∵k>0故m2∴l(xiāng)20．【答案】（1）解：??????分別取AB，BC中點(diǎn)M，N，則OM⊥ON，又因?yàn)镾O⊥平面ABCD，則SO,OM,ON以{OM,ON則A(2,?1,0),D(?2,?1,0)，S(0,0,所以EF=(0,設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)則m??SC令x=則cos<∵<m所以，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為77（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面MEF⊥平面SCD，設(shè)SM=λSC設(shè)平面MEF的一個(gè)法向量n=(x,y,z)則n令y=1，則z=3∵平面MEF⊥平面SCD，∴m∴λ=0，∴存在點(diǎn)M,使得平面【解析】【分析】（1）分別取AB，BC中點(diǎn)M，N，易證SO,OM,ON兩兩互相垂直，以{OM（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面MEF⊥平面SCD，利用向量共線的坐標(biāo)表示和三角形法則以及向量加法的運(yùn)算法則，從而表示出EM?，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求得平面MEF的一個(gè)法向量，結(jié)合面面垂直得出線線垂直，再根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出直線SC上存在點(diǎn)M，使得平面MEF⊥（1）解：分別取AB，BC中點(diǎn)M，N，則OM⊥ON，又SO⊥平面ABCD，則SO,OM,ON以{OM,ON則A(2,?1,0),D(?2,?1,0)所以EF=(0,設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)則m?SC令則cos<∵<m直線EF與平面SBC所成角的正弦值為77（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得平面MEF⊥平面SCD，設(shè)SM則EM設(shè)平面MEF的一個(gè)法向量n=(x,y,z)則n令y=1，則z=3∵平面MEF⊥平面SCD，∴m∴λ=0，∴存在點(diǎn)M,使得平面21．【答案】（1）證明：因?yàn)镾n?n3當(dāng)n=1時(shí)，a1=S當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1由①-②得an=3則an?1=3a所以數(shù)列an則an?1=3（2）解：因?yàn)閍n=3所以，數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為：2n+所以，數(shù)列(?1)nn?1的前2n項(xiàng)和為：=?0+1∴T所以，數(shù)列T2n單調(diào)遞增，

T6所以，使得T2n>2024最小正整數(shù)【解析】【分析】（1）利用已知條件和Sn與an的關(guān)系式，從而得出an=3a（2）利用（1）中數(shù)列an的通項(xiàng)公式得出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，結(jié)合分組求和可得T2n，再判斷出數(shù)列T2n的單調(diào)性，則由數(shù)列的單調(diào)性得出滿足（1）因?yàn)镾n?n3當(dāng)n=1時(shí)，a1=S當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1①-②得an=3則an?1=3a所以數(shù)列an則an?1=3（2）an=3an的前2n項(xiàng)和(?1)nn?1的前2n=∴T2n單調(diào)遞增且T6所以使得T2n>2024最小正整數(shù)22．【答案】（1）解：??由題意得ba=3，則b=3a①，

將點(diǎn)P3，6故Γ的方程為x2（2）解：①由已知可知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，

設(shè)A(x1,y1),B(x2'y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，

再設(shè)l1的方程為y=kx，則l2的方程為y=?1kx，

聯(lián)立y=kxx2?y23=1，消y整理得3?k2x2?3=0，

因?yàn)橹本€l1與雙曲線Γ交于兩點(diǎn)，故3?k2≠0且Δ=123?k2>0，則k2<3

則x1+x2=0,x1x2=?33?k2，

則AB=1+k2x1+x2?4x1x2=231+k23?k2，

聯(lián)立y=?1kxx2?y23=1，消y整理得3k2?1x2?3k2=0，

因?yàn)橹本€l2與雙曲線Γ交于兩點(diǎn)，

故3k