2025-2026學年上學期九年級期中數(shù)學試卷一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）1．已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一個解，則m的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣12．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點是（﹣2，0）和（4，0），這條拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝1 B．直線x＝﹣1 C．直線x＝2 D．直線x＝﹣23．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五邊形4．方程4x2﹣3x+1＝0的根的情況是（）A．有兩個都是負的實數(shù)根 B．有兩個都是正的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根5．已知點P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）關(guān)于原點對稱，則（a﹣b）2025的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）20256．下面圖形中，中心對稱圖形的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，△ABC與△A′B′C關(guān)于點C（0，﹣1）成中心對稱，若點A的坐標為（3，1），則點A′的坐標為（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4）8．在平面直角坐標系中，若點P（a，4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（3，b），則坐標A（a，b）關(guān)于x軸對稱的坐標為（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（3，4）9．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人AlphaGo進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）A． B． C． D．10．如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，動點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動，移動到點B停止，延長PO交CD于點Q，則四邊形APCQ形狀的變化依次為（）A．平行四邊形—矩形—平行四邊形—矩形 B．平行四邊形—菱形—平行四邊形—矩形 C．平行四邊形—矩形—菱形—矩形 D．平行四邊形—菱形—平行四邊形11．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的兩個實數(shù)根分別是x1，x2，且x12+x22＝7，則（x1﹣x2）2的值為（）A．1 B．12 C．13 D．2512．將△OBA按如圖方式放置在平面直角坐標系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，頂點A的坐標為，將△OBA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A對應(yīng)點的坐標為（）A． B．（﹣2，0） C． D．二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）13．點P（﹣2，3）關(guān)于坐標原點對稱的點P′坐標為（a，b），則ab的值為．14．若二次函數(shù)y＝ax2﹣3x+a2﹣1的圖象開口向下且經(jīng)過原點，則函數(shù)的對稱軸為．15．點O是矩形ABCD的對稱中心，連接OA、OB，若∠OAD＝20°，則∠OBA的度數(shù)是°．16．已知α、β是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個根，則α2+2β＝．17．如圖，△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱，AB＝3，CD＝1，∠D＝90°，則BE的長是．18．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的對稱中心都是點O，其邊長分別是3和2，則圖中陰影部分的面積是．三、解答題（共計90分）19．（12分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x+3）2＝﹣2（x+3）．20．（13分）如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知點A（﹣1，0）．（1）圖中點B的坐標是；（2）點B關(guān)于原點對稱的點D的坐標是；點A關(guān)于y軸對稱的點C的坐標是；（3）四邊形ABCD的面積是；（4）在y軸上找一點F，使S△ADF＝S△ABC．那么點F的坐標為．21．（12分）如圖，△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△COD，點A的對應(yīng)點為點C，分別延長OB，OD至點E，F(xiàn)，且BE＝DF，連結(jié)AF，F(xiàn)C，CE，EA．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四邊形AFCE的周長．22．（13分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；（3）如果該文具的銷售單價高于進價且不超過30元，請你計算最大利潤．23．（13分）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)y＝x刻畫，若小球到達的最高的點坐標為（4，8），解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）在斜坡OA上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹？24．（13分）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．（1）求證：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度數(shù)．25．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝kx+b1經(jīng)過點A、C，連接CD．（1）分別求拋物線和直線AC的解析式；（2）在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點P，使得△ACP的面積是△ACD面積的2倍，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使線段AQ繞Q點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QA1，且點A1恰好落在該拋物線上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2025-2026學年上學期九年級期中數(shù)學參考答案一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案AACDCCCAABC題號12答案D二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）13．點P（﹣2，3）關(guān)于坐標原點對稱的點P′坐標為（a，b），則ab的值為．14．若二次函數(shù)y＝ax2﹣3x+a2﹣1的圖象開口向下且經(jīng)過原點，則函數(shù)的對稱軸為直線x＝．15．點O是矩形ABCD的對稱中心，連接OA、OB，若∠OAD＝20°，則∠OBA的度數(shù)是70°．16．已知α、β是方程x2﹣2x﹣2＝0的兩個根，則α2+2β＝6．17．如圖，△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱，AB＝3，CD＝1，∠D＝90°，則BE的長是2．18．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的對稱中心都是點O，其邊長分別是3和2，則圖中陰影部分的面積是1.25．三、解答題（共計90分）19．（12分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x+3）2＝﹣2（x+3）．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7，∴；（2）∵（x+3）2＝﹣2（x+3），∴（x+3）（x+5）＝0，∴x+3＝0或x+5＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣5．20．（13分）如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知點A（﹣1，0）．（1）圖中點B的坐標是（﹣3，4）；（2）點B關(guān)于原點對稱的點D的坐標是（3，﹣4）；點A關(guān)于y軸對稱的點C的坐標是（1，0）；（3）四邊形ABCD的面積是8；（4）在y軸上找一點F，使S△ADF＝S△ABC．那么點F的坐標為（0，﹣3）或（0，1）．【解答】解：（1）過點B作x軸的垂線，垂足所對應(yīng)的數(shù)為﹣3，因此點B的橫坐標為﹣3，過點B作y軸的垂線，垂足所對應(yīng)的數(shù)為4，因此點B的縱坐標為4，所以點B（﹣3，4）；故答案為：（﹣3，4）；（2）由于關(guān)于原點對稱的兩個點坐標縱橫坐標均為互為相反數(shù)，所以點B（﹣3，4）關(guān)于原點對稱點D（3，﹣4），由于關(guān)于y軸對稱的兩個點，其橫坐標互為相反數(shù)，其縱坐標不變，所以點A（﹣1，0）關(guān)于y軸對稱點C（1，0），故答案為：（3，﹣4），（1，0）；（3）S平行四邊形ABCD＝2S△ABC＝2××2×4＝8，故答案為：8；（4）設(shè)點F的坐標為（0，y），因為S△ABC＝S平行四邊形ABCD＝4＝S△ADF，所以﹣1﹣y＝|2|，解得y＝﹣3或1，所以點F（0，﹣3）或（0，1），故答案為：（0，﹣3）或（0，1）．21．（12分）如圖，△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△COD，點A的對應(yīng)點為點C，分別延長OB，OD至點E，F(xiàn)，且BE＝DF，連結(jié)AF，F(xiàn)C，CE，EA．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四邊形AFCE的周長．【解答】證明：（1）∵△COD由△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到，∴AO＝CO，DO＝BO，且A，O，C三點在一條直線上，B，O，D三點在一條直線上．∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．解：（2）過點E作AC的垂線，垂足為M，∵OE＝CE，∴OM＝CM．又∵OA＝OC，∴AM＝3CM．∵∠EAC＝45°，且EM⊥AC，∴ME＝AM＝3CM．又∵OE＝，∴CE＝OE＝．在Rt△MCE中，MC2+ME2＝EC2，∴MC2+（3MC）2＝（）2，解得MC＝1，∴AM＝ME＝3，∴AE＝＝3，∴FC＝AE＝3．又∵AF＝EC＝，∴四邊形AFCE的周長為：6+2．22．（13分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；（3）如果該文具的銷售單價高于進價且不超過30元，請你計算最大利潤．【解答】解：（1）由題意得，銷售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，則w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值，當x＝35時，wmax＝2250，故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大；（3）20＜x≤30，對稱軸左側(cè)w隨x的增大而增大，故當x＝30時，w有最大值，此時w＝2000．23．（13分）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)y＝x刻畫，若小球到達的最高的點坐標為（4，8），解答下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）在斜坡OA上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹？【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k，∵拋物線最高點坐標為（4，8），∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣4）2+8，由圖可知，拋物線經(jīng)過（0，0），∴0＝a（0﹣4）2+8，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）把x＝2代入得：y＝1，∴B（2，1），即點B到x軸的距離為1，∵樹高為4，∴樹頂端的高度為4+1＝5，把x＝2代入，∵5＜6，∴小球M能飛過這棵樹．24．（13分）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．（1）求證：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴BC＝EF；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，∴∠FAG＝∠BAE＝52°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，∴∠AGE＝77°．25．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝kx+b1經(jīng)過點A、C，連接CD．（1）分別求拋物線和直線AC的解析式；（2）在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點P，使得△ACP的面積是△ACD面積的2倍，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使線段AQ繞Q點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QA1，且點A1恰好落在該拋物線上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∴C點為（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b1，