數(shù)列微專(zhuān)題

目錄

1通項(xiàng)..........................................................................2

1.1減項(xiàng)作差求通項(xiàng)............................................................2

1.2遞推求通項(xiàng)................................................................7

2性質(zhì)..........................................................................9

3構(gòu)造數(shù)列.....................................................................13

3.1構(gòu)造等比數(shù)列.............................................................13

3.2構(gòu)造差數(shù)列...............................................................19

3.3取倒類(lèi)等差...............................................................23

3.4構(gòu)造對(duì)數(shù).................................................................31

4求和.........................................................................33

4.1錯(cuò)位相減.................................................................33

4.2裂項(xiàng)相消.................................................................37

4.3指數(shù)裂項(xiàng).................................................................39

4.4奇偶并項(xiàng)..............................................................40

5單調(diào)性.......................................................................48

6周期性.......................................................................53

7不動(dòng)點(diǎn).......................................................................57

8放縮.........................................................................61

9公式應(yīng)用.....................................................................64

10與三角結(jié)合..................................................................72

11與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合..............................................................77

12綜合題......................................................................88

1通項(xiàng)

1.1減項(xiàng)作差求通項(xiàng)

L記￥為數(shù)列懇為｝的前n項(xiàng)的和，若S”=4+南?2/7+1,則4=

答案：11

22

解析：??'S?=an+n-2n+1：5?.,=(z?-l)：??=2?-1：a6=11

2.設(shè)數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和為S“二4q?3〃+2,求凡及S”

答案：4二爭(zhēng)(g))|-3、S.=10.(5-3〃-10

解析：Sn=4%-3〃+2不。尸一

因?yàn)镾“=47“-3〃+2,①所以Sn+l=4q+]-3(/1+1)+2②

②-①得：Sn+l-Sn=4a”+「3〃?3+2?(4。.-3n+2)—c"=4all+x-4an-3

不明二：6+1不(a,川+3)=*+3)

所以懇q+3｝是以5為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列，

則一T伽”不廿?曾一3

前〃項(xiàng)和s.=10.(|且)|-3/?-10

\3)

3.已知S”是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，＞0,a；+24=4S”+3,則｛q｝的通項(xiàng)公式為

答案：a,-2n+1

解析：an+2an=4S〃+3不q=3或“I=-1(舍)

因?yàn)?+2an=4S”+30,所以有*+2an+l=4Sn+1+3②

②-①得：a；+.+2凡.「G；-2an=45n+I-4Sn=4。用不?a：-2an+l-2a?=0

。匚-a：-2(%+4)=0不(凡+2)(凡+|+凡)=0

第2頁(yè)共103頁(yè)

因?yàn)閝>0,所以「凡=2；所以｛2｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

則%=3+如-1)=筋+1

4.設(shè)數(shù)列懇q｝的前〃項(xiàng)和是5?,4=1,^,=3除求懇為｝的通項(xiàng)公式.

答案：4=4"T

解析：因?yàn)閍n+l=3S“，所以有an=3s“_j,

=

兩式做差有〃“+i-a”3sli-35n.I=3a“不**'=4

所以懇4｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，q=

5設(shè)數(shù)列懇q｝滿足《=1同二14,求懇q｝的通項(xiàng)公式.

答案：4=——

解析：因?yàn)镾?=":「〃，所以有S〃_]=〃；1%,

〃+2〃+1〃+1〃-1a〃+1

兩式做差有Se-S,,T=an-0…不4…=4不"=

3333a,,,in-\

累乘法可得：%，得符.3="("D不〃“二正士21

671123/?-12"2

6設(shè)數(shù)列懇(｝的前〃項(xiàng)和是Sn，%=-l,afl+|=S“S”7,

(I)求S.；

(2)求an.

11

解析：。”+1=S,St”不S"*「S.=SS、不--7

3,

所以數(shù)列〈<.卜是以<=-1為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列,

I5.J4

第3頁(yè)共103頁(yè)

即”,=nSn+(n+2)凡=4〃;

當(dāng)〃>2時(shí),S〃?S”T+(1+-K-d+=()

nw-I

2(〃+1)n+1

:a-a.,

n〃…"

即2.4=—,

nn-1

：〈!義卜是以!為公比，i為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

I〃J)

：孑=&:《=&

9.已知數(shù)列懇q｝的前〃項(xiàng)和是S”,s=yitl+3'?

(a\

(1)求證：(一n卜為等差數(shù)列.

I3〃J

(2)求數(shù)列懇凡｝的通項(xiàng)公式.

答案：%=-(4〃+2).3"

解析：

,,+|

S”=gan+3不q=[q+9不q=T8

M+,

S尸-4+3"、不S"?:+3〃不S,,-Stll=-at+3--+3"

〃)〃1n-i)〃T1〃〃?i、〃)〃?i

不久==%-2.3〃不q=3”4.3"不守-線-4

所以《皆卜是以?=-6為首項(xiàng)，-4為公差的等差數(shù)列，且M=-6-4(77-1)=?4〃-2

(2)由上面可得att=-(4〃+2).3"

第5頁(yè)共103頁(yè)

10.(浙江學(xué)考)數(shù)列{凡}的前八項(xiàng)和s"滿足A,則下列為等比數(shù)列的是

A.{q+1}B，U-1}C.{S”+1}D.K-1}

答案：A

解析：S=—?-〃PS.=—ai-〃+1PS-Sj=L-n—a,-〃+1

"2""2"""2"2"

4=3，%+2。％+1=3?%+1)所以{%+1}是等比數(shù)列

11.已知數(shù)列懇qj的前n項(xiàng)和為Sn,q=1,%=2且5?+2-3S?+,+2s“+q=0(〃二M)記

7；,=—+-!-+—+(〃=M)，若(〃+6)人〉Tn對(duì)ri=N恒成立，則A的最小值

<I<2<33

答案：-

6

解析：\+2-3S,+2,+q=0即S.2-3S.+|+2S〃+S.-=0化簡(jiǎn)可得

?！?2+《1=%”，懇為｝為等差數(shù)列，an=n,SH=---

--=2(一-?Tn=+--?+^—+...+=2|I-+6

\〃("1)1〃"與:區(qū)工I川')

2〃__________221

A2〃

人＞（〃+1）（〃+6）n=2或者〃=3-------;—最大值為:

〃2+7〃+6一〃+勺+7〃+勺+76

n

人的最小值為-

A

12記數(shù)列懇aJ的前n項(xiàng)和SH,已知21Vq+1=〃（為+I）,且勾二5,若〃7＞章，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

答案：（2,+w）

解析：

2V4+?=〃(q+1)，

說(shuō)「*+1=(〃-0(%+1)(〃>2)上式相減可得M柿=(〃-1)?！?1即

+岳舟JT由2V…〃（竹斫5可得卬二3,

第6頁(yè)共103頁(yè)

aa1a1

—=i-；----、累加可得」=2+，a-2/i+1,3,符合%二方+1.

n〃(〃一1)nnn

故an-2〃+1

S?=/?(/?+2)

S.〃(〃+2)

'〃/2n~T-

A/、*

令g(〃)-------，〃二N

2n

gW=1,g(2)=T,g(3)二，g(4)二?，g(5)=TT開(kāi)始逐漸遞減,則"?=(2,+w).

224lo

1.2遞推求通項(xiàng)

1.已知數(shù)列懇《,｝滿足q+4+3%+.?+，叫=W(〃=乂)則a”=

答案：an=n+1

.：當(dāng)〃=1時(shí)，%二2

當(dāng)〃>2時(shí)，q+2a2+3a,+-+叫=~空土!電(〃=M)①

4+期+加+...+(〃—DJ="②

①一②并整理可得可二〃+1,代入q=2驗(yàn)證符合，：《尸〃+1

2.若數(shù)列懇為｝是王項(xiàng)數(shù)列，且J4+J的+……+J%=/?+3〃,則

騫+#+……+A=

23n+1----

答案：2n(n+3)

解析：:亞+向+...+伍=1+3〃

第7頁(yè)共103頁(yè)

訴+向+……+向=/+3〃

|1歷+優(yōu)+……+\^7=(〃?1丫+3(〃?1)

:伍=2(〃+1):凡=4(〃+1了：-^=-=4(/?+1)

“?I

4〃(2?〃+1)--

：-------------=2n(n+3)

3.已知數(shù)列懇〃“｝中，ai=1,?)+2a2+3%+…+叫=求數(shù)歹U懇4J的通項(xiàng)公式.

解析：因?yàn)?+2al+3%+...+叫=n

所以有41+勿2+3%+…+(〃?1)4|=(〃?1)

2〃-1

兩式相減：na?=2〃-1不a?=

4.已知數(shù)列懇q｝中，4=1,對(duì)所有的n>2都有4根生根的根...根q=〃2,則可等于一

0,n=1

n.八

解析：根根。3根???根4

有4根%根為根…根%=(〃?I)：

(1n=1

兩式相除:

：))|，〃>2

5.已知數(shù)列懇q｝滿足:

,an+2-a?共3",a,.-a?>91.3",則%=(

201532015

Cm十一

丁iD.■

82

答案：B.

解析:

由己知凡.2-a"共3"①

4+6-凡>91.3"②

由①可得：/+「%+?共3皿

第8頁(yè)共103頁(yè)

由①+③

一凡共10.3",則〃”.一。皿共90.3"④

iK2)—

砧一q>3",⑤

由①⑤得a”+2—a”=3"二Q'3",

則""213x3。=4一：〉3",

所以“Ris-J'"'：a—3'=0,

所以a—'3刈5,

8

故選B.

6.整數(shù)列?。凉M足％”一弓_|想3"+；，4+.2-??>3'向—1?勺=3，貝【J。序=().

A嚴(yán)—3B口喇13g硼Ty8T

Vz?L-z?

2288

答案：C.

^T：?.4Ml一%想3"+；，勾什？—4>3'向1“1

-：”,田_41>3一;，

又由數(shù)列｛〃,｝為整數(shù)列，故。向一。,一二3",

?7__->2017

即a4—%=3,%一《二35,/—?6=3,…/018”20613,

27(1—9度’_3卯9—27

累加得：。劉&一生=33+35+37+...+3明

1—98

3刈-3

又??％二3,:62=8，古越：<C.

2性質(zhì)

1.已知數(shù)列懇q｝,懇〃,｝為等差數(shù)列，若卬+by-7,a；+b、-21,則6+么=_______

答案：35

解析：.懇懇a｝為等差數(shù)列

:懇凡+b,｝也為等差數(shù)列：2(q+0)=("+“)+(%+優(yōu))

：a5+b5=2(a3+a)一(q+々)=35

第9頁(yè)共103頁(yè)

2.在等差數(shù)列懇q)中，%=-2008,其前〃項(xiàng)和為S”,若擊■擊=2，則S語(yǔ)的值等于

()

A.-2007B.-2008C.20D7D.2008

答案：B

解析：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和特征5zt=A"+枷可得手=+8,從而可判定卜為

等差數(shù)列，且可得公差d=1,所以%二」■+(〃?l)d=〃?2009,所以S.=/?(//-2009),

nI

即S20G&=-2008

3.已知懇q｝,懇"｝為等差數(shù)列，且前〃項(xiàng)和分別為若A=，則答二_

B.4-27btt

答案：:

嘲以-?￡IL_囚+%

JfwT：一一一..—一

瓦+

b1i約?b?iB2I3

點(diǎn)評(píng)：本題是經(jīng)典考題，利用的等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，倒推回去的

4.已知懇小懇〃,｝為等差數(shù)列，且前”項(xiàng)和分別為A血若含二上上-,則21=_

紇,4/1+27Kv>

答案：d

A7〃+1

解析：本題與上題進(jìn)行區(qū)分，通項(xiàng)的性質(zhì)利用失敗，所以回到形式上，可以把7='——

Bn4/7+27

22

上下同時(shí)乘以kn,即An=7bi+kn,Bn=4kn+27E,

又因?yàn)榈炔顢?shù)列的S產(chǎn)"川+(|%一包)|〃，所以可得：&=14k,%=8k,%=64k

2\2)

%64

d=8七仇二31七“6=71k,所以-=—

271

第10頁(yè)共103頁(yè)

4.在等差數(shù)列[a,｝中，4>0,若其前〃項(xiàng)和為S“，且Su=§8,那么當(dāng)，取最大值時(shí)，〃

的值為（）

A.8B.9C.10D.11

答案：D

解析：

a

由S|4=Sg可得S|4—SK=%+a。+...+《4=°，可得即+\i=On即=-n12，

因?yàn)橥?gt;0,所以％]>0,t/12<0,從而Su最大

解法二：也可從S“的圖像出發(fā)，由S14=Sg可得Sn圖像中n=11是對(duì)稱(chēng)軸，再由q>0與

S14=S'可判斷數(shù)列:a,｝的公差d<0,所以S“為開(kāi)口向下的拋物線，所以在〃=11處S”取

得最大值

n]

5.已知等比數(shù)列凡的前〃項(xiàng)和為Sn=t.2-+1,則實(shí)數(shù)，的值為（）

A.-2B.—1C.2D.0.5

答案：A

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知其前〃項(xiàng)和為S,=Ad—A的形式，所以

n

Sn=/.2”T+1=1.2+1,Dpi=-!=>/=-2

77

6.等比數(shù)列：a,｝的前〃項(xiàng)和為S'=32"T+八則I'的值為（）

11I1

A.—B.——C.-D.——

3399

答案：B

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知其前〃項(xiàng)和為S”二A/一A的形式，所以

S“=3"*r=-r9牛r,即r=-J

133

7.設(shè)等比數(shù)列：凡｝的前〃項(xiàng)和記為S”，若1:2,則S1/S5=（）

3211

A.-B.-C.—D.一

4323

答案：A

第11頁(yè)共103頁(yè)

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知S5,SI0-55,S15-S10成等比數(shù)列，令

I333

S5=2,%=1;I?！猄5=-1不Sl5—So=丁不Ms=—?S15：S5=—:2=—

8.己知等比數(shù)列懇為｝,%=4，%=!，則數(shù)列懇10g2%｝的前10項(xiàng)之和是()

A.45B.-35C.55D.-55

答案：D

解析：，不q不(/|=~

822

10g24—log2〃l=10g2-"=log?q=1唯!=-1，所以懇1，2aJ是以log必二-1為首項(xiàng)，-1

y2

為公差的等差數(shù)列，=~55

9.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為S.，且S”>0,S，6<0，則數(shù)列1kH江，..2的最大項(xiàng)是第

%a2%?25

()

A.1項(xiàng)B.25項(xiàng)C.24項(xiàng)D.13項(xiàng)

答案：D

解析：S”>0,SX<0不〃|+。25>0,+426Vo不。[3>°，。13+<0不。13>°，<0

所以0>0.d<0,4]>見(jiàn)…>a”，且S[<&.“<S[3?所以S13最大

10.設(shè)等差數(shù)列懇凡｝的前n項(xiàng)和為若S”=幾Sa=m(m才〃)，則有鼠+“=

答案：一(m+n)

解析：Sm=n,Sn=mt可設(shè)Sa=A〃2+8〃

,(|S〃=Am2+Bm=n_

則(不A(m+n)+B=—1

||S?=An2+Bn=rn

所以Slll+Il=A(m+tiy+B(m+n)=(ni+n)(A(tn+ri)+B)=—(tn+n)

11.設(shè)數(shù)列｛qj,｛b?｝都是正項(xiàng)等比數(shù)列，S”,T”分別為數(shù)列懇愴％｝與懇1g｝的前〃項(xiàng)和，

且得二W，則夠?yàn)槎?).

第12頁(yè)共103頁(yè)

答案：c.

解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛《｝的公比為q，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛"｝的公比為P，

則數(shù)列｛IgqJ是等差數(shù)列，公差為Igq，｛lg〃J是等差數(shù)列，公差為Igp.

故Sn=n.1gq+2".應(yīng)q，同理可得T=/?.1g々+網(wǎng)彳.1g”，

,,n一I,

nl(gi，31gai?~一^gq

■

州一

n\iogb?\*X'1.忸“l(fā)og”,1Igp

則log,%』%/g…則=-5

弱納的+4/gp4IM9

故選：C.

12.（2018學(xué)年浙江名校協(xié)作體高三上開(kāi)學(xué)考9）已知公差為d的等差數(shù)列懇4｝的前〃項(xiàng)和

為S?,若存在正整數(shù)％，對(duì)任意正整數(shù),H,有S“JS.E<0恒成立，則下列結(jié)論不一定成

立的是（）

A.a/cOB.有最小值C.a,K,%”>0D-＞。

答案：C.

解析：因?yàn)槿我庹麛?shù)/〃，有S.5m+7,“/1<0恒成立，

當(dāng)S「0,S/<0時(shí)，有品<0,即j<0，

由Sn>0知：q中有正數(shù)項(xiàng)，所以d<0,q>0,

所以<0,國(guó)有最小值Sg或者S“田,且—%.2>0，

當(dāng)乂<0母。5>。時(shí)，

所以選C.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察等差數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列的前項(xiàng)〃和及其最值問(wèn)題.

3構(gòu)造數(shù)列

3.1構(gòu)造等比數(shù)列

1.已知數(shù)列懇見(jiàn)｝滿足4=1,以產(chǎn)為+I,若集合M=懇〃|〃（〃+I）>也“+1）,〃仁川｝

中有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)z的取值范圍是.

第13頁(yè)共103頁(yè)

答案:同

解析：alt+=2at+1,%+1=2(4+1),懇q+1｝是以首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，

得an=T-Ia｝=1符合上式，故a”—,M-|n(〃+1)>t[a,+1),〃=N*｝即

n(n+1)>t.T,—：------i>/.令g(〃)二一------L,n=N,

2"”

g(l)=「廣開(kāi)始逐漸遞減，集合

224Io

M=^^"|〃(〃+l)>f(q,+1),〃=N｝中有3個(gè)元素，則，二(|,4

2.已知數(shù)列，懇《；｝中，a]=-\,=%+3〃?I(〃=N"),則其前〃項(xiàng)和s“=.

答案：2,,+2--n2--?-4

22

IWr：設(shè)凡+i+x(〃+l)+y=2(q+m+y),l|lij6r?+1=2aa+xn+y-x

Lv=3(x=3

所以(，解得<

\y-x=-\|y=2

即即+3(〃+1)+2=2(q+3〃+2)

:懇&+3〃+2｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

:4+3〃+2=4.2"T,即an=2田-3/L2

：S?=(22+2'+...+2'i)-(5+8+...+3n+2)

4(1?2")〃(5+3〃+2)

1-22

=2**2--n2--?-4

22

3.設(shè)數(shù)列懇y｝的各項(xiàng)都為正數(shù)且X,=1,△ABC內(nèi)的點(diǎn)P.(〃=M)均滿足△尸力8與N>AC

的面積比為2:1,若網(wǎng)-%.PBn+(2\;,+1)'PC=6M/的值為()

A.15B.17C.29D.31

答案：A.

第14頁(yè)共103頁(yè)

解析一：由螂定理％回一用+—―PB，d「PQ=o.知產(chǎn)3：

T"+]

2

得：％產(chǎn)2r〃+1,即^+1=2（q+1），解得：x?=2n-I,

所以冗二24?1=15.

解析二：設(shè)。為8C邊上的靠近點(diǎn)C三等分點(diǎn)，如圖所示,

由題意知點(diǎn)P”在線段AD匕

由0二一PAj$-PB.+（%+I）一涇=~風(fēng)+（一久+利僅+1）（—久+祠

—+1?））廠一弭+d+1廠一%+工割+'+1）充，

I7

故;％/0+（況+1）充與i—pA.共線，

所以生，［二2，

I1

f,

即天+i+1=2（入“+1）,解得：xn=2-1,

4

所以x4=2-1=15.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察向量的加減運(yùn)算、向量基本定理，奔馳定理及運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列

通項(xiàng)公式.

4.如圖，已知點(diǎn)。為△48C的邊8C上一點(diǎn)，BC=3DC,紇（〃=M）為邊AC上的一列

點(diǎn)，滿足一"與二二：的一￡＞（為“+2）一耳7）,其中實(shí)數(shù)列懇禺｝中，〃”＞（）〃L1，則《二（）.

第15頁(yè)共103頁(yè)

答案：D.

解析：

因?yàn)榫?3灰?，則猊麗，

3

蒯Ef-E#+"=Etti+-HD=如不￡,D-E,ij=--f；B+-￡,D,

設(shè)"瓦d二瓦黑

___1____4__—

所以8A=i-〃專(zhuān)B+~n\EP,

33t

又因?yàn)橐恍?%”一必一瓦+2廠立,

(±1

—一m

蒯J3.

?T北?+2)=iM

即4+產(chǎn)30n+2,

所以a,*+1=3(4+1),

又q+1=2,

所以數(shù)列懇q+1)表示以首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，

所以《,+l=2.3i,

則q=2.3i—1,

所以a5=161,

故選D.

5.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+W),當(dāng)時(shí)，/(.r)>0,對(duì)于任意的

x,y=(0,+w),/(.r)+/(y)=/(")成立，若數(shù)列懇q｝滿足?,=/(1)，

/U+i)=/(2凡+1)(〃=M),則生。17的值為()

A.220M-1B.220'5-1C,2刎6—1D.22017-1

答案：C.

解析一：由/Q)+f(v)=/(冷)得/(1)=。，

第16頁(yè)共103頁(yè)

設(shè)M，七二(0,+w)，x想七，所以2>1,

X.

M玉./j=/(1$+4),所以/U)-/(X,)=/(1"[>o,

\七)'為)\xj

所以)'=/(')是(0,+w)的增函數(shù)，且/(q,+J=/(2%+1)(〃=N"),

所以q“二為”+1,即1+1=2"+1),

解得：為二”?1,所以〃刈,二？2006-1.

解析二：(模型法)由已知可構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=logrtA(a>1),

因?yàn)?(例+)=/(24+1)(〃二N)

所以的=4+1，即%+1=23+1).

2006

解得：%=2”T-1,所以^)17=2-1.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列單調(diào)性.

6.(2019屆永康5月模擬10)已知數(shù)列懇\力滿足吃=xfl=：。,川+Z72)，〃=3,4....

若對(duì)任意的〃=N'都有k-3|ft-,則％=()

n

9

A.3B.-C.5D.6

答案：C

解析：

由=氐>+，不妨設(shè)x+入％]=(g+A)(x.)+展開(kāi)后與原式對(duì)照,解

2X?.2)nZJAV?.2)

得人二-1或入二:，下面不妨取人二]

22

進(jìn)而可得%：X"=(X-+5X")=

構(gòu)造天+山=?與心+山),與上式對(duì)照，得山二?乙

3、

第17頁(yè)共103頁(yè)

3^7

故五一^廣彳為。?”，整理得2/2、,13

553匕二針人式、不

222

則—卬（一+三內(nèi)

N*都有,_3?2，得一上4七一34』

若對(duì)任意的〃r

nnn

32233

也即一父2(—-)〃'+—2-34—，整理得

"535n

故x,=5

故答案選C.

7.（2019屆衢州二中第一次模擬16）在數(shù)列及也:中，?=1,仇=1,

設(shè)9=2"r1->'：,則數(shù)列匕:

《*i=a“+b“+Ja：，b：b“.i=a,也.菽.卜：

bj

的前〃項(xiàng)和為.

答案：2%2_4。

解析：因?yàn)楹?”，2.1=。0+“-?瓦，卬=1,d=1,

所以a”.[?4?|?2（4+4）,4+仇=2,

所以可.2=2"；

另一方面凡."乙.|=3〃+/乙）2_（〃：?峭=26/”，卬":1,

所以w,-i；

所以%=2"=2〃，^^=2",二=2”，

Wbjah2-

第18頁(yè)共103頁(yè)

則數(shù)列懇q｝的前〃項(xiàng)和邑==2什2-4.

8.（2019屆浙江名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考17）若。=2%=工67+3（〃=收*且〃>2,[=火），若

“4”4

人共21對(duì)任意n=N*恒成立，則實(shí)數(shù),的取值范圍是.

答案；|「2」I

解析：由題意得打=上4+3=2+&,由-2共工+三共2,得-11共/共上；

44242422

L

b,=-b2+-=+—+-,-2共匚+豆+心共2,得-4共（共，.下面證當(dāng)-4共/共,時(shí)，

448164816422

共2|對(duì)任意n=N*恒成立，由bn=gz+1,得+告++告））|,所以數(shù)列

an+3jj卜是首項(xiàng)為2+,彳=::，公比為:的等比數(shù)列，所以“+」j；））i

白雨T共四沙汁2,綜上

即"二登）1士,則有同二

所述，實(shí)數(shù)/的取值范圍是-4,，.

3.2構(gòu)造差數(shù)列

1.已知數(shù)列懇公的前?項(xiàng)和為S”,q=l,&=2,且q?S/、,人+。同（人豐0）,S..成

等差數(shù)列，則數(shù)列懇2%”｝的前〃項(xiàng)和，的表達(dá)式為.（用含有人的式子表示）

答案：4人（I刃

1-4認(rèn)

解析：.:%?S,“入+*（人豐0），S,-2成等差數(shù)列

:2人+2??+1=an-S?+1+5；+2，即24+2%=an+an^,從而（in,2-an,l=2入+（〃”+「〃”）

（當(dāng)數(shù)列中?！拜^多，或者出現(xiàn)而〃時(shí)，可嘗試構(gòu)造關(guān)于。〃的差數(shù)列）

令人”=%，則"+i=4+2人，所以懇仇,｝是首項(xiàng)為0,公差為2人的等差數(shù)列

:2人（〃-1）

:an+l-a,=2A（n-1）,an+2-all+i=2A+（a,l+l-an）=2人〃

則4+2-g=（q+2-2+J+（凡+i-兄）=2入⑵-1）

第19頁(yè)共103頁(yè)

:=22人（2"T）=4人（加式）

數(shù)列懇丁“門(mén)｝是首項(xiàng)為以，公比為4認(rèn)的等比數(shù)列.

八4】-（4）［/（I-4個(gè)

"1-42Z1-4M

加也

2已知數(shù)列懇4｝，懇“｝滿足a｝=4=1分產(chǎn)凡+Ian+bn，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.只有有限個(gè)正整數(shù)〃使得。“＜后2B.只有有限個(gè)正整數(shù)〃使得二

C.數(shù)列懇卜「23|）是遞增數(shù)列D.數(shù)列《去■-J；卜是遞減數(shù)列

答案：D.

解析一：由%=4"他得：應(yīng)=2，代入=《，+2仇中得:

“+2-2乩+「bn=0，

設(shè)八-A+I=-地），整理得*2=（a+Rbm-電，

（此種形式多用于出現(xiàn)三項(xiàng)遞推的時(shí)候，斐波那契數(shù)列公式的推導(dǎo)也是這樣）

(8+6=2\3二石-1=A/2-1

所以(,解得:或

\ab^-1\b=-6-1\\b=^2-1

取:得：磯+的”產(chǎn)（2日）回+（場(chǎng)九：,

解得：C,

q=；（i+Q）+：（|二及）,

所以q?6b“-（1二，

當(dāng)〃偶數(shù)時(shí)，4＞石“，當(dāng)奇數(shù)時(shí)，〃“＜力兒,

0，所以懇瓦｝

匕-4=%>是遞增數(shù)列,

也

第20頁(yè)共103頁(yè)

(|(1-3）1

又因?yàn)椴肥沁f減數(shù)列,

JI

所以數(shù)列k-4是遞減數(shù)列.

解析二：(利用選項(xiàng)直接構(gòu)造)

an^-Jlb^=an+2l)n-Jlun-J2btl=(1-4)“”+(2-4)"=(1-6)(“小瓦)

所以3卷iT1,得…「a=（1飛丫,

an-N2b”

當(dāng)〃偶數(shù)時(shí)，an>瓜”,當(dāng)奇數(shù)時(shí)，an<血”，

h?J?J=|（l?j2）口所以數(shù)列懇4?gj｝是遞減數(shù)列,

所以排除A、B、C.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考察數(shù)列求和、待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列單調(diào)性.

3.在數(shù)列，懇中，4=2,若平面向量加=（2,n+1）與c“=（-l+@什|?4，%）平行，則懇凡｝的

通項(xiàng)公式為.

比.2tf+3n+1

答案：a=

"3

解析：由題意可知2?“=(/:+1)(-1+a”.1-a“)(此時(shí)化簡(jiǎn)為(〃+3)a”=(n+I)an.\-(n+1)并不

能繼續(xù)求通項(xiàng)，所以采取逐差）

當(dāng)n>2,21=〃(-l+ar-%)

兩式相減得(力?+3)凡+1-(〃+2)an.t=(n+1)%

（2/z+5）d?H+l-（n+3）a“=（n+2屋

兩式相減化簡(jiǎn)得（a“+2-a”+J+（凡-4z）=2（凡+「凡）

而計(jì)算得出?=2.?,=5,%=g

故數(shù)列懇4凡｝是以3為首項(xiàng)，:為公差的等差數(shù)列

0,-=：（4”-5）

第21頁(yè)共103頁(yè)

27+3/I

用累加法求得a=

3

4.已知數(shù)列懇凡｝的前n項(xiàng)和S“滿足\+I=3S“_3SQ+S心+2(〃>3),且

q=3,%=8,a3=15,,則atl=.

答案：n2+2n

解析：由Sn+1=3S?_3SnJ+S^+2(M>3)，可得an^_an=an_a^+2(n>3)

令a=4,_氏」(〃>3),仄=2，a?_anJ=2〃+1經(jīng)檢