第第頁浙江省杭州市錢塘區(qū)杭四江東2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分．）1．已知M，A，B，C為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且OM=OA+2xA．0 B．1 C．2 D．32．設(shè)集合A={0,a},B={a?2,3a?4}，若B=A，則a=（）A．2 B．1 C．43 D．3．橢圓E1:xA．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等4．已知正方體ABCD?A1B1CA．0 B．12 C．22 5．圓C1:(x?2)2+y2A．相離 B．有3條公切線C．關(guān)于直線x?y=0對(duì)稱 D．公共弦所在直線方程為x+y+1=06．已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且滿足aA．2n B．nn+1 C．n2n7．已知斜率為33的直線過雙曲線C:x2?y2mA．2 B．2 C．3 D．38．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1A．直線l與蒙日?qǐng)A相切B．C的蒙日?qǐng)A的方程為xC．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d?|AD．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為8二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知f(x)，g(xA．limB．limC．limD．lim10．已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，則下列說法一定正確的有（）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則5a,5b,5c成等比數(shù)列B．若a，b，c成等比數(shù)列，則a2C．若a，b，c成等差數(shù)列，則2aD．若a211．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點(diǎn)數(shù)，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為事件A，“點(diǎn)數(shù)小于5”記為事件B，“點(diǎn)數(shù)小于2”記為事件C．下列說法正確的是（）A．A與C互斥 B．B與C對(duì)立C．A與B相互獨(dú)立 D．P(A∪B)=P(A)+P(B)三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分．）12．若f(x)=x，則f'13．直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)均為2，14．已知函數(shù)f(x)=?x2+3,x≤1x+1x?1,x>1，若當(dāng)四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．已知函數(shù)f(x)=x3+x+a(a∈（1）若點(diǎn)P在f(x)的圖象上，求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線的方程；（2）若點(diǎn)P在f(x)的圖象外，過點(diǎn)P與f(x)的圖象相切的直線斜率是1，求a的取值．16．已知函數(shù)f(x)=asinxcos（1）求a的值；（2）若fθ2?17．已知數(shù)列an滿足a（1）求an（2）已知dn=ann+118．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=（1）證明：PD⊥平面ABCD；（2）當(dāng)點(diǎn)Q為棱PC的中點(diǎn)時(shí)，求直線PA與平面BDQ所成角的正弦值；（3）當(dāng)二面角P?BD?Q的余弦值為33時(shí)，求PQ19．已知點(diǎn)A，B分別是雙曲線C:y24（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的動(dòng)直線l交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，且BM與BN的斜率之和為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：依題意，1+2x+y=1，所以2x+y=0.故答案為：A.

【分析】要解決空間四點(diǎn)共面時(shí)向量系數(shù)的問題，需用到共面向量定理的推論：若空間中四點(diǎn)M，A，B，C共面，且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，有OM=aOA+bOB+c2．【答案】A【解析】【解答】解：集合A={0,a},B={a?2,3a?4}，由B=A，得a?2=0或3a?4=0，解得a=2或a=43，當(dāng)a=2時(shí)，B={0,2}=A，符合題意；當(dāng)a=43時(shí)，B={0,?23}≠A，不符合題意，所以a=2.

故答案為：A

【分析】利用集合相等列式求值并驗(yàn)證得解.要解決集合A3．【答案】D【解析】【解答】解：對(duì)于橢圓E1的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a1=3,b1故答案為：D

【分析】集合相等意味著兩個(gè)集合中的元素完全相同.所以要讓集合B中的元素與集合A中的元素一一對(duì)應(yīng)，分情況討論B中元素等于A中元素0的情況，再結(jié)合集合元素的互異性（集合中的元素互不相同）進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定a的值.4．【答案】D【解析】【解答】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，可得A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，

所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，所以A1故答案為：D【分析】本題可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法來求解異面直線所成角的正弦值.解題思路是先求出兩條異面直線對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，再計(jì)算向量的夾角余弦值，最后根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值.5．【答案】C【解析】【解答】解：將圓C2的方程x2+y2-4y=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+(y-2)2=4，所以圓C2的圓心C2(0,2)，半徑r2=2；

圓C1：(x-2)2+y2=4的圓心C1(2,0)，半徑r1=2.

選項(xiàng)A：計(jì)算圓心距|C1C2|=(2-0)2+(0-2)2=22，因?yàn)閞1+r故答案為：C.

【分析】本題需要先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到圓心和半徑，再通過分析圓心距、兩圓位置關(guān)系、公共弦方程以及兩圓的對(duì)稱性來解題.解題思路是依次對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，利用圓的基本性質(zhì)和相關(guān)公式來驗(yàn)證.6．【答案】C【解析】【解答】解：由數(shù)列an滿足an+1=則2nan+1則數(shù)列2nan是以2a1=2為首項(xiàng)，故答案為：C.【分析】化簡(jiǎn)數(shù)列的遞推關(guān)系式，可得數(shù)列2nan是以2a17．【答案】B【解析】【解答】解：由雙曲線C:x2?y2m=1，得a2=1,b2=m,c2=1+m，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，

由A,B均在C:x2?y2m=1上，P為AB的中點(diǎn)，得mx12=m+y12mx

故答案為：B

【分析】本題可利用點(diǎn)差法結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，以及等腰三角形的角度關(guān)系來求解雙曲線的離心率.解題思路是先通過點(diǎn)差法得到直線AB與直線OP斜率的關(guān)系，再根據(jù)等腰三角形的角度條件求出m的值，最后計(jì)算離心率.8．【答案】A,C【解析】【解答】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為x=±a、y=±b，所以，點(diǎn)(±a，±b因?yàn)閑=ca=對(duì)于A選項(xiàng)，蒙日?qǐng)A圓心到直線l的距離為d=a所以，直線l與蒙日?qǐng)A相切，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，C的蒙日?qǐng)A的方程為x2對(duì)于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得|AF1所以，d?|因?yàn)閏=22a=b，直線l點(diǎn)F1(?b，0所以，d?|當(dāng)且僅當(dāng)AF對(duì)于D選項(xiàng)，若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日?qǐng)A上，所以，|MN所以，矩形MNGH的面積為S=|故答案為：AC.

【分析】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為x=±a、y=±b，所以，點(diǎn)(±a，±b)在蒙日?qǐng)A上，再利用代入法得出蒙日?qǐng)A的方程為x2+y2=a2+b2，再利用橢圓的離心率個(gè)數(shù)結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，再結(jié)合已知條件得出a2=2b2。再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出蒙日?qǐng)A圓心到直線l的距離為d=a2+b2，再利用直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法，進(jìn)而判斷出直線l與蒙日?qǐng)A相切；再利用橢圓的蒙日?qǐng)A的定義，進(jìn)而求出橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程；由橢圓的定義可得|AF9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、limΔB、limΔC、limΔD、limΔ故答案為：BCD.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義依次判斷即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：對(duì)于A，取a=1,b=2,c=3，滿足a,b,c成等差數(shù)列，而5a=5,5b=10,5c=15不成等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由a,b,c成等比數(shù)列，得b2=ac，則(b2)2=a2c2，a2,b2,c2成等比數(shù)列，B正確；故答案為：BC

【分析】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)。解題思路是通過舉反例來判斷選項(xiàng)A、D的錯(cuò)誤，利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)來證明選項(xiàng)B、C的正確。11．【答案】A,C【解析】【解答】解：樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={2,4,6}，事件B={1,2,3,4}，事件C={1}，

A.∵A∩C=?，∴A與C互斥，A正確.

B.∵B∩C=1≠?，∴B與C不對(duì)立，B錯(cuò)誤.

C.∵A∩B=2,4，∴P(AB)=26=13，∵P(A)=36=12,P(B)=46=23，∴P(AB)=P(A)P(B)故答案為：AC.

【分析】本題主要考查互斥事件、對(duì)立事件以及相互獨(dú)立事件的概念，通過分析各事件包含的樣本點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)概率公式來判斷選項(xiàng)的正確性。解題思路是先確定樣本空間和各事件的樣本點(diǎn)，再根據(jù)互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的定義及概率公式逐一分析選項(xiàng)。12．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=x，所以f'(x)=12故填：14

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代入x=413．【答案】3【解析】【解答】解：連接AC，BD交于點(diǎn)O.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AA1⊥AC；又BB1∥AA1，所以BB1⊥AC.因?yàn)橹彼睦庵欣忾L(zhǎng)均為2，∠DAB=π3，所以四邊形ABCD是菱形，故AC⊥BD.由于BD∩BB1=B，BD,BB1?平面BB1D1D，所以AC⊥平面

【分析】本題可先分析直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，找到直線與平面垂直的關(guān)系，進(jìn)而確定直線到平面的距離所對(duì)應(yīng)的線段，再通過三角形的相關(guān)知識(shí)計(jì)算該線段長(zhǎng)度.解題思路是利用直四棱柱側(cè)棱與底面垂直、底面為菱形的性質(zhì)，證明線面垂直，從而將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，最后在三角形中求解.14．【答案】2+【解析】【解答】解：當(dāng)x≤1時(shí)，由1≤f(x)≤3，得1≤?x2+3≤3，解得?2≤x≤2，因此?2≤x≤1；當(dāng)x>1時(shí)，由1≤f(x)≤3，得1≤x+1x?1≤3，解得1≤x≤2+3，因此故答案為：2+2+3

【分析】本題需要分別分析函數(shù)在x≤1和x>1兩個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足1≤f(x)≤3的x15．【答案】（1）解：由點(diǎn)P在f(x)的圖象上，得f(?1)=0，求導(dǎo)得f'(x)=3x2+1，則f'(-1)=4，所以曲線y=f(x)（2）解：由點(diǎn)P在f(x)的圖象外，得(?1)3+(?1)+a≠0，則a≠2，設(shè)過點(diǎn)P的直線與f(x)的圖象切于點(diǎn)Q(t,t3+t+a)，則切線PQ的斜率k=f'(t)=3t2+1【解析】【分析】（1）先利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出參數(shù)a，再求導(dǎo)得到切線斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式求出切線方程；

（2）設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩點(diǎn)間斜率公式列出方程組，求解得到a的值.（1）由點(diǎn)P在f(x)的圖象上，得f(?1)=0，求導(dǎo)得f'(x)=3x所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=4(x+1)，即4x?y+4=0.（2）由點(diǎn)P在f(x)的圖象外，得(?1)3+(?1)+a≠0，則設(shè)過點(diǎn)P的直線與f(x)的圖象切于點(diǎn)Q(t,t3+t+a)，則切線PQ由過點(diǎn)P與f(x)的圖象相切的直線斜率是1，得3t2+1=1所以a的值為1.16．【答案】（1）解：由題意得，fπ4=asin（2）解：由（1）得，f(x)=2sinxcosx+cos2x+π6【解析】【分析】（1）求出參數(shù)a的值，已知函數(shù)f(x)在x=π4時(shí)的函數(shù)值為12，因此可以通過代入法建立方程求解a.

（2）需要利用已知的f（1）由題意得，fπ∴a=2.（2）由（1）得，f(x)=2=1∴fθ∴cos2θ?17．【答案】（1）解：數(shù)列an中，a1+3a2+5a3+?+(2n?1)an=(n?1)3n+1，當(dāng)n≥2（2）解：由（1）知，dn=3n?1n+1，1dn=n+1【解析】【分析】（1），利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，通過作差法求出n≥2時(shí)的通項(xiàng)，再驗(yàn)證n=1的情況；

（2），先根據(jù)（1）的結(jié)果求出1d（1）數(shù)列an中，a當(dāng)n≥2時(shí)，a1兩式相減得(2n?1)an=(2n?1)?3n?1，解得a所以{an}（2）由（1）知，dn=3Tn=2兩式相減得23所以Tn18．【答案】（1）解：在四棱錐P?ABCD中，由PD=AD=1,CD=2,PC=5,PA=2，得PD2+CD2=PC2（2）解：由（1）知PD,AD,DC兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，直線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0)，由Q為棱PC的中點(diǎn)，得Q(0,1,12)，PA=(1,0,?1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,12)，設(shè)平面BDQ的法向量m=(x0,y0,z0)（3）解：由（2）知DP=(0,0,1),DB=(1,1,0),PC=(0,2,?1)，設(shè)PQ=λPC=(0,2λ,?λ)(0≤λ≤1)，則DQ=DP+PQ=(0,2λ,1?λ)，設(shè)平面BDQ的法向量n1=(x1,y1,z1)，則DB?n1=x【解析】【分析】（1）證明PD⊥平面ABCD：通過勾股定理驗(yàn)證PD與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，進(jìn)而應(yīng)用線面垂直判定定理.（2）求線面角的正弦值：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算直線PB與平面BDQ的法向量夾角.（3）求線段比值：引入?yún)?shù)λ表示點(diǎn)Q的位置，通過二面角的余弦值建立方程求解λ，進(jìn)而得到PQPC（1）在四棱錐P?ABCD中，由PD=AD=1,CD=2,PC=5得PD2+CD2又CD∩AD=D，且CD,AD?平面ABCD，所以（2）由（1）知PD,AD,DC兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，直線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0)，由Q為棱PC的中點(diǎn)，得Q(0,1,1PA=(1,0,?1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,則DB?m=x0+y0=0DQ?則sinθ=|所以直線PA與平面BDQ所成角的正弦值為36（3）由（2）知DP=(0,0,1),設(shè)PQ=λPC=(0,2λ,?λ)(0≤λ≤1)設(shè)平面BDQ的法向量n1=(x1,y1設(shè)平面BDP的法向量為n2=(x2,y2由二面角P?BD?Q的余弦值為33，得|即|λ?1|3λ2?2λ