課后檢測·能力達標解答題1．(10分)(2025·宜春一模)【課本再現(xiàn)】九年級上冊第51頁探究3：

圖中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？

分析：以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系．(1)請你完成剩余部分．(3分)(2)【實際應用】賽龍舟是中國端午節(jié)的習俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動．某市計劃進行一場劃龍舟比賽，如圖是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，已知水面的寬度OA為60m，拱橋最高點到水面OA的距離為9m，設橋拱上的點到水面的豎直高度為ym，到點O的水平距離為xm.①以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，求y與x的函數(shù)解析式；(3分)解：由題意可知，拱橋所在拋物線的頂點為(30，9)，可設拱橋所在拋物線的解析式為y＝k(x－30)2＋9，將(0，0)代入y＝k(x－30)2＋9，得900k＋9＝0，解得k＝－0.01，所以拱橋所在拋物線的解析式為y＝－0.01(x－30)2＋9.②據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離水面2m，為保障安全，通過拱橋時龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少為3m．要設計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為8m，求最多可設計龍舟賽道的數(shù)量．(4分)解：當y＝2＋3＝5時，－0.01(x－30)2＋9＝5，解得x＝10或x＝50，所以可設計龍舟賽道的寬度為50－10＝40(m)，因為40÷8＝5，所以最多可設計5條龍舟賽道．圖1備用圖①②③④解：因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，OA＝OB.因為∠AOB＝∠A1OC1＝90°，所以∠AOE＝∠BOF.又因為∠OAE＝∠OBF＝45°，所以△AOE≌△BOF(ASA)，故①正確．因為∠EBF＝90°，所以EF2＝BE2＋BF2.因為AB＝BC，AE＝BF，所以BE＝CF，所以EF2＝AE2＋CF2，故④正確．故答案為：①②③④【類比遷移】(2)如圖2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一個頂點，A1O與邊AB相交于點E，C1O與邊CB相交于點F，連接EF，矩形A1B1C1O可繞著點O旋轉(zhuǎn)，猜想AE，CF，EF之間的數(shù)量關系，并進行證明．(4分)圖2解：AE2＋CF2＝EF2.證明：如圖，連接AC.因為O為矩形中心，所以AC過點O，且AO＝CO.延長EO交DC于點E′.因為AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACE′.又因為∠AOE＝∠COE′，所以△AOE≌△COE′(ASA)，所以AE＝CE′，EO＝E′O.因為四邊形A1B1C1O是矩形，所以∠EOF＝90°＝∠FOE′，所以FO垂直平分EE′，所以EF＝E′F.因為在Rt△FCE′中，CE′2＋FC2＝E′F2，所以AE2＋CF2＝EF2.【拓展應用】(3)如圖3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的頂點D在邊AB的中點處，它的兩條邊DE和DF分別與直線AC，BC相交于點E，F(xiàn)，∠EDF可繞著點D旋轉(zhuǎn)，當AE＝2cm時，求線段EF的長度．(5分)圖3解：設CF＝