第一章

三角形的證明角平分線第2課時知識回顧角的平分線的性質角的平分線的判定

圖形

已知條件

結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB獲取新知思考

分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點例題講解例1

求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC，的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點P，且PD＝PE＝PF.D

E

F

A

B

C

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N

M

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cD

E

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A

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M

AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點P在∠BCA的平分線上證明三者的結論，通常假設兩者已經(jīng)成立，問題轉化為第三者也成立證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分別為D，E，∴PD＝PE(角平分線的性質).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點P在∠A的平分線上(角平分線的判定)，

即 ∠A的平分線經(jīng)過點P.D

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M

例2

如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE丄AB垂足為E,(1)已知CD＝4cm，求AC的長；(2)求證：AB＝AC＋CD.EDABC解：∵AD是△ABC的角平分線，DC丄AC，DE丄AB垂足為E，∴DE＝CD＝4cm(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，(等邊對等角).∵∠C＝90°，∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角對等邊).在等腰直角三角形BDE中，∴AC＝BC＝CD＋BD＝EDABC(2)證明：由(1)的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴

AC＝AE(全等三角形的對應邊相等)∵

BE＝DE＝CD，∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.隨堂演練1.三角形中,到三邊距離相等的點是 (

)A.三條高線所在直線的交點B.三條中線的交點C.三條角平分線的交點D.三邊的垂直平分線的交點C2.已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB.下列確定P點的方法正確的是(

)A．P為∠A與∠B的平分線的交點B．P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點C．P為AC，AB兩邊上的高的交點D．P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點B3.如圖，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC＝______．140°4.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.4:5:65.如圖,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別是M,N.求證:PM=PN.證明:∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.∵點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.6.如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的