正余弦考試真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在△ABC中，a=3，A=60°，則\(\frac{a}{\sinA}\)的值為（）A.2\(\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{3}\)C.3D.62.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.在△ABC中，\(b=4\)，\(c=3\)，\(\cosB=-\frac{1}{4}\)，則\(a\)的值為（）A.2B.3C.4D.54.已知\(\sin\theta=-\frac{3}{5}\)，\(\theta\)是第四象限角，則\(\tan\theta\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.-\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.-\(\frac{4}{3}\)5.在△ABC中，\(A=30°\)，\(B=45°\)，\(a=1\)，則\(b\)的值為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{3}\)6.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)7.已知\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3}\)，則\(\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.-\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.-\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)8.在△ABC中，若\(a=2b\sinA\)，則角B的值為（）A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.90°9.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，則\(\sin\alpha-\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{7}{5}\)B.-\(\frac{7}{5}\)C.\(\frac{49}{25}\)D.\(\frac{12}{25}\)10.函數(shù)\(y=\cosx\)在區(qū)間\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上的最大值是（）A.-1B.0C.\(\frac{1}{2}\)D.1答案：1.A2.A3.D4.B5.A6.A7.A8.A9.A10.D二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是正弦函數(shù)\(y=\sinx\)的性質(zhì)（）A.周期是\(2\pi\)B.是奇函數(shù)C.值域是\([-1,1]\)D.在\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上單調(diào)遞減2.在△ABC中，根據(jù)正弦定理，下列等式正確的是（）A.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)B.\(\frac{a}{\sinB}=\frac{\sinA}\)C.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)D.\(\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\alpha\)可能的值為（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{2\pi}{3}\)C.\(\frac{4\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{3}\)4.以下關(guān)于余弦函數(shù)\(y=\cosx\)的說(shuō)法正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.是偶函數(shù)C.值域是\([-1,1]\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減5.在△ABC中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\sinB\)的值可能為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{2}{5}\)D.16.下列三角函數(shù)值相等的是（）A.\(\sin\frac{\pi}{6}\)與\(\sin\frac{5\pi}{6}\)B.\(\cos\frac{\pi}{3}\)與\(\cos\frac{5\pi}{3}\)C.\(\tan\frac{\pi}{4}\)與\(\tan\frac{5\pi}{4}\)D.\(\sin\frac{\pi}{4}\)與\(\sin\frac{3\pi}{4}\)7.已知\(\cos\alpha=-\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,2\pi)\)，則\(\alpha\)的值為（）A.\(\frac{2\pi}{3}\)B.\(\frac{4\pi}{3}\)C.\(\frac{5\pi}{3}\)D.\(\frac{\pi}{3}\)8.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)）的性質(zhì)有（）A.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)B.最大值是\(A\)C.最小值是-\(A\)D.初相是\(\varphi\)9.在△ABC中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分別是角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對(duì)的邊，若\(a\cosA=b\cosB\)，則△ABC可能是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形10.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\)B.\(\sin\alpha-\cos\alpha=0\)C.\(\alpha=\frac{\pi}{4}+2k\pi\)，\(k\inZ\)D.\(\tan\alpha=1\)答案：1.ABCD2.ACD3.AB4.ABCD5.A6.ABCD7.AB8.ABCD9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.正弦函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（）2.在△ABC中，\(a\gtb\)則\(\sinA\gt\sinB\)。（）3.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)。（）4.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)是偶函數(shù)。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）6.在△ABC中，\(\frac{a}{\cosA}=\frac{\cosB}=\frac{c}{\cosC}\)是正弦定理的一種形式。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)在\([2k\pi,(2k+1)\pi]\)，\(k\inZ\)上單調(diào)遞減。（）8.\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)對(duì)任意\(\alpha\)都成立。（）9.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，則\(\cos2\alpha=\frac{7}{9}\)。（）10.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\neq0\)，\(\omega\neq0\)）的圖象可以通過(guò)\(y=\sinx\)的圖象平移和伸縮得到。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述正弦定理的內(nèi)容。答案：在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于該三角形外接圓的直徑，即\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為三角形外接圓半徑）。2.求\(\cos15°\)的值。答案：\(\cos15°=\cos(45°-30°)\)，根據(jù)兩角差的余弦公式\(\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，則\(\cos15°=\cos45°\cos30°+\sin45°\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。3.函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間是什么？答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。4.在△ABC中，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求\(\cosB\)的值。答案：根據(jù)余弦定理\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)，將\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)代入可得\(\cosB=\frac{5^{2}+8^{2}-7^{2}}{2\times5\times8}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在物理學(xué)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電的變化規(guī)律可用正余弦函數(shù)描述。在工程測(cè)量里，可用于計(jì)算角度、距離。在建筑學(xué)中，設(shè)計(jì)弧形結(jié)構(gòu)等也會(huì)用到。它們能幫助分析和解決很多周期性變化的實(shí)際問(wèn)題。2.當(dāng)已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)，三角形解的情況是怎樣的？答案：設(shè)已知\(a\)，\(b\)，\(A\)。當(dāng)\(A\)為鈍角或直角時(shí)，若\(a\gtb\)有一解，\(a\leqb\)無(wú)解。當(dāng)\(A\)為銳角時(shí)，若\(a\geqb\)有一解；若\(a\ltb\)，\(a\gtb\sinA\)有兩解，\(a=b\sinA\)有一解，\(a\ltb\sinA\)無(wú)解。3.如何利用三角函數(shù)的性質(zhì)比較\(\sin1\)與\(\cos1\)的大?。看鸢福阂?yàn)閈(\frac{\pi}{4}\lt1\lt\frac{\pi}{2}\)，在\((\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\)區(qū)間內(nèi)，正弦函數(shù)\(y=\sinx\)單調(diào)遞增，余弦函數(shù)\(y=\cosx\)單調(diào)遞減。且\(\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}