第第頁(yè)四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）1．拋物線y=4xA．1,0 B．0,1 C．0,116 2．已知點(diǎn)A2,1,?1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則ABA．32 B．26 C．2 3．我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級(jí)的人數(shù)比為3:4:3，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A．52 B．48 C．36 D．244．若直線l過(guò)點(diǎn)(?3,?2)，且與雙曲線x2A．2x+y?8=0 B．2x+y+8=0 C．2x?y+8=0 D．2x?y?6=05．安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為（）A．23 B．34 C．146．已知直線l：kx+y+2?k=0過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)P(x，A．5 B．5 C．355 7．已知M?2,0，圓C:x2?4x+y2=0，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)A．x2?yC．x2?y8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，B是A．55 B．255 C．1二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）9．一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1～9這9個(gè)數(shù)字（每張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件A，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過(guò)6”記為事件B，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件C．則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件A與事件C是互斥事件 B．事件B與事件C是對(duì)立事件C．事件A與事件B相互獨(dú)立 D．P10．（多選）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于Ax1,y1A．p=4 B．拋物線的方程為yC．直線l的方程為y=2x?4 D．AB11．如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=A．AO=12C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B三、填空題：（本愿共3小題，每題5分，共15分）12．兩平行直線l1:ax+3y+1=0，l213．已知1，x1，x2，x3，x4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，方差為2，則x1，x2，x314．已知圓O:x2+y2=9，橢圓C:x25+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）15．已知圓C與y軸相切，其圓心在x軸的正半軸上，且圓C被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為22（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.16．在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為1（1）求比賽只需打三局的概率；（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.17．高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)；（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；（3）設(shè)m，n表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2，四邊形EDCF為矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（1）求證：DF//平面ABE；（2）求平面ABE與平面EFB夾角的余弦值；（3）在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的余弦值為134，若存在，求出線段BP19．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，虛軸長(zhǎng)為（1）求雙曲線C的方程；（2）若AF1=4（3）若M(?2,0)，試問(wèn)：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：拋物線y=4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：C.【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：點(diǎn)A2,1,?1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B則AB=故答案為：D.【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再求AB即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知：應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為33+4+3故答案為：C.

【分析】由題意，利用分層抽樣的抽樣列式計(jì)算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：如圖：易知雙曲線x24?因?yàn)橹本€l與之垂直，所以直線l的斜率為?2，又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(?3,?2)，所以直線l的方程為y+2=?2(x+3)，即2x+y+8=0.故答案為：B.【分析】先求雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)兩直線垂直求出直線l的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式求l的方程即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，

則（甲，1），（乙，2），（丙，3），（甲，1），（乙，3），（丙，2），（甲，2），（乙，1），（丙，3），（甲，2），（乙，3），（丙，1），（甲，3），（乙，1），（丙，2），（甲，3），（乙，2），（丙，1），共6種，其中甲恰好不安排到3號(hào)教室：（甲，1），（乙，2），（丙，3），（甲，1），（乙，3），（丙，2），（甲，2），（乙，1），（丙，3），（甲，2），（乙，3），（丙，1），共4種，所以甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為P=4故答案為：A.【分析】由題意，列出基本事件，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由kx+y+2-k=0得y+2=k(1-x)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)M(1，-2)，

所以|MP|的最小值就是點(diǎn)M到直線2x-y+1=0的距離，即MPmin=1×2+-27．【答案】C【解析】【解答】解：易知圓C的圓心為C2,0，半徑r=2，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R若動(dòng)圓P與圓C相內(nèi)切，則圓C在圓P內(nèi)，所以PM=R，PC所以PM?PC=2<MC=4，則動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

且a=1、c=2若動(dòng)圓P與圓C相外切，則PM=R，PC=R+2，則動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a=1、c=2，即動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2綜上可得：動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2故答案為：C.【分析】先求圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得：BF1=B因?yàn)镕1A⊥即m+a2=2a?m2+a在△AF1B在△AF1F即4c2=4a32+故答案為：A.【分析】根據(jù)橢圓的定義及勾股定理用a表示出AF1,AF2，在Rt△AF1B9．【答案】B,C【解析】【解答】解：由題意，樣本空間為Ω=因?yàn)锳∩C=8，所以事件A與事件C不是互斥事件，故A因?yàn)锽∪C=1,2,3,4,5,6,8,9,B∩C=?，所以事件B與事件C為對(duì)立事件，故因?yàn)镻AB=29,PA=39因?yàn)镻A∪B=7故選：BC.【分析】根據(jù)題意，得到Ω=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=2,5,8,B=1,2,3,4,5,610．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p=4，故A正確故拋物線的方程為y2=8x，焦點(diǎn)則y12=8又Mm,2是AB的中點(diǎn)，則y1+即y1?y2x由y1+得AB=故選：ACD．【分析】由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，求得p=4，得出拋物線的方程，可判斷A正確，B錯(cuò)誤；由Mm,2是AB的中點(diǎn)，得到y(tǒng)1+y2=4，結(jié)合中點(diǎn)弦的性質(zhì)，以及斜率公式，求得直線l的斜率，得出直線l的方程，可判定C正確；由11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，由圖，AO=對(duì)于B，由A，AO==1對(duì)于C，AO==121+1×2×對(duì)于D，取BC中點(diǎn)為D，連接AD，則AD=12注意到AD?則AD⊥BB1，又AD⊥BC，BB則AD⊥平面B1BCC1，又AD?平面ABC，則平面故選：ABD.

【分析】由空間向量加法，結(jié)合圖形，得到AO=12AB+AC+12．【答案】4【解析】【解答】解：因?yàn)橹本€l1與l2平行，所以aa?2則直線l1的方程為3x+3y+1=0，直線l2的方程為x+y+3=0，即故兩直線間的距離為d=1?9故答案為：42【分析】由兩直線平行列式求出實(shí)數(shù)a的值，再利用平行線間的距離公式求解即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：由題意可得：x1則x1，x2，x3，x4這x12+故x1，x2，x3，x4這故答案為：54【分析】利用平均數(shù)和方差的計(jì)算求解即可.14．【答案】6【解析】【解答】解：設(shè)P(x0,y0)，又因?yàn)镻F1?所以x0則|PM|?|PN|=(|OM|?|OP|)(|ON|+|OP|)=|OM|故答案為：6.【分析】利用橢圓的額定義PF1+PF2=2a15．【答案】（1）解：由題意，設(shè)圓的方程為：x?a2圓心到直線y=x的距離為d=a則圓C被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為2r2?所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?22（2）解：由題意得：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為y=kx+3，即kx?y+3=0，則圓心到直線的距離等于半徑，即2k+3k2+1所以直線方程為5x+12y?36=0，綜上所述：直線l的方程為x=0或5x+12y?36=0.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為x?a2+y2=a2（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，再利用直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法，即圓心到直線的距離等于半徑，從而得出直線的斜率，進(jìn)而得出直線l的方程.（1）由題意設(shè)圓的方程為：x?a2圓心到直線y=x的距離為d=a則圓C被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為2r2?所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?22（2）由題意得：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+3，即kx?y+3=0，則圓心到直線的距離等于半徑，即2k+3k2+1所以直線方程為5x+12y?36=0，綜上：直線l的方程為x=0或5x+12y?36=0.16．【答案】（1）解：設(shè)事件A=“甲前三局都獲勝”，事件B=“乙前三局都獲勝”，

則P(A)=23×23×23=（2）解：因?yàn)榧仔枰蛉值母怕蕿椋篜1甲需要打四局的概率為：P2甲需要打五局的概率為：P3則甲最終獲勝的概率為：P=P【解析】【分析】（1）“比賽只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都獲勝”與“乙前三局都獲勝”的和事件，再利用相互獨(dú)立事件乘法概率公式與互斥事件加法概率公式，從而得出比賽只需打三局的概率.（2）利用“甲最終獲勝”是互斥事件“第三局甲勝”、“第三局甲輸?shù)谒木旨讋佟迸c“第三局第四局甲均輸?shù)谖寰旨讋佟钡暮褪录?，再利用相互?dú)立事件乘法概率公式與互斥事件加法概率公式，從而得出甲最終獲勝的概率.（1）設(shè)事件A=“甲前三局都獲勝”，事件B=“乙前三局都獲勝”，則P(A)=2PB比賽只需打三局的概率為：P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=8（2）甲需要打三局的概率為：P1甲需要打四局的概率為：P2甲需要打五局的概率為：P3則甲最終獲勝的概率為：P=P17．【答案】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖知成績(jī)?cè)赱14，16）內(nèi)的人數(shù)為：

50×0.18+50×0.38＝28人，

∴該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人.

（2）由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組[15，16）內(nèi)，

眾數(shù)是15+162=15.5，

∵數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，

數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，

∴中位數(shù)一定落在第三組中，

假設(shè)中位數(shù)是x，則0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，

解得x＝29919≈15.74，∴中位數(shù)是15.74.

（3）因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱13，14）的人數(shù)有50×0.04＝2人，

成績(jī)?cè)赱17，18）的人數(shù)有50×0.06＝3人，

又因?yàn)閙，n表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，

且m，n∈[13，14）∪[17，18]，

∴事件“|m﹣n|＞2”等價(jià)于其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13,14)，

另一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱17,18]內(nèi)，

記百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13，14）內(nèi)的兩個(gè)人為A,B，

百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱17,18]內(nèi)的三個(gè)人為C,D,E，則從這5個(gè)學(xué)生中任取兩個(gè)，

有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D)，(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)，共10種情況，

其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13,14)，

另一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱17,18]內(nèi)的有6種情況，

所以事件“|m﹣【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出成績(jī)?cè)赱14，16）內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù).（2）由頻率分布直方圖得出眾數(shù)落在第二組[15，16）內(nèi)，由此求出眾數(shù)，再利用數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率是0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6＞0.5，則中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)是x，則0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，從而求出中位數(shù).（3）利用成績(jī)?cè)赱13，14）的人數(shù)有2人，成績(jī)?cè)赱17，18）的人數(shù)有3人，則事件“|m﹣n|＞2”等價(jià)于其中一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13,14)，另一個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱17,18]內(nèi)，記百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱13，14）內(nèi)的兩個(gè)人為A,B，百米測(cè)試成績(jī)?cè)赱17,18]內(nèi)的三個(gè)人為C,D,E，再利用列舉法和古典概型求概率公式，從而得出事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．【答案】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜤DCF為矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=DC，所以ED⊥DC，則ED⊥平面ABCD，根據(jù)題意可以以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，易知A1,0,0,B1,2,0設(shè)平面ABE的法向量n=不妨令x=3?y=0,z=1，則又DF=?1,2,3又∵DF?平面ABE,∴DF//平面ABE．（2）解：由上可知BE=?1,?2,3,BF∴m?BE=?a?2b+3∴cos∴平面ABE與平面EFB夾角的余弦值為531（3）解：設(shè)DP=λDF∴BP又∵平面ABE的法向量n=由直線BP與平面ABE所成角的余弦值為134∴sin∴8λ2?6λ+1=0，∴λ=當(dāng)λ=12時(shí)，當(dāng)λ=14時(shí)，綜上，BP=2【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證得ED⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ABE的法向量n=3,0,1，以及向量DF?，結(jié)合DF?（2）由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，求得平面BEF的法向量m=（3）設(shè)DP?=λDF?，得到P?λ,2λ,3λ，得出BP?=（1）因?yàn)樗倪呅蜤DCF為矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=DC，所以ED⊥DC，則ED⊥平面ABCD，根據(jù)題意可以以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，易知A1,0,0,B1,2,0設(shè)平面ABE的法向量n=不妨令x=3?y=0,z=1，則又DF=?1,2,3又∵DF?平面ABE,∴DF//平面ABE．（2）由上可知BE=?1,?2,3,BF∴m?BE=?a?2b+3∴cos∴平面ABE與平面EFB夾角的余弦值為531（3）設(shè)DP=λDF∴BP又∵平面ABE的法向量n=由直線BP與平面ABE所成角的余弦值為134∴sin∴8λ2?6λ+1=0，∴λ=當(dāng)λ=12時(shí)，當(dāng)λ=14時(shí)，綜上，BP=219．【答案】（1）解：由題意可知：2b=42e=c所以雙曲線C的方程為：x2（2）解：因?yàn)锳F1=42，

所以所以cos∠所以∠