第第頁吉林省白城市實驗高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．直線xa?yA．b B．?b C．b D．±b2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于（）A．120° B．30° C．60° D．60°或30°3．產(chǎn)品質(zhì)檢實驗室有5件樣品，其中只有2件檢測過某成分含量.若從這5件樣品中隨機取出3件，則恰有2件檢測過該成分含量的概率為（）A．35 B．310 C．254．某銀行為客戶定制了A，B，C，D，E共5個理財產(chǎn)品，并對5個理財產(chǎn)品的持有客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（）A．44~56周歲人群理財人數(shù)最多B．18~30周歲人群理財總費用最少C．B理財產(chǎn)品更受理財人青睞D．年齡越大的年齡段的人均理財費用越高5．已知直線l經(jīng)過點P(?1，2)，且傾斜角為135°A．x+y?3=0 B．x+y?1=0 C．x?y+1=0 D．x?y+3=06．下列選項中的曲線與x2A．x224?yC．y226?x27．已知直線5x+12y?3=0與直線10x+my+20=0平行，則它們之間的距離是（）A．1 B．2 C．12 8．設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為A．1,76 B．102,+∞ 二、多項選擇題（本大題共4小題．每題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）9．下列說法正確的有（）A．直線x?y?2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．直線y=x+1在x軸上的截距為1C．過x1,D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為?10．在正方體ABCD?A1B1C1DA．m=12 B．m=?12 C．11．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1?α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1?β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1?α)B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為βC．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為βD．當(dāng)0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率12．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線l1,l2B．直線l的方向向量a=(1,?1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,?1)C．兩個不同的平面α，β的法向量分別是u=(2,2,?1),vD．直線l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,?5,0)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．兩直線2x-3y-12=0和x+y-1=0的交點為，經(jīng)過此交點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為或．14．甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%15．已知直線l：m+1x+1?my?2=0被動圓C：x?n16．已知橢圓C：x24+y29=1四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點與拋物線（1）求橢圓C的方程；（2）不過點F2的直線l：y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點.①若k2=12，且S△AOB=2②若x軸上任意一點到直線AF2與BF2距離相等，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).18．一名大學(xué)生嘗試開家“網(wǎng)店”銷售一種學(xué)習(xí)用品，經(jīng)測算每售出1盒該產(chǎn)品可獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元.根據(jù)統(tǒng)計資料，得到該商品的月需求量的頻率分布直方圖如圖所示，該同學(xué)為此購進(jìn)180盒該產(chǎn)品，以x(單位：盒，100≤x≤200)表示一個月內(nèi)的市場需求量，y(單位：元)表示一個月內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計這個月內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)；（2）將y表示為x的函數(shù)；（3）根據(jù)直方圖估計這個月利潤不少于3800元的概率(用頻率近似概率).19．在路邊安裝路燈，路寬23m，燈桿長2.5m，且與燈柱成120°角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直，當(dāng)燈柱高h(yuǎn)約為多少米時，燈罩軸線正好與道路路面的中心線相交？（精確到0.01m）20．已知以點Ct,2tt>0為圓心的圓經(jīng)過原點O，且與x軸交于點A，與（1）求證：△AOB的面積為定值．（2）設(shè)直線2x+y?4=0與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點21．已知點(2,3)在雙曲線C:x（1）雙曲線上動點Q處的切線交C的兩條漸近線于A,B兩點，其中O為坐標(biāo)原點，求證：△AOB的面積S是定值；（2）已知點P(12,1)，過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M?N，在線段MN上取異于點M?N的點H，滿足PM22．設(shè)橢圓E的方程為x2a2(0??，????b（Ⅰ）求E的離心率e；（Ⅱ）設(shè)點C的坐標(biāo)為(0??，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：直線xa?yb=1化為xa+故答案為：B．【分析】將直線方程化為截距式判斷即可.2．【答案】B【解析】【解答】設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則θ=120°?90°=30°，故答案為：B．【分析】因直線方向向量與平面的法向量的夾角為120°，所以線面角為30°．3．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)5件樣品為A1,A從5件樣品抽取3件樣品的所有可能為：A1A2A其中滿足題意的可能有：A1故滿足題意的概率P=3故答案為：B.【分析】設(shè)5件樣品為A1,A4．【答案】B【解析】【解答】解：A、由扇形統(tǒng)計圖可知：44~56周歲人群理財人數(shù)所占比例是37%，

是最多的，故A正確；B、設(shè)總?cè)藬?shù)為a，則18~30周歲人群的人均理財費用約為0.28a×3500=980a，31~43周歲人群的人均理財費用約為0.3a×4500=1350a，44~56周歲人群的人均理財費用約為0.37a×5500=2035a，57周歲人群的人均理財費用約為0.05a×6200=310a，所以57周歲及以上人群的人均理財費用最少，故B錯誤；C、由條形圖可知：B理財產(chǎn)品更受理財人青睞，故C正確；D、由折線圖知：年齡越大的年齡段的人均理財費用越高，故D正確.故答案為：B.【分析】根據(jù)扇形圖即可判斷A；設(shè)總?cè)藬?shù)為a，按照扇形圖得到各段人數(shù)，再由折線圖求解即可判斷B；利用條形圖即可判斷C；利用折線圖即可判斷D.5．【答案】B【解析】【解答】直線l傾斜角為135°，則斜率為-1，且經(jīng)過點P(直線l方程為y?2=?(x+1)，即x+y?1=0.故答案為：B【分析】由傾斜角求出斜率，寫出直線方程的點斜式，化成一般式即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：易知雙曲線x212?A、方程x224?y2B、y224?x212=1D、x210?故答案為：D.【分析】判斷雙曲線的焦點位置以及c27．【答案】A【解析】【解答】解：直線5x+12y?3=0與直線10x+my+20=0平行，則510=12則直線10x+24y+20=0，即5x+12y+10=0，即兩條平行線間的距離公式得d=?3?10故答案為：A.【分析】根據(jù)兩直線平行求出m的值，再利用平行間的距離公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：令x=c代入雙曲線的方程可得y=±b?c2a因為F2Q>F2A，所以3a又|PF1|+|PQ|>由雙曲線的定義，可得PF1=2a+PF2，由F2,P,Q共線時，PF2+即有e=ca<76②，由e>1，結(jié)合故答案為：A.【分析】由題意，將x=c代入雙曲線方程，求得點A的縱坐標(biāo)，由F2Q>F2A，結(jié)合a,b,c和離心率公式可得e的范圍，再由雙曲線的定義，討論F2,P,Q共線時，9．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A中，由直線x?y?2=0與兩坐標(biāo)軸交于點(2,0),(0,?2)，

故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2，故A正確，對于B中，由直線y=x+1過(?1,0)，在x軸上的截距為?1，故B錯誤，對于C中，當(dāng)x1=x對于D中，由題意得直線的方向向量為(?3,2)，故直線的斜率為?2故選：AD.【分析】本題主要考查了直線方程的概念及應(yīng)用，由直線與坐標(biāo)軸的交點，結(jié)合三角形的面積公式，可判定A正確；由直線y=x+1過(?1,0)，可判定B錯誤，由直線的兩點式方程的概念，可判定C錯誤；由直線的方向向量為(?3,2)，結(jié)合直線的斜率，可判定D正確.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：在正方體ABCD?A1B1C所以AF=所以m=12，?n=1故選：AD.【分析】根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到AF?=AD?+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，依次發(fā)送1，0，1，

則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，因為它們相互獨立，所以所求概率為(1?β)(1?α)(1?β)=(1?α)(1?β)對于B，因為三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，

則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，因為它們相互獨立，則所求概率為(1?β)?β?(1?β)=β(1?β)對于C，因為三次傳輸，發(fā)送1，

則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，又因為它們互斥，由選項B可知，

則所求的概率為C3對于D，由選項C可知，三次傳輸，發(fā)送0，

則譯碼為0的概率P=(1?α)2(1+2α)，單次傳輸發(fā)送0，

則譯碼為0的概率P因此P?P'=故答案為：ABD.【分析】利用相互獨立事件乘法求概率公式計算，則判斷選項A和選項B；利用相互獨立事件和互斥事件求概率公式，從而計算判斷出選項C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較，則判斷選項D，從而找出正確的選項.12．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于A中，由a=(2,3,?1),b=(?2,?3,1)，得a=?b，所以a對于B中，假設(shè)a//u，則存在唯一得實數(shù)λ，使得a=λu，即(1,?1,2)=(6λ,4λ,?λ)，

所以對于C中，因為u?v=?6+8?2=0，所以u對于D中，因為a?u=?15故選：AC．【分析】由a=?b，得到a//b，可判定A正確；由a=λu，列出方程組，根據(jù)方程組的解，可判定B錯誤；由13．【答案】（3，-2）；2x+3y=0；x+y-1=0【解析】【解答】解：聯(lián)立2x?3y?12=0x+y?1=0，解得x=3則兩直線2x?3y?12=0和x+y?1=0的交點為3,?2；當(dāng)直線l過原點時，直線方程為y=?23，即當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)直線方程為x+y=a，則3?2=a，即a=1，則直線方程為x+y?1=0，故經(jīng)過此交點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為2x+3y=0或x+y?1=0.故答案為3,?2；2x+3y=0；x+y?1=0.【分析】聯(lián)立兩直線方程求交點坐標(biāo)即可；分類討論直線過原點與不過原點的情況，求解直線方程即可.14．【答案】120；【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三個球都是黑球的概率為：40%×25%×50%=120；

第二空：由三個盒子總數(shù)之比為5：4：6，可設(shè)三個盒子中球的數(shù)量分別為5x，4x，6x，則總球數(shù)為：15x；

黑球總數(shù)為5x×40%+4x×25%+6x×50%=6x，

∴白球的數(shù)量為9x，故任取一球是白球的概率為：9x15x=315．【答案】2x?y?1=0【解析】【解答】解：直線l:m+1x+1?my?2=0由x?y=0x+y?2=0，解得x=1y=1，則直線恒過定點易知動圓C：x?n2+y?2n2=9動圓圓心C在定直線l'：y=2x要使直線l被截得的弦長為定值，則動點C到l的距離為定值，則l∥l'，故l的斜率也為2，則m+1故答案為：2x?y?1=0.【分析】先求直線恒過定點1,1，再根據(jù)已知條件，求出動圓圓心的軌跡方程，最后根據(jù)直線l與圓心的軌跡平行求解即可.16．【答案】（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]【解析】【解答】由y=32x+mx2設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0，可得：﹣3＜m＜3．設(shè)弦AB的中點為M（x，y），可得：x=x可得：y=3x，x∈[﹣3，3]．故答案為：（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]．【分析】直線與橢圓聯(lián)立方程組，通過判別式大于0，求解m的范圍，然后設(shè)出AB坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解M的軌跡方程即可。17．【答案】解：（1）由拋物線的方程y2=4x得其焦點為(1,0)，則當(dāng)點M為橢圓的短軸端點時，△MF1F2面積最大，此時∴a=2，故橢圓的方程為x（2）聯(lián)立x22+Δ=16k2m設(shè)A(x1，y1)，B(x①∵m≠0且k2=12，代入|AB|=1+設(shè)點O到直線AB的距離為d，則d=|m|∴S△AOB∴m2=1∈(0,2)②k1=y∴kx1+m∴2k·2m2∴直線l的方程為y=k(x?2)，故直線l恒過定點，該定點坐標(biāo)為(2,0)．【解析】【解答】（1）根據(jù)題意，利用拋物線的幾何性質(zhì)，得到c=1，結(jié)合點M為橢圓的短軸端點時，此時△MF1F（2）①聯(lián)立方程組，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到②根據(jù)直線的斜率公式，由k1+k2=018．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖得：需求量在[100，120)內(nèi)的頻率為0.005×20=0.1，

需求量在[120，140)內(nèi)的頻率為0.01×20=0.2，

需求量在[140，160)內(nèi)的頻率為0.015×20=0.3，

需求量在[160，180)內(nèi)的頻率為0.0125×20=0.25，

需求量在[180，200]內(nèi)的頻率為0.0075×20=0.15，

∴根據(jù)直方圖估計這個月內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)為x=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）解：∵每售出1盒該產(chǎn)品獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元，∴當(dāng)100≤x<180時，y=30x-10(180-x)=40x-1800；當(dāng)180≤x≤200時，y=30×180=5400.

∴y=（3）解：∵利潤不少于3800元，∴40x-1800≥3800，∴x≥140，∴由（1）知利潤不少于3800元的概率為1-0.1-0.2=0.7.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，結(jié)合平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和，即可得到答案；（2）由每售出1盒蓋產(chǎn)品獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元，分100≤x≤180，180<x≤200兩種情況進(jìn)行分類討論，能將y表示為x的函數(shù)；（3）由利潤不少于3800元，列出不等式，得到x≥140，由此能求出利潤不少于3800元的概率．（1）由頻率分布直方圖得：需求量在[100，120)內(nèi)的頻率為0.005×20=0.1，需求量在[120，140)內(nèi)的頻率為0.01×20=0.2，需求量在[140，160)內(nèi)的頻率為0.015×20=0.3，需求量在[160，180)內(nèi)的頻率為0.0125×20=0.25，需求量在[180，200]內(nèi)的頻率為0.0075×20=0.15，∴根據(jù)直方圖估計這個月內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)為x=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）∵每售出1盒該產(chǎn)品獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元，∴當(dāng)100≤x<180時，y=30x-10(180-x)=40x-1800；當(dāng)180≤x≤200時，y=30×180=5400.∴y=（3）∵利潤不少于3800元，∴40x-1800≥3800，∴x≥140，∴由（1）知利潤不少于3800元的概率為1-0.1-0.2=0.7.19．【答案】解：記燈柱頂端為點B，燈罩處為點A，燈桿為AB，燈罩軸線與道路路面的中心線交于點C.以燈柱底端O點為坐標(biāo)原點，燈柱OB所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點B的坐標(biāo)為0,h，點C的坐標(biāo)為11.5,0，因為∠OBA=120°，所以直線BA的傾斜角為120°?90°=30°，則點A的坐標(biāo)為2.5cos30°,h+2.5sin因為CA⊥BA，所以kCA由直線的點斜式，得直線CA的方程是y?h+1.25因為燈罩軸線CA過點C11.5,0，所以?h+1.25=?故燈柱高約為14.92m.【解析】【分析】以燈柱底端O點為坐標(biāo)原點，燈柱OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得到B的坐標(biāo)為0,h，點C的坐標(biāo)為11.5,0，以及A520．【答案】（1）證明：由題意可得圓的方程為：x?t2化簡可得x2與坐標(biāo)軸的交點分別為：A2t,0，B∴S（2）解：如圖所示，∵OM∴原點O在線段MN的垂直平分線上，設(shè)線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，因為OC的斜率k=2∴2t2又因為t>0，所以t=2，可得圓心C2,1∴圓C的方程為：x?22（3）解：如圖所示，由（2）可知：圓心C2,1，半徑r=5，設(shè)點B關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為B'則BB'中點為x2,2+y2且y?2x所以PB+又因為點B'到圓上點Q的最短距離為：

B則PB+PQ的最小值為此時直線B'C的方程為：又因為點P為直線B'C與直線則y=x2x+y+2=0即點P?【解析】【分析】（1）由已知條件可得圓的方程，從而可得點A與B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式證出△AOB的面積為定值．（2）由已知條件結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和中點的性質(zhì)以及三點共線的判斷方法，再根據(jù)兩直線垂直斜率之積等于-1，從而可得滿足條件的參數(shù)t的值，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)，則得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）由（2）可知：圓心C2,1，半徑r=5，B0,2，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直斜率之積等于-1，從而得出點B關(guān)于直線2x+y?4=0的對稱點B'，進(jìn)而可知PB+PQ=PB（1）由題意可得圓的方程為：x?t2化簡可得x2與坐標(biāo)軸的交點分別為：A2t,0，B∴S（2）如圖所示，∵OM∴原點O在線段MN的垂直平分線上，設(shè)線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，又OC的斜率k=2∴2解得t=±2，又t>0，所以t=2，可得圓心C2,1∴圓C的方程為：x?22（3）如圖所示，由（2）可知：圓心C2,1，半徑r=5，設(shè)點B關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為B'則BB'中點為且y?2x??1=?1x則PB+又點B'到圓上點Q的最短距離為B則PB+PQ的最小值為此時直線B'C的方程為：點P為直線B'C與直線則y=x2x+y+2=0即點P?21．【答案】（1）證明：將(2,3)代入雙曲線中，4a解得a2=1，故雙曲線方程為下面證明x2a2?y理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時，設(shè)過點x0,y0的切線方程為1a由Δ化簡得y0因為k=y?y0整理得xy同除以a2b2即x2因為x02a所以x2聯(lián)立x02a從而x0故?1+x即?1+x令t=x0xa2解得t=1，即x0當(dāng)切線斜率不存在時，此時切點為±a,0，切線方程為x=±a，滿足x0綜上：x2a2?y設(shè)Qm,n，則x2?y2故mx?ny3=1為x雙曲線的兩條漸近線方程為y=±3聯(lián)立mx?ny3=1與y=聯(lián)立mx?ny3=1與y=?直線AB方程為y?y1x?故點O到直線AB的距離為?y且AB=故△AOB的面積為1==1（2）證明：若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，不滿足條件，故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程y?1=kx?與x2?y由Δ>0因為14k2故k2解得?2?213設(shè)Mx1,設(shè)點H的坐標(biāo)為xH則由PMPN=MH變形得到2x將x1+x將xH=8?k3?2k