概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習題

一、填空題

1、沒A、B為隨機事件，且尸(A)=0.5,尸(B)=0.6,〃(B|A)=0.8,則P(A+B)=0.7。

2、自，a是常數(shù)。的兩個無偏估計量，若D(a)〈D(a),則稱。比4有效。

3、沒力、6為隨機事件,且狄力)=0.4,戶㈤=0.3,〃(4U⑤=0.6,則尸"豆)=0.3。

4.設(shè)隨機變量才服從［0,2］上的均勻分布，片2加4,則〃⑴=4/3。

5.女隨機變量I的概率密度是：

=O<X<1,且尸｛xn0｝=o.784,則6Z=0.6。

IO其他

6.已知隨機向量(％/)的聯(lián)合密度函數(shù)〃、展xy2,OMXMNOW,WI，則￡(1)=3/4o

/(“,y)=J2

O,其他

7.若隨機變量了?川(1,4),V?"(2,9),且尤與V相互獨立。設(shè)2=才一人3,則Z?工

(2,13)o

8.設(shè)A,B為隨機事件,且產(chǎn)(A)=0.7,P(A-B)=O.3,MP(AuB)=0.6。

9.設(shè)隨機變量廠N(l,4),已知①(0.5)=0.6915,0(1.5)=0.9332,則p｛|X|<2｝=0.62470

10.隨機變量1的概率密度函數(shù)/(幻=1=?-'+21,則￡(a二1

ii.已知隨機向量(至n的聯(lián)合密度函數(shù)/(.1)_｛言，0<x<2.0<y<l,則次％=4/3.

其他

12.設(shè)A,B為隨機事件,且尸(A)=0.6,P(AB)=P(AB),則P(7=0.4

/-4,r+4

13.設(shè)隨機變量X~N(〃Q2),其密度函數(shù)/(x)=_^e

6,則//=2

V67r

14.設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望以'和方差〃尤>0都存在，令y=(x-Ex)/V5f,則一二1.

15.隨機變量1與y相互獨立，且〃0)=4,〃⑴=2,則以3才一21)=/1。

16.三個人獨立地向某一目標進行射擊，已知各人能擊中的概率分別為1，!二，則目標能被擊

543

中的概率是3/5。

2

17.設(shè)隨機變量1?N(2,o-),且尸｛2</<4)=0.3,則尸｛4<0)=0.2o

18.設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,則X的期望E比

2.3o

19.設(shè)(X力的聯(lián)合概率分布列為

\-104

-21/91/32/9

11/18ab

若Ty相互獨立，則”1/6,b=1/90

20.設(shè)隨機變量乃服從［1,5］上的均勻分布，則可2?Xl4l=1/2。

21.設(shè)隨機變量hN(l,4),則尸{因＞2}=0.3753。(已知①(0.5)=0.6915,①(1.5)=0.9332)

22.若隨機變量八"(0,4),hN(—1,5),且才與丫相互獨立。設(shè)2=>+?—2,則Z?N

(-4,9)o

23.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且3P{X=2}=P{X=4},則義工工

24.設(shè)隨機變量I的概率分布為

1

25.

26.某人投籃，每次命中率為0.7,現(xiàn)獨立投籃5次，恰好命中4次的概率是C；x0.74x03

1(x+2-

27.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)=且P{X2c}=P{XWc},則"二^。

28.隨機變量X~N(〃,4),則一x-，N(0,1)。

2

29.設(shè)隨機變量QN(2,9),RP(X>a}-P［X<a),則a=20

30.稱統(tǒng)計量分為參數(shù)。的無偏估計量，如果

二、選擇題

1.沒隨機事件A與8互不相容，且P(A)>P(8)>0,則(D)。

A.P(A)=1—P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(4u8)=1D.P(AB)=1

2.將兩封信隨機地投入四個郵筒中，則未向前面兩個郵筒投信的概率為(A)。

B蓊

3.設(shè)隨機變量X~/(x),滿足f(x)=/(-x),/(x)是x的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)。有(B)<>

A.尸(一。)=1一1：/(尤)公B.F(-a)=^-^f(x)dxC.F(-a)=F(a)D.

F(—a)=2F(a)-\

4.沒A,B為隨機事件，P(B)>0,P(A\B)=\f則必有(A)。

A.P(AD8)=P(A)B.C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

注：答案應該為A,因B不嚴謹，A和B可以相等。

5.設(shè)X，X2是來自總體X的一個簡單隨機樣本，則最有效的無偏估計是(A)。

A.LI=-X.+-X,B.z/=-X,4--X,C.u=-X,+-X,D.

21223'32A4'42

23

JLJ=-X.+-X,

5152

6.、已知己B、C為三個隨機事件,則A、B、C不都發(fā)生的事件為(A)o

A.ABCB.ABCC.A+B+CD.ABC

7.(x,y)是二維隨機向量，與cbu(x,y)=o不等價的是(D)

A.E(XY)=E(X)E(Y)B.Z)(X+V)=￡>(X)+。(丫)C.D(X-Y)=D(X)+D(Y)D.X

和丫相互獨立

8.設(shè)總體X~N（4"2）,其中〃未知，XI,X2,…，X〃為來自總體的樣本，樣本均值為9，樣本

方差為.一,則下列各式中不是統(tǒng)計量的是(C)。

A.2XB.二C.XzWD."Du

cr(y~

9.若隨機事件A與B相互獨立，則尸(A+8)=(B)。

A.P(A)+P(B)B.P(A)+P(B)—P(A)P(B)C.P(A)P(B)D.P(A)+P(B)

10.若A與B對立事件，則下列錯誤的為(A)o

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A+B)=iC.尸(A+8)=0(A)+P(3)D.P(AB)=0

11.設(shè)隨機事件A、B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(^B)=(C)。

A.(1-p)qB.pqC.qD.p

12.設(shè)q是一組樣本觀測值，則其標準差是（B）o

A.力(為-幻B.D.

n/=!

13.設(shè)隨機變量/?M",9),V?"(〃，25),記P1=P{XK〃-3},〃2={丫之〃+5}，則(B)。

A.B.R=Rc.Pi>p2D.由與倫的關(guān)系無法確定

14.若事件A，4,4兩兩獨立，則下列結(jié)論成立的是(B)0

A.4，42,4相互獨立B.4,凡，4兩兩獨立

c.2AA2A3)=P(A)P(A)P(A3)D.A，凡，4相互獨立

15.設(shè)隨機變量X~M4,9),則()

(A)￡(X)=2(B)D(X)=3(C)Z>；X)=9(D)以上都不是

三、計算題

1.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

0<x<l

fM=

0,其它

求(1)a；(2)X的分布函數(shù)尸(%)；(3)P(1>0.25)。

解：⑴匚心=。4公=|〃=1

。=3/2

(2)當x<0H寸，/(x)=,：/?)力=0

當0?x<1時，F(xiàn)(x)==x3/2

當工21時，F(xiàn)(x)=['=1

0.x<0

故F(x)=<廣2,0<A<1

Lx>l

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

2.已知連續(xù)型隨機變量￥的分布函數(shù)為

，x2

F(x)=<A+&2,x>0

0,其它

求(1)AfB；(2)密度函數(shù)F(x)；(3)P(1<*2)o

(1)limF(x)=A=l

解：limF(x)=A+B=()

x->0，

B=-\

(2)

xe~x'；v>0

f(x)=F\x)=\'

0,^<0

(3)P(1<X<2)=F(2)—F(l)=e-,/2-e

3.設(shè)隨機向量(XD聯(lián)合密度為

A"(2x+3y)

x>0,y>0;

F(x,y)=

[0,其它.

(1)求系數(shù)4;

(2)判斷了y是否獨立，并說明理由;

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

解：(1)由1=J""Jy(x,y)dxdyAe^^dxdy=e^dx?e~3ydy=

■+O0

)=4

)6'

可得4=6。

(2)因(X,n關(guān)于x和v的邊緣概率密度分別為

2x

2e-x>0;3e”y>0;

fx(x)=-和fr(y)=?

0,其它.0,其它.

則對于任意的(x,y)eR2,均成立f(x,y)=E(x)*6(y),所以X與F獨立。

(3)P{0WXW2,OWJWHujjlG-aN.y)公4),=]：2?24

=(一)(一""I：)=(1一"4xi_e-3)

4.某車間生產(chǎn)滾珠，其直徑￥?N(〃，0.05),從某天的產(chǎn)品里隨機抽出9個量得直徑如下(單

位：毫米)：

14.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(己知：0S⑼=2.262"O05(8)=2.3O6,Z0025=1.960)

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布,所以U二二二/?N(0,l)P[\U\<Wqo25)=0.95

cr/\Jn

所以〃的置信區(qū)I可為：(亍-〃00,5三十〃0025經(jīng)計算工==>,無=14.911

7n"\Jnz=i

4的置信度為0.95的置信區(qū)間為

(14.911-1.96x^,14.91l+1.96x^)即(14,765,15.057)

5.工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑丫(單位:毫米)服從正態(tài)分布陽4/),現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件中隨機

抽出9個,分別測得其口徑如下：

14.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口徑方的標準差0=0.15,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知：fog⑼=2.262,4期(8)=2.306,4(3=1-960)

解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以U=二牛~N(0,1)P{\U|</小}=0.95

a/\Jn

9

所以〃的置信區(qū)間為：(X-〃0025—+〃00乃—經(jīng)計算x=卷，,X；=信.9

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為(14.9-1.96x14.9+1.96x即(14.802,14,998)

6.設(shè)總體X服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，內(nèi),々，與，…，匕是一組樣本值，求參數(shù)。的最大似然估計。

0

“1」不

解:L=U-e0InL=nIn

10質(zhì)

d\nL

dO

7.己知P(A)=1/4,P(Z?|A)=l/3,P(A|3)=l/2,求尸

己知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求尸(P|JB)。

解：P(8|A)=l/3n瑞WnP(")=%(A)=W

P(A\B)=\/2=>^^=-=>P(B)=2P(AB)=2—=-

P(B)2126

尸(ALW=P(A)+P(B)-P(AB)

1111

=--1-----=——

46123

8.設(shè)總體X的概率分布為

X0123

Pe126>(1-(9)0-1-2/9

其中6(0<6v1/2)是未知參數(shù),利用總體X的如下樣本值:3,1,3,0,2,3,求6的

矩估計值和極大似然估計值.

(1)EX=0X6>2+1K26>(1-6>)+2X(92+3X(1-2!9)=3-46>,

令￡X=又，可得。的矩估計量為。='(3-5)，

4

根據(jù)給定的樣本觀察值計算元=，(3+1+3+0+2+3)=2,因此。的矩估計值

6

。二L-------4分

4

(2)對于給定的樣本值似然函數(shù)為￡(/9)=26>5(1-2/9)\1-6>)

-------6分

InL(e)=ln2+51ne+31n(l—2O)+ln(l—。)