課時(shí)作業(yè)13合情推理|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是()A．2B．4C．6D．8解析：由楊輝三角形可以發(fā)現(xiàn)：每一行除1外，每個(gè)數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和．故a＝3＋3＝6.答案：C2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇＝()A.eq\f(r2,2)B.eqB.\f(l2,2)C.eq\f(lr,2)D．不可類比解析：扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形的高，則S扇＝eq\f(1,2)lr.答案：C3．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)×9＋7等于()A．B．C．D．解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝；…歸納可得，等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1，位數(shù)跟等式左邊的第二個(gè)加數(shù)相同，∴×9＋7＝.答案：B4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③解析：正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對(duì)．答案：C5．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)．則第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27B．28C．29D．30解析：把1,3,6,10,15,21，…依次記為a1，a2，…，則可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，∴a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是________．解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．答案：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大7．觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________．解析：歸納觀察法．觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的算術(shù)平方根與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．所以第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)8．根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)．解析：觀察圖形的變化規(guī)律可得：圖(2)從中心點(diǎn)向兩邊各增加1個(gè)點(diǎn)，圖(3)從中心點(diǎn)向三邊各增加2個(gè)點(diǎn)，圖(4)從中心點(diǎn)向四邊各增加3個(gè)點(diǎn)，如此，第n個(gè)圖從中心點(diǎn)向n邊各增加(n－1)個(gè)點(diǎn)，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1三、解答題(每小題10分，共20分)9．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線；…，由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？解析：因?yàn)橥顾倪呅斡?條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對(duì)角線，比凸五邊形多4條；…，于是猜想凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)多對(duì)角線，由此凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差數(shù)列求和公式可得eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．10．從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上，觀察如圖所示的幾何圖形，試歸納得出的結(jié)論．解析：從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上容易發(fā)現(xiàn)：1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.觀察上述算式的結(jié)構(gòu)特征，我們可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.|能力提升|(20分鐘，40分)11．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．按照?qǐng)D中的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：從①②③可以看出，從圖②開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.答案：C12．已知△ABC的邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A－BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐的體積VA－BCD＝________.解析：內(nèi)切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內(nèi)切球半徑R，三角形的周長：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面積公式系數(shù)eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐體積公式系數(shù)eq\f(1,3).∴類比得三棱錐體積VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．答案：eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an.解析：因?yàn)镾n＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,nn＋1).14．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由．解析：猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).猜想正確．如圖所示，連接BE，并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在R