函數(shù)的概念與性質(zhì)3．1.1函數(shù)的概念第1課時(shí)函數(shù)的概念——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點(diǎn)理清式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念．體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．2．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能夠正確使用“區(qū)間”的符號來表示某些集合．逐點(diǎn)清(一)函數(shù)的概念[多維理解]函數(shù)的定義及相關(guān)概念前提條件給定兩個(gè)集合A，B為非空數(shù)集對應(yīng)關(guān)系如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)結(jié)論稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍A值域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}|微|點(diǎn)|助|解|對函數(shù)概念的理解(1)定義域是非空的實(shí)數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實(shí)數(shù)集B，而是集合B的子集；(2)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng)；(3)從對應(yīng)的角度看，函數(shù)只有兩種：一對一，多對一．一對多不是函數(shù)；(4)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應(yīng)關(guān)系；(5)除f(x)外，有時(shí)還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號表示函數(shù)．[微點(diǎn)練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)定義域與對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．()(2)函數(shù)的定義域是無限集，則值域也是無限集．()(3)若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素．()(4)對于f(x)＝5，x∈R，f(x)不隨著x的變化而變化，所以f(0)＝5也成立．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．(多選)下列集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對值解析：選AD按照函數(shù)定義，選項(xiàng)B中，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個(gè)自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項(xiàng)C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)著唯一的函數(shù)值的要求；選項(xiàng)A和D符合函數(shù)的定義．3．(多選)如圖不能作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的是()解析：選ABC觀察圖象可知，A、B、C中任取一個(gè)x的值，y有可能有多個(gè)值與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)圖象．D中圖象是函數(shù)圖象．4．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()xx<22≤x≤3x>3y－101A．{y|－1≤y≤1} B．RC．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}解析：選D函數(shù)值只有－1,0,1，故值域?yàn)閧－1,0,1}．5．(多選)下列函數(shù)的定義域是R的是()A．y＝x＋1 B．y＝x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝2x解析：選ABDA中為一次函數(shù)，B中為二次函數(shù)，D中為正比例函數(shù)，定義域都為R；C中為反比例函數(shù)，定義域是{x|x≠0}，不是R.逐點(diǎn)清(二)同一個(gè)函數(shù)[多維理解]同一個(gè)函數(shù)的概念前提條件(1)定義域相同；(2)對應(yīng)關(guān)系完全一致結(jié)論這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)|微|點(diǎn)|助|解|判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)(1)定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都分別對應(yīng)相同，也不一定是同一函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．(3)在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．[微點(diǎn)練明]1．(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)C．f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)D．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1解析：選BD對于A，定義域不同；對于C，定義域、對應(yīng)關(guān)系都不同；對于B、D，定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同．2．判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)：(1)f(x)＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，g(x)＝x－5；(2)y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)，y＝eq\r(1－x2).解：(1)兩函數(shù)定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．(2)y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)的定義域?yàn)閧x|－1≤x≤1}，y＝eq\r(1－x2)的定義域?yàn)閧x|－1≤x≤1}，即兩者定義域相同．又因?yàn)閥＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)＝eq\r(1－x2)，所以兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同．故y＝eq\r(1＋x)·eq\r(1－x)與y＝eq\r(1－x2)是同一個(gè)函數(shù)．逐點(diǎn)清(三)區(qū)間的概念[多維理解]1．設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2.特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)|微|點(diǎn)|助|解|對區(qū)間概念的理解(1)區(qū)間的左端點(diǎn)必小于右端點(diǎn)；(2)區(qū)間符號里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；(3)用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，不屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用空心點(diǎn)表示；(4)無窮大(∞)是一個(gè)符號，不是一個(gè)數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則；(5)包含端點(diǎn)用閉區(qū)間，不包含端點(diǎn)用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這一端必須是小括號．[微點(diǎn)練明]1．集合{x|x＜0或x≥1}用區(qū)間表示為()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪[1，＋∞)C．(－∞，0)∩[1，＋∞) D．(0,1]答案：B2．下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個(gè)數(shù)為()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x<10，x∈N}；③?；④{x|x是等邊三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2 B．3C．4 D．5解析：選D區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集．①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示；④是等邊三角形組成的集合，是圖形的集合，不是數(shù)集；⑥Q是有理數(shù)集，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為(－∞，0]∪[3，＋∞)．故選D.3．已知[a,2－a2]為一確定區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,1) B．(－1,2)C．[－2,1] D．[－1,2]解析：選A因?yàn)閇a,2－a2]為一確定區(qū)間，所以a<2－a2?a2＋a－2<0?－2<a<1.4．已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(2,1－\r(1－x))是同一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)f(x)的定義域用區(qū)間表示為__________．解析：因?yàn)閒(x)與g(x)為同一個(gè)函數(shù)，則f(x)與g(x)的定義域相同，所以f(x)的定義域需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(1－x)≠0，,1－x≥0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x≤1，))即x≤1且x≠0.答案：(－∞，0)∪(0,1]逐點(diǎn)清(四)構(gòu)建函數(shù)模型[典例]已知矩形的面積為10，如圖所示，試借助該圖形構(gòu)建問題情境描述下列變量關(guān)系．(1)f(x)＝eq\f(10,x)；(2)f(x)＝2x＋eq\f(20,x)；(3)f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).解：(1)設(shè)矩形的長為x，寬為f(x)，那么f(x)＝eq\f(10,x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)>0}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的寬eq\f(10,x).(2)設(shè)矩形的長為x，周長為f(x)，那么f(x)＝2x＋eq\f(20,x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)≥4eq\r(10)}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的周長2x＋eq\f(20,x).(3)設(shè)矩形的長為x，對角線長為f(x)，那么f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)≥2eq\r(5)}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個(gè)矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的對角線長eq\f(\r(x4＋100),x).|思|維|建|模|構(gòu)建問題情境的步驟(1)綜合考慮構(gòu)建具體的實(shí)際問題．(2)賦予每個(gè)變量具體的實(shí)際意義．(3)根據(jù)變量關(guān)系，設(shè)計(jì)出所求的實(shí)際問題．[針對訓(xùn)練]構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)＝2eq\r(x)來描述．解：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的利潤是投資額的算術(shù)平方根的2倍．設(shè)投資額為x，利潤為y，那么y＝2eq\r(x).其中x的取值范圍A＝{x|x≥0}，y的取值范圍B＝{y|y≥0}，對應(yīng)關(guān)系f把每一筆投資額x對應(yīng)到唯一確定的利潤2eq\r(x).[課時(shí)跟蹤檢測](滿分80分，選填小題每題5分)1．下列說法正確的是()A．函數(shù)的定義域可以是空集B．函數(shù)的定義域和值域確定后，對應(yīng)關(guān)系也就確定了C．函數(shù)的定義域、值域都是非空的數(shù)集D．函數(shù)值域中的每一個(gè)值在定義域中都有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)解析：選C由函數(shù)定義知，定義域和值域都是非空的數(shù)集，故A錯誤，C正確；函數(shù)的定義域和值域確定后，可以有不同的對應(yīng)關(guān)系，如y＝|x|，y＝x2，故B錯誤；函數(shù)值域中的每一個(gè)值在定義域中有一個(gè)或多個(gè)確定的數(shù)與之對應(yīng)，故D錯誤．2．(多選)下列圖形是函數(shù)圖象的是()解析：選BCDA中至少存在一處如x＝0，一個(gè)橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個(gè)縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于集合A中至少有一個(gè)元素在集合B中對應(yīng)的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，B、C、D均符合函數(shù)定義．3．區(qū)間(－3,2]用集合可表示為()A．{－2，－1,0,1,2} B．{x|－3<x<2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2}答案：C4．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是()解析：選BA中值域?yàn)閧y|0≤y≤2}，故錯誤；C、D中值域?yàn)閧1,2}，故錯誤，故選B.5．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2023的交點(diǎn)()A．至少有1個(gè) B．至多有1個(gè)C．僅有1個(gè) D．可能有無數(shù)多個(gè)解析：選B當(dāng)x在定義域內(nèi)時(shí)，因?yàn)樵诙x域內(nèi)任意取一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)函數(shù)值f(x)與之對應(yīng)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2023有唯一交點(diǎn)；當(dāng)x不在定義域內(nèi)時(shí)，函數(shù)值f(x)不存在，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2023沒有交點(diǎn)．故函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2023至多有一個(gè)交點(diǎn)．6．(多選)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應(yīng)關(guān)系中，可看作是從A到B的函數(shù)關(guān)系的是()A．f：x→y＝eq\f(1,8)x B．f：x→y＝eq\f(1,4)xC．f：x→y＝eq\f(1,2)x D．f：x→y＝x解析：選ABC根據(jù)函數(shù)的定義，對于D，在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，故不正確．7．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq\r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩(?UB)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)解析：選C解不等式eq\r(x＋3)>2，得x>1，即A＝(1，＋∞)，y＝x2＋2≥2，即B＝[2，＋∞)，于是得?UB＝(－∞，2)．所以A∩(?UB)＝(1,2)．8．下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2解析：選B對于A，前者定義域?yàn)镽，后者定義域?yàn)閧x|x≠1}，不是同一函數(shù)；對于B，雖然變量不同，但定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；對于C，雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，雖然定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．9．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1，則k的值為()A．5 B．4C．3 D．2解析：選C根據(jù)對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1，知3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，可得3×k＋1＝10.所以k＝3.10．(多選)記無理數(shù)π＝3.1415926…小數(shù)點(diǎn)后第a位上的數(shù)字是b，則b是a的函數(shù)，記作b＝f(a)，定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則下列說法正確的是()A．值域B是定義域A的子集B．函數(shù)圖象f(a)是一群孤立的點(diǎn)C．f(6)＝2D．a(chǎn)也是b的函數(shù)，記作a＝f(b)解析：選BC對于A，根據(jù)題意可知定義域?yàn)锳＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因?yàn)?∈B,0?A，所以值域B不是定義域A的子集，所以A錯誤．對于B、C，由題意可知數(shù)位a對應(yīng)的數(shù)字依次為1,4,1,5,9,2,6，…，函數(shù)圖象f(a)是一群孤立的點(diǎn)，f(6)＝2，所以B、C正確．對于D，因?yàn)閎＝1時(shí)，a＝1和3，不符合函數(shù)的定義，所以D錯誤．11．已知集合A＝{x|5－x≥0}，集合B＝{x||x|－3≠0}，用區(qū)間表示集合A∩B＝__________.解析：∵A＝{x|5－x≥0}，∴A＝{x|x≤5}．∵B＝{x||x|－3≠0}，∴B＝{x|x≠±3}．∴A∩B＝{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}，即A∩B＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．答案：(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]12．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2a－1，a＋1]，值域?yàn)閇a＋3,4a]，則a的取值范圍為________．解析：由區(qū)間的定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<a＋1，,a＋3<4a))?1<a<2.答案：(1,2)13．試寫出一個(gè)與函數(shù)y＝x2定義域和值域都相同的函數(shù)，其函數(shù)可以為________．解析：函數(shù)y＝x2與y＝(x＋1)2的定義域和值域都相同．答案：y＝(x＋1)2(答案不唯一)14．(17分)已知A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，以A為定義域，以B為值域可以建立多少個(gè)不同的函數(shù)．解：∵A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，且集合A為定義域，集合B為值域，∴根據(jù)函數(shù)的定義可得集合B中的4或5在集合A中就一定有兩個(gè)元素與之對應(yīng)．若4在集合A中有兩個(gè)元素與之對應(yīng)，那就會有{1,2}，{2,3}，{1,3}這三種情況．同理，若5在集合A中有兩個(gè)元素與之對應(yīng)，也就會有{1,2}，{2,3}，{1,3}這三種情況．∴函數(shù)可以建立的個(gè)數(shù)為3＋3＝6.15．(18分)對于三角形，你可能想到哪些量？如果一個(gè)三角形的周長不變，那么它的內(nèi)切圓半徑與面積之間是不是函數(shù)關(guān)系？如果是函數(shù)關(guān)系，請寫出函數(shù)關(guān)系式．你還能舉出其他的函數(shù)例子嗎？解：能想到三角形的邊長和三個(gè)角的度數(shù)．內(nèi)切圓半徑與面積之間是函數(shù)關(guān)系，設(shè)三角形三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，三角形面積為S，則S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.設(shè)三角形周長為l，則l＝a＋b＋c，故S＝eq\f(1,2)lr.另外對于一個(gè)三角形，若它的面積為定值，則該三角形內(nèi)切圓半徑與三角形周長之間為反比例關(guān)系，關(guān)系式如下：l＝eq\f(2S,r)或r＝eq\f(2S,l).第2課時(shí)函數(shù)概念的應(yīng)用——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]進(jìn)一步了解函數(shù)的概念，能求簡單函數(shù)的值及定義域；能求一些簡單的抽象函數(shù)值及定義域．題型(一)求函數(shù)的值[例1]已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)(x≠－1)，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)和g(2)；(2)求g(f(2))，f(g(x))；(3)若eq\f(1,fgx)＝4，求x.解：(1)f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(2)＝22＋2＝6.(2)g(f(2))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋2＝eq\f(19,9)，f(g(x))＝eq\f(1,1＋gx)＝eq\f(1,1＋x2＋2)＝eq\f(1,x2＋3).(3)eq\f(1,fgx)＝x2＋3＝4，即x2＝1，解得x＝±1.|思|維|建|模|求函數(shù)值的方法先要確定出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的具體含義；然后將變量取值代入解析式計(jì)算，對于f(g(x))型函數(shù)的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意f(g(x))與g(f(x))的區(qū)別．[針對訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則f(2)＝________；當(dāng)a≠－1時(shí)，f(a＋1)＝________.解析：由題意，得f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).當(dāng)a≠－1時(shí)，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).答案：eq\f(5,2)a＋1＋eq\f(1,a＋1)2．已知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，求：(1)f(0)及feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值；(2)f(1－x)及f(f(x))．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，所以f(0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)，又1－x≠－1，故可得x≠2，所以f(1－x)＝eq\f(1－1－x,1＋1－x)＝eq\f(x,2－x)(x≠2)，f(f(x))＝eq\f(1－\f(1－x,1＋x),1＋\f(1－x,1＋x))＝x(x≠－1)．題型(二)已知解析式求函數(shù)的定義域[例2]函數(shù)y＝eq\f(\r(3x－x2),2x2－3x－2)的定義域?yàn)?)A．(－∞，3] B．[0,3]C．(0,2)∪(2,3) D．[0,2)∪(2,3]解析：選D由題設(shè)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－x2≥0，,2x2－3x－2≠0，))解得0≤x≤3，且x≠－eq\f(1,2)，x≠2，故x∈[0,2)∪(2,3]．[例3]函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)－eq\f(1,x)的定義域是________．解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x≠0，))解得x≥－1且x≠0.故x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．答案：[－1,0)∪(0，＋∞)|思|維|建|模|已知解析式求函數(shù)的定義域的步驟[針對訓(xùn)練]3．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))；(3)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(4)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).解：(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1,2)x的定義域?yàn)镽.(2)由于0的零次冪無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以函數(shù)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))的定義域?yàn)閧x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，所以函數(shù)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)的定義域?yàn)閧x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))解得－1≤x<1.所以函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)閧x|－1≤x<1}．題型(三)抽象函數(shù)的定義域[例4]已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1,3]，則f(2x＋1)的定義域?yàn)開_______．解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1.所以f(2x＋1)的定義域?yàn)閇－1,1]．答案：[－1,1][例5]若函數(shù)y＝f(3x＋1)的定義域?yàn)閇－2,4]，則y＝f(x)的定義域是________．解析：由題意知，－2≤x≤4.所以－5≤3x＋1≤13.所以y＝f(x)的定義域是[－5,13]．答案：[－5,13]|思|維|建|模|抽象函數(shù)的定義域的類型及解題策略(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，求f(g(x))的定義域時(shí)，不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域．(2)已知f(g(x))的定義域?yàn)閇c，d]，求f(x)的定義域時(shí)，求出g(x)在[c，d]上的范圍(值域)即定義域．[針對訓(xùn)練]4．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,3]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f3x,x－1)的定義域是()A．[0,1) B．(0,1)C．[0,1] D．[0,1)∪(1,9]解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域是[0,3]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤3x≤3，,x≠1，))解得0≤x<1.所以函數(shù)g(x)＝eq\f(f3x,x－1)的定義域是[0,1)．5．已知f(x2－1)的定義域?yàn)閇1,3]，則f(2x－1)的定義域?yàn)?)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：選B由f(x2－1)的定義域?yàn)閇1,3]，得x∈[1,3]．所以x2∈[1,9]，即x2－1∈[0,8]．所以f(x)的定義域?yàn)閇0,8]．令2x－1∈[0,8]，得2x∈[1,9]，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))).所以f(2x－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2))).[課時(shí)跟蹤檢測](滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)A級——達(dá)標(biāo)評價(jià)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．eq\f(1,a) B．eq\f(3,a)C．a(chǎn) D．3a解析：選Dfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,\f(1,a))＝3a.故選D.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋1，f(1)＝1，則f(－1)＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選C因?yàn)閒(1)＝a＋b＋1＝1，所以a＋b＝0.所以f(－1)＝－(a＋b)＋1＝1.3．已知函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3}，那么其值域?yàn)?)A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：選A由題意，知當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1－2＝－1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4－2×2＝0；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9－2×3＝3，所以函數(shù)y＝x2－2x的值域?yàn)閧－1,0,3}．4．(多選)下列函數(shù)中，定義域?yàn)閧x|x>1}的是()A．y＝eq\f(\r(2x－2),x－1) B．y＝eq\r(x－1)C．y＝eq\r(x－1)＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0解析：選ACA選項(xiàng)，依題可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A正確；B選項(xiàng)，依題可知x－1≥0，所以x≥1，故B錯誤；C選項(xiàng)，依題可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C正確；D選項(xiàng)，依題可知2x－2≠0，所以x≠1，故D錯誤．5．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(1－3x),x)的定義域?yàn)?)A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3)且x≠0))))解析：選D要使f(x)有意義，只需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，))即x≤eq\f(1,3)且x≠0.6．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－8,1]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x＋1,x＋2)的定義域是()A．(－∞，－2)∪(－2,3]B．[－8，－2)∪(－2,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))∪(－2,0]解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－8,1]，對于函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x＋1,x＋2)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤2x＋1≤1，,x＋2≠0，))解得－eq\f(9,2)≤x<－2或－2<x≤0.所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，－2))∪(－2,0]．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－2|，則f(1)＝________.解析：因?yàn)閒(x)＝x2＋|x－2|，所以f(1)＝12＋|1－2|＝2.答案：28．函數(shù)y＝eq\r(ax2＋ax＋1)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為________．解析：當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立，所以a＝0符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0))?0<a≤4.綜上，a的取值范圍為[0,4]．答案：[0,4]9．(8分)求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝(x＋2)0＋eq\r(1－x)；(2)g(x)＝eq\f(\r(x),x－3).解：(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－2.所以函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－2)∪(－2,1]．(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≠0，,x≥0，))解得x≥0且x≠3.所以函數(shù)g(x)的定義域是[0,3)∪(3，＋∞)．10．(10分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么關(guān)系嗎？證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))的值．解：(1)由f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,x2＋1)，得f(2)＝1－eq\f(1,22＋1)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5)，f(3)＝1－eq\f(1,32＋1)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1－eq\f(1,\f(1,9)＋1)＝eq\f(1,10).(2)由(1)中求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1.證明如下：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝1.(3)由(2)知f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1，…，f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＝1.∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2024)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＝2023.B級——重點(diǎn)培優(yōu)11．函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)的值域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：選C∵f(x)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1)，又x＋1≠0，即eq\f(2,x＋1)≠0，∴f(x)≠1.12．已知函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)?0,1)，則函數(shù)f(1－3x)的定義域是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．(－1,1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)f(2x－1)的定義域?yàn)?0,1)，即x∈(0,1)，所以－1<2x－1<1.所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．由－1<1－3x<1，得0<x<eq\f(2,3).所以函數(shù)f(1－3x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).故選D.13．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.解析：令g(x)＝eq\f(1,2)，即1－2x＝eq\f(1,2)，則x＝eq\f(1,4)，代入f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,16),\f(1,16))＝15.答案：1514．(12分)已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均為常數(shù))，求f(36)的值．解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，令x＝y(tǒng)＝1則f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x＝2，y＝3，則f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，令x＝y(tǒng)＝6，則f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，∴f(36)＝2a＋2b.15．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的定義域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．解：存在．理由如下：f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1的對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)(1,1)且開口向上．∵m>1，∴當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，y隨x的增大而增大，∴要使f(x)的定義域和值域都是[1，m]，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fm＝m，))∴eq\f(1,2)m2－m＋eq\f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍去)，∴存在實(shí)數(shù)m＝3滿足條件．3.1.2函數(shù)的表示法第1課時(shí)函數(shù)的表示法——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點(diǎn)理清式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．掌握函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法以及各自的優(yōu)缺點(diǎn)．2．在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．逐點(diǎn)清(一)函數(shù)的三種表示法[多維理解]三種常用的函數(shù)表示方法|微|點(diǎn)|助|解|對三種表示法的說明解析法利用解析式表示函數(shù)的前提是變量間的對應(yīng)關(guān)系明確，且利用解析法表示函數(shù)時(shí)要注意注明其定義域列表法采用列表法的前提是函數(shù)值對應(yīng)清楚，選取的自變量要有代表性圖象法圖象既可以是光滑的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)[微點(diǎn)練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)所有函數(shù)都能用三種表示法表示．()(2)能用列表法表示的函數(shù)一定能用圖象法表示．()(3)若函數(shù)f(x)是反比例函數(shù)，則f(1)＝1.()(4)函數(shù)能用圖象法表示的前提是函數(shù)的變化規(guī)律清晰．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知函數(shù)y與x成反比，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)解析：選C設(shè)y＝eq\f(k,x)，由題意知1＝eq\f(k,2)，即k＝2.∴y＝eq\f(2,x).3．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)＝________.x1≤x<222<x≤4f(x)123解析：∵當(dāng)2<x≤4時(shí)，f(x)＝3，∴f(3)＝3.答案：34．中秋節(jié)到了，小明想買幾塊月餅，已知每塊月餅的單價(jià)是6元，買x(x∈{1,2,3,4,5,6})塊月餅需要y元，你能用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)嗎？解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可將函數(shù)表示為f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．用列表法可將函數(shù)表示為月餅數(shù)x123456錢數(shù)y61218243036用圖象法可將函數(shù)表示為逐點(diǎn)清(二)函數(shù)的圖象[多維理解]作函數(shù)y＝f(x)圖象的方法(1)若y＝f(x)是已學(xué)過的函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學(xué)過的函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線三個(gè)基本步驟作出y＝f(x)的圖象．[微點(diǎn)練明]1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的定義域是__________，值域是________．解析：結(jié)合題圖，知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－3,3]，值域?yàn)閇－2，2]．答案：[－3,3][－2,2]2．畫出下列函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域、值域：(1)y＝3x；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.(4)y＝－eq\f(4,x)，x∈[－3,0)∪(0,1]．解：(1)一次函數(shù)y＝3x的圖象如圖1所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.(2)一次函數(shù)y＝－4x＋5的圖象如圖2所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.(3)二次函數(shù)y＝x2－6x＋7的圖象如圖3所示，定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇－2，＋∞)．(4)作出函數(shù)y＝－eq\f(4,x)，x∈[－3,0)∪(0,1]的圖象，如圖4所示，由圖象可知值域?yàn)?－∞，－4]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).逐點(diǎn)清(三)函數(shù)的解析式[典例]求下列函數(shù)的解析式：(1)(換元法或配湊法)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，求f(x)；(2)(待定系數(shù)法)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)；(3)(方程組法)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．解：(1)法一：換元法令t＝eq\r(x)＋1，則t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二：配湊法由已知得f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3.因?yàn)閑q\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.因?yàn)閒(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))解得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.|思|維|建|模|求函數(shù)解析式的4種常用方法換元法已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍配湊法由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表達(dá)式待定系數(shù)法若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法方程組法已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)[針對訓(xùn)練]根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式．(1)已知f(x)滿足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；(3)已知f(x)滿足2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)．解：(1)令t＝x＋1，則x＝t－1.故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2.所以f(x)＝x2＋2x－2.(2)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，因?yàn)?f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9.即2kx＋3k＋2b＝2x＋9.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝2，,3k＋2b＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝3.))所以f(x)＝x＋3.(3)因?yàn)?feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)①，所以2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)②.2×②－①，得3f(x)＝eq\f(2,x)－x，所以f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．[課時(shí)跟蹤檢測](滿分90分，選填小題每題5分)1.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)解析：選C由題圖知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2.已知函數(shù)y＝f(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC，則f(g(2))的值為()x123f(x)230A．3 B．0C．1 D．2解析：選D由題圖可知g(2)＝1，由題表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.3．已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f(x－1)＝4x＋3，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3解析：選B設(shè)一次函數(shù)的解析式為f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＝4x＋3，可得f(x－1)＝a(x－1)＋b＝ax－a＋b＝4x＋3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,－a＋b＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝7.))所以函數(shù)的解析式為f(x)＝4x＋7.4．已知f(eq\r(x)－1)＝－x，則函數(shù)f(x)的表達(dá)式為()A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0)B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1)C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0)D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)解析：選D令t＝eq\r(x)－1(t≥－1)，則x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故選D.5．某學(xué)生離家去學(xué)校，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則較符合該學(xué)生走法的是()解析：選D由題意可知，一開始速度較快，后來速度變慢，所以開始曲線比較陡峭，后來曲線比較平緩，又縱軸表示離校的距離，所以開始時(shí)距離最大，最后距離為0.6．(多選)若函數(shù)f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15B．f(2)＝－eq\f(3,4)C．f(x)＝eq\f(4,x－12)－1(x≠0)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4x2,x－12)－1(x≠0且x≠1)解析：選AD令1－2x＝t(t≠1)，則x＝eq\f(1－t,2).所以f(t)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,2)))2)＝eq\f(4,t－12)－1.則f(x)＝eq\f(4,x－12)－1(x≠1)，故C錯誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝15，故A正確；f(2)＝3，故B錯誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2)－1＝eq\f(4x2,x－12)－1(x≠0且x≠1)，故D正確．7．函數(shù)y＝eq\f(x,1＋x)的大致圖象是()解析：選A法一y＝eq\f(x,1＋x)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，排除C、D；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排除B.法二y＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，由函數(shù)的平移性質(zhì)可知A正確．8.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示．則(1)f(－2)＝________；(2)若f(x)＝0，則x＝________.解析：(1)由題圖，知f(x)過點(diǎn)(－2，3)，故可得f(－2)＝3.(2)由題圖可知，f(x)過點(diǎn)(－3,0)，故可得x＝－3.答案：(1)3(2)－39.某航空公司規(guī)定，乘客所攜帶行李的重量x(kg)與其運(yùn)費(fèi)y(元)由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的最大重量為________kg.解析：設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝ax＋b(a≠0)，代入點(diǎn)(30,330)與點(diǎn)(40,630)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(330＝30a＋b，,630＝40a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝30，,b＝－570.))即y＝30x－570，若要免費(fèi)，則y≤0，所以x≤19.答案：1910．下表表示函數(shù)y＝f(x)，則f(x)>x的整數(shù)解的集合是____________.x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20y＝f(x)46810解析：當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為{1,2,3}；當(dāng)5≤x<10時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為{5}．當(dāng)10≤x<15時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為?.當(dāng)15≤x<20時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為?.綜上所述，f(x)>x的整數(shù)解的集合是{1,2,3,5}．答案：{1,2,3,5}11．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域?yàn)閇－4，0]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)＝x2－4x的部分圖象及在[0，m]上的圖象如圖所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，當(dāng)x>4時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<4時(shí)，－4≤f(x)<0，所以為使函數(shù)f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域?yàn)閇－4,0]，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,4]．答案：[2,4]12．(10分)已知函數(shù)p＝f(m)的圖象如圖所示．求：(1)函數(shù)p＝f(m)的定義域；(2)函數(shù)p＝f(m)的值域；(3)p取何值時(shí)，有唯一的m值與之對應(yīng)．解：(1)觀察函數(shù)p＝f(m)的圖象，可以看出圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－3,0]或[1,4]，由題圖知定義域?yàn)閇－3,0]∪[1,4]．(2)由題圖知值域?yàn)閇－2,2]．(3)由題圖知，當(dāng)p∈(0,2]時(shí)，只有唯一的m值與之對應(yīng)．13．(12分)(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．解：(1)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21.所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5.(2)由題意設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.因?yàn)閒(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理得－2ax＋a－b＝4x，即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1.14．(13分)畫出下列函數(shù)的大致圖象：(1)y＝eq\f(2x－3,x＋1)；(2)y＝|x2－1|.解：(1)因?yàn)閥＝eq\f(2x－3,x＋1)＝2－eq\f(5,x＋1)，所以可先作出函數(shù)y＝－eq\f(5,x)的大致圖象，把所得圖象向左平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝－eq\f(5,x＋1)的圖象，再把所得圖象向上平移2個(gè)單位長度，就得到了函數(shù)y＝eq\f(2x－3,x＋1)的圖象，如圖①所示．(2)先作出函數(shù)y＝x2－1的大致圖象，保留它在x軸上及其上方的部分，再把它在x軸下方的部分翻折到x軸上方，所得到的圖象就是函數(shù)y＝|x2－1|的圖象，如圖②所示．第2課時(shí)分段函數(shù)——(教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫分段函數(shù)的圖象．2．能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問題．分段函數(shù)的概念和特點(diǎn)在函數(shù)的定義域內(nèi)，在自變量x的不同取值范圍內(nèi)，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，將每段圖象組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象題型(一)分段函數(shù)求值問題[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,3x＋5，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))；(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋5＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)閍2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化為2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－eq\f(1,2)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[變式拓展]1．本例條件不變，若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．解：當(dāng)a≤－2時(shí)，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合題意，舍去；當(dāng)－2<a<2時(shí)，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－eq\f(2,3)∈(－2,2)，符合題意；當(dāng)a≥2時(shí)，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合題意．綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為－eq\f(2,3)或2.2．本例條件不變，若f(x)>2x，求x的取值范圍．解：當(dāng)x≤－2時(shí)，f(x)>2x可化為x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；當(dāng)－2<x<2時(shí)，f(x)>2x可化為3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)>2x可化為2x－1>2x，則x∈?.綜上可得，x的取值范圍是(－∞，2)．|思|維|建|模|1．分段函數(shù)求值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)然后代入該段的解析式求值．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2．求自變量的值的方法已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解．3．求參數(shù)值的方法若分段函數(shù)的自變量含參數(shù)，要考慮自變量整體的取值屬于哪個(gè)范圍，從而根據(jù)對應(yīng)的解析式整體代入，轉(zhuǎn)化為方程或不等式問題．[針對訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：選A由題易知f(1)＝2×1＝2，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝2a，由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a＋1，由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，滿足題意．2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ffx＋5，x<10，,x－3，x≥10，))則f(7)＝______.解析：∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ffx＋5，x<10，,x－3，x≥10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.答案：8題型(二)分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2]已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域．解：(1)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1.當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x，－2<x<0，,1，0≤x≤2.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域?yàn)閇1,3)．[變式拓展]把本例條件改為“f(x)＝|x|－2”，如何求解．解：(1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－2，x<0，,x－2，x≥0.))(2)函數(shù)的圖象如圖所示．(3)由圖可知，f(x)的值域?yàn)閇－2，＋∞)．|思|維|建|模|分段函數(shù)圖象的畫法作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象．在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可．作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．[針對訓(xùn)練]3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x<－1，,x2，－1≤x≤1，,1，x>1.))(1)畫出f(x)的圖象；(2)若f(x)＝eq\f(1,4)，求x的值；(3)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍．解：(1)函數(shù)y＝x2的對稱軸為x＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，故f(x)的圖象如圖所示．(2)f(x)＝eq\f(1,4)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x2＝\f(1,4)))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,1＝\f(1,4)))②或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，,1＝\f(1,4)，))③解①得x＝±eq\f(1,2)，②③的解集都為?.所以當(dāng)f(x)＝eq\f(1,4)時(shí)，x＝±eq\f(1,2).(3)由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，結(jié)合此函數(shù)圖象可知，f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).題型(三)分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題[例3]某超市元旦期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過500元，不享受任何折扣；如果顧客購物的總金額超過500元，則超過的部分享受一定的折扣優(yōu)惠，并按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算：可享受的折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過400元的部分10%超過400元的部分20%若某顧客在此超市獲得的折扣金為60元，求此人購物實(shí)際所付金額.解：設(shè)此人購物總金額為x元，可獲得購物折扣金額為y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤500，,0.1x－500，500<x≤900，,0.2x－900＋40，x>900.))當(dāng)x＝900時(shí)，y＝0.1×(900－500)＝40.∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60.解得x＝1000.∴1000－60＝940.故此人購物實(shí)際所付金額為940元．|思|維|建|模|利用分段函數(shù)求解實(shí)際應(yīng)用題的策略(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式．[針對訓(xùn)練]4．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米解析：選A該單位職工每月應(yīng)繳水費(fèi)y與實(shí)際用水量x滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.[課時(shí)跟蹤檢測](滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)A級——達(dá)標(biāo)評價(jià)1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,|x|)的圖象是()解析：選C函數(shù)f(x)＝eq\f(x,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<0，,1，x>0，))故選C.2．已知著名的狄利克雷函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))則D(D(x))等于()A．0 B．1C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為無理數(shù)，,0，x為有理數(shù))) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)))解析：選B∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)為有理數(shù)．∴D(D(x))＝1.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]解析：選B當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)＝2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3.綜上可知f(x)的值域?yàn)閇0,2]∪{3}．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0，,\r(－x)，x<0，))若f(a)＝1，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1 B．±1C．0 D．1解析：選B當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝a3＝1，則a＝1，當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝eq\r(－a)＝1，解得a＝－1.綜上a＝±1.5.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則()A．f(f(－3))＝1B．f(－1)＝3.5C．函數(shù)的定義域是(－∞，0]∪[2,3]D．函數(shù)的值域是[1,5]解析：選AD由圖象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正確；圖象法只能近似地求出函數(shù)值，且有時(shí)誤差較大，故由圖象不能得出f(－1)的確定值，B錯誤；由圖象可得函數(shù)的定義域?yàn)閇－3,0]∪[2,3]，C錯誤；由題圖可得函數(shù)的值域?yàn)閇1,5]，D正確．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x<1，,－2x＋3，x≥1，))則f(3)＝________.解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3.答案：－37．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<0，,1，x≥0，))則不等式xf(x－1)≤1的解集為________．解析：原不等式轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1<0，,x×－1≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x×1≤1，))解得－1≤x≤1.答案：[－1,1]8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x<2，,x2＋ax，x≥2，))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝－6，則f(4)＝________.解析：由題意，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4.答案：－49．(8分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象．解：(1)因?yàn)?>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因?yàn)椋?<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因?yàn)?<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的圖象如圖所示．10．(8分)如圖，動點(diǎn)P從邊長為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)B開始，順次經(jīng)C，D，A繞周界運(yùn)動，用x表示點(diǎn)P的行程，y表示△APB的面積，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，即0≤x≤4時(shí)，y＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動，即4<x≤8時(shí)，y＝eq\f(1,2)×4×4＝8；當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動，即8<x≤12時(shí)，y＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.綜上可知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤4，,8，4<x≤8，,24－2x，8<x≤12.))B級——重點(diǎn)培優(yōu)11．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()A．f(x)的定義域?yàn)镽B．f(x)的值域?yàn)?－∞，4)C．若f(x)＝3，則x的值是eq\r(3)D．f(x)<1的解集為(－1,1)解析：選BC由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，2)，故A錯誤；當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)的取值范圍是(－∞，1]，當(dāng)－1<x<2時(shí)，f(x)的取值范圍是[0,4)，因此f(x)的值域?yàn)?－∞，4)，故B正確；當(dāng)x≤－1時(shí)，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，當(dāng)－1<x<2時(shí)，x2＝3，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，故C正確；當(dāng)x≤－1時(shí)，x＋2<1，解得x<－1，當(dāng)－1<x<2