橢圓上定點(diǎn)到橢圓距離最值問題探究

——基于二次函數(shù)與圓相切法目錄01引言：問題背景與研究核心02兩道例題的核心解法剖析直觀輔助：動(dòng)畫演示——距離變化與圓橢相切狀態(tài)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)03反思小結(jié)：關(guān)鍵結(jié)論提煉04課后思考：新高考命題考向預(yù)測引言：問題背景與研究核心

PART01在解析幾何的學(xué)習(xí)中，橢圓上定點(diǎn)到橢圓的距離最值問題是一類典型且具有深度的題型，它既關(guān)聯(lián)到橢圓的基本幾何性質(zhì)，又融合了二次函數(shù)最值分析、曲線相切判定等核心數(shù)學(xué)方法。本次分享聚焦橢圓，以x軸上定區(qū)間內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到橢圓左、右頂點(diǎn)的距離能否成為到橢圓上任意點(diǎn)的最小距離這一問題。我們將分別從二次函數(shù)法和圓相切法兩個(gè)角度展開嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，輔以直觀的動(dòng)畫演示，清晰呈現(xiàn)問題的求解邏輯與結(jié)論，幫助大家打通代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的關(guān)聯(lián)，深化對(duì)解析幾何綜合問題的解題認(rèn)知。兩道例題的核心解法剖析

PART02

解：一、二次函數(shù)法解：

一、二次函數(shù)法解：二、圓相切法圓與橢圓相切的充要條件是：方程(1)在x∈[-2,2]內(nèi)有唯一解。解：二、圓相切法

動(dòng)畫演示

解：

解：

解：

動(dòng)畫演示反思小結(jié)：關(guān)鍵結(jié)論提煉

PART03反思感悟這兩道題解釋了圓錐曲線任意一點(diǎn)的法線與x軸的交點(diǎn)范圍是—ec<x0<ec的結(jié)論.1本題隱含了一定點(diǎn)T(t,0),當(dāng)t∈(-c,c)時(shí),曲線上到點(diǎn)T最近的點(diǎn)一定不在左右頂點(diǎn).2本題也隱含了一定點(diǎn)T(t,0),當(dāng)t∈(-c,c)時(shí),曲線上存在兩點(diǎn)A、B,使三角形ATB是以T為頂點(diǎn)的等腰三角形,否則不存在.3小結(jié)本節(jié)課圍繞x軸定區(qū)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到橢圓的距離最值，通過“代數(shù)演算+幾何轉(zhuǎn)化”雙路徑展開探究。解法邏輯：兩種路徑的核心思路

二次函數(shù)法：以“距離平方代數(shù)化”為核心，將|PQ|2轉(zhuǎn)化為x∈[-2,2]上的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的開口方向（向上）與對(duì)稱軸位置，精準(zhǔn)分析區(qū)間內(nèi)的最值，實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”。圓相切法：以“幾何意義轉(zhuǎn)化”為核心，將“最小距離”等價(jià)為“圓橢相切的最小半徑”，通過聯(lián)立方程得二次方程，利用“區(qū)間內(nèi)唯一解”的相切條件，推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)參數(shù)范圍，實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”。小結(jié)本節(jié)課圍繞x軸定區(qū)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到橢圓的距離最值，通過“代數(shù)演算+幾何轉(zhuǎn)化”雙路徑展開探究。思想方法：數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐

本次探究貫穿“數(shù)形結(jié)合”的核心思想——既用二次函數(shù)的“數(shù)”精準(zhǔn)計(jì)算最值，又用圓橢相切的“形”直觀簡化問題，為解析幾何綜合題提供了“代數(shù)運(yùn)算+幾何直觀”的雙維解題模板，其思路可遷移到雙曲線、拋物線等同