第4章圖形與坐標1.平面直角坐標系的定義：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直，并且有公共原點O的數(shù)軸，其中一條水平數(shù)軸叫做x軸（又叫橫軸），另一條叫做y軸（又叫縱軸），畫成與x軸垂直。平面直角坐標系簡稱直角坐標系，坐標系所在的平面叫做坐標平面；2.坐標的定義：如圖，對于平面內(nèi)任意一點M,分別過該點作x軸、y軸的垂線，在各自數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b，則a叫做點M的橫坐標，b叫做點M的縱坐標，有序數(shù)對（a，b）叫做點M的坐標。3.象限：如下圖，整個平面直角坐標系被x軸和y軸分成四個象限，象限以數(shù)軸為界，x軸、y軸上的點不屬于任何象限，四個象限中點的坐標的符號特征分別如下表：4.坐標軸上的線段長（1）x軸上點的坐標表達式（x，0）；y軸上點的坐標表達式（0，y）（2）坐標平面內(nèi)兩點間（如圖A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距離公式為：如圖①，若點A、B在同一水平線上，則AB=|x1-x2|；如圖②，若點A、B在同一豎直線上，則AB=|y1-y2|；如圖③，對于任意位置的點A和點B，則AB=（ABAABABAB圖①圖②圖③5.坐標平面內(nèi)點的軸對稱規(guī)律：在直角坐標系中：點（a，b）關于x軸的對稱的點的坐標為（a，﹣b）；點（a，b）關于y軸的對稱的點的坐標為（﹣a，b）；點（a，b）關于原點對稱的點的坐標，即為點（a，b）先關于x軸對稱，再關于y軸對稱，為（﹣a，﹣b）；6.坐標平面內(nèi)點的平移規(guī)律：在直角坐標系中：點（a，b）向右平移m個單位得（a+m，b）；點（a，b）向左平移m個單位得（a－m，b）；點（a，b）向上平移m個單位得（a，b+m）；點（a，b）向下平移m個單位得（a，b－m）；7.坐標平面內(nèi)圖形怎么變換，則圖形上的各點也是按照同樣的方法變換，所以，做一個幾何圖形的軸對稱圖形或者平移后的圖形，首先把圖形各個頂點的對應點做出來，再依次連線即可。1.坐標軸上的點的坐標錯誤：錯誤混淆在坐標軸上的點的坐標的表示。注意：x軸上點的坐標表達式(x，0)；y軸上點的坐標表達式(0，y)。要注意在表示時(x，0)和(0，y)的區(qū)別。例1（25-26八年級上·江西九江·期中）在平面直角坐標系中，若點M-1,b+3在x軸上，點Na-9,【答案】-【分析】本題考查了坐標軸上點的坐標特征，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)點在坐標軸上的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：∵點M-1,b∴b+3=0解得：b=∵點Na-9,∴a-解得：a=9則ab=∴ab的立方根為3-故答案為：-32.不同象限的點的坐標的符號錯誤：混淆不同象限上點的坐標（橫坐標與縱坐標）的符號。注意：不同象限上點的坐標的符號有明確區(qū)別，具體如下：尤其是要注意第二象限與第四象限上點的坐標的符號。例2（24-25七年級下·陜西安康·期末）在平面直角坐標系中，已知點P(1)若點P的橫坐標為2，求點P的坐標；(2)若a<-2【答案】(1)2,(2)第三象限【分析】本題考查了點的坐標，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限+，+；第二象限-，+；第三象限（1）根據(jù)點P的橫坐標為2可得a+2=2，據(jù)此可得a的值，進而得出點P（2）根據(jù)a<-2，可得a+2<0，【詳解】（1）解：若點P的橫坐標為2，則a+2=2解得a=0∴2∴點P的坐標為2,-（2）若a<-2，則得a∴點P所在的象限是第三象限．3.點到坐標軸的距離錯誤：在已知點到坐標軸的距離時確定點的坐標，可能會①不注意結(jié)合其他條件，或不通過作圖討論即回答，導致錯解、漏解；②已知到x軸的距離就得出橫坐標的值，已知到y(tǒng)軸的距離就得出縱坐標的值，是想當然的錯誤思維。注意：題干表示點到坐標軸上的距離時，需進行討論。如，點P到x軸的距離為1，點P可能在第一、二象限，此時它的縱坐標為1；也可能在第三、四象限，此時它的縱坐標為﹣1；例3（25-26八年級上·安徽淮北·階段練習）已知平面直角坐標系中有一點M(1)若m的值為2時，求點M的坐標；(2)若點M到y(tǒng)軸的距離為2，求點M的坐標．【答案】(1)M(2)點M的坐標為-2,-【分析】本題主要考查點坐標的特點，掌握其特點是解題的關鍵．（1）直接代入求點坐標即可；（2）根據(jù)題意3m【詳解】（1）解：將m=2代入點M3m（2）∵M到y(tǒng)軸的距離為2即3m∴3∴m=1∴點M的坐標為-2,-24.坐標軸上線段的長錯誤：不會構(gòu)建直角三角形，結(jié)合勾股定理求出坐標系中斜線段的長。注意：求坐標系中斜線段的長，可以過線段兩點作平行于x軸和y軸的平行線，相交于第三點，使得斜線段為直角三角形的斜邊。先求出兩直角邊的長，再通過勾股定理即可求出斜邊長?？旖莸挠嬎惴绞綖椋篈B=AAB例4（25-26八年級上·廣東佛山·期中）已知點A(a(1)若點A在x軸上，求點A的坐標；(2)若直線AB∥y軸，且AB=4【答案】(1)A(2)B(3,1)或【分析】本題考查了點的坐標特征．（1）根據(jù)在x軸上的點的坐標的縱坐標為零，求解即可；（2）根據(jù)平行于y軸的兩個點的橫坐標相等得到a=3，根據(jù)AB=4先求出【詳解】（1）解：∵點A(a,∴a∴a∴A（2）解：∵直線AB∥∴a∴A∵AB∴b=5-∴B(3,1)或例5已知點A（﹣2，1），點B（b，﹣3），（1）若點B在第四象限上，求b的取值范圍；（2）若b=3，求AB的長；（3）若AB=5，求b的值。【答案】(1)b＞0（2）41（3）﹣5或1【分析】本題考查了坐標點的象限和坐標系上兩點之間的距離的知識點．（1）根據(jù)第四象限上點的橫坐標為正，可得出b＞0；（2）關于點A與點B分別平行于y軸、x軸作平行線，構(gòu)建如圖①所示的直角三角形ABC，通過勾股定理即可求出斜邊AB的長；AABCAB1PB2圖①圖②（3）根據(jù)如圖②所示構(gòu)造直角三角形PAB1和直角三角形PAB2均滿足題意，結(jié)合AB=5，可求得BP的長，進而求出點B1和點B2?！驹斀狻浚?）∵點B在第四象限，則點B的橫坐標為正數(shù)，則b＞0；（2）如圖①所示，過點A作AC平行y軸，過點B作BC平行x軸，AC與BC交于點C，∵點A（﹣2，1），點B（3，﹣3）,可以AC=1－（-3）=4，BC=3－（-2）=5，所以AB=42（3）如圖②所示，點B1與點B2均符合AB=5；已知直角三角形ABP中，AB=5，AP=4，則BP=3，因為點P的橫坐標為﹣2，所以點B1的橫坐標為﹣2+3=1，點B2的橫坐標為﹣2-3=﹣5.所以b的值為﹣5或1。5.用幾何圖形的性質(zhì)求解圖形上的點的坐標錯誤：求坐標系上點的坐標，或已知坐標系上點的坐標時，不能結(jié)合已學的圖形的幾何性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化成坐標系上幾何圖形的已知條件。注意：在平面直角坐標系中，幾何圖形的已知條件可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)與代數(shù)關系；同樣的，坐標系上點的坐標值，或代數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化成幾何圖形的已知條件，從而達到數(shù)形結(jié)合的效果。因此通過幾何圖形的性質(zhì)，將數(shù)值和代數(shù)式通過數(shù)量關系建立等式或不等式，即可解決更多的數(shù)學問題。具體如下：坐標軸上的點坐標軸上的點幾何圖形的線段長用坐標系的知識求出點與點連結(jié)的線段長、點到線的距離等。通過幾何圖形的性質(zhì)的等量關系，列式求出坐標系上點的坐標。例6（25-26八年級上·貴州貴陽·期中）在平面直角坐標系中，已知點A3,0，B0,2，C4,n，若點C在第一象限，且【答案】6【分析】本題考查三角形的面積、坐標與圖形性質(zhì)，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，根據(jù)S△【詳解】解：如圖，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，∵A∴OA=3∴S梯形OBCD=12∵S△∴2n∴n=6故答案為：6．例7（25-26八年級上·河南信陽·月考）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標為-1,0，點B的坐標為2,5【答案】-【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，同角的余角相等，過A作AE⊥x軸于點E，過B作BF⊥x軸于點F，由點C的坐標為-1,0，點B的坐標為2,5，則OC=1，OF=2【詳解】解：如圖，過A作AE⊥x軸于點E，過B作BF⊥∵點C的坐標為-1,0，點B的坐標為2,5∴OC=1，OF=2，∴CF=∵∠ACE+∠∴∠ACE∵∠AEC=∠∴△AEC∴CF=AE=3∴OE=∴點A的坐標為-6,3故答案為：-6,3例8（25-26八年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A、B、C三點的坐標分別為A0,4、B-5,0、C3,0，點P從B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BO(1)當t>52時，OP=(2)連接PA，設△POA的面積為S，當S=6時，求(3)當P在線段BO上運動時，是否存在一點P，使△PAC是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有P點的坐標以及此時對應的t【答案】(1)2(2)1或4(3)存在，P-3,0,t=1【分析】本題考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，分類討論思想．解題的關鍵是根據(jù)點P的不同位置進行分類討論．（1）由題意得t>52時，BP>5，再由（2）分點P在原點左側(cè)和原點右側(cè)兩種情況討論求解；（3）分AP=AC,PC=AC,AP=【詳解】（1）解：由題意，BP=2t，∴當t>52∴OP=2故答案為：2t（2）解：由題意，OA=4當點P在原點左側(cè)時，0≤t<2.5∴△POA的面積S由10-4t當點P在原點右側(cè)時，t>2.5，OP∴△POA的面積S由4t-10=6綜上，t的值為1或4；（3）解：存在，題意，分三種情況：①當AP=AC時，∵AO⊥∴PO=∴P-3,0，②當PC=AC時，∵AO⊥∴AC=5∴OP=PC-∴P-2,0，③當AP=PC時，設PO=a，則∴a+32=∴BP=5∴P-76綜上，P-3,0,t=16.坐標點的對稱變換錯誤：坐標點的對稱變換，經(jīng)常出現(xiàn)關于誰對稱則變誰的符號。比如錯誤認為（1,2）關于x軸對稱后是（﹣1,2），這是脫離坐標系實際情況的。注意：坐標點的對稱變換，要遵循“關誰對稱誰不變”，也就是當點關于x軸對稱時，橫坐標x的正負號不變；當點關于y軸對稱時，縱坐標y的正負號不變。例9（25-26八年級上·重慶·期中）平面直角坐標系中，點A1,m-3與點B1,n關于【答案】3【分析】本題考查了平面直角坐標系中關于x軸對稱的點的坐標特征，解題關鍵是掌握關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)．根據(jù)點A1,m-3與點B1,【詳解】∵點A1,m-3與點B∴縱坐標互為相反數(shù)，∴m∴m例10（25-26八年級上·四川瀘州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O(0,0)，點A(1)在圖中畫出△AOB關于y軸對稱的△DOE，其中A、B的對應點分別為D、E．寫出D、(2)請在x軸上作點F，使AF+【答案】(1)圖象見解析，D(2)圖象見解析【分析】（1）點關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可畫圖并求點的坐標；（2）A關于x軸的對稱點為A'，連接A'B，與x本題考查軸對稱的應用．【詳解】（1）解：如圖：D2,1（2）解：如圖，A關于x軸的對稱點為A'連接A'B，與x軸的交點即為所求點．7.坐標點的平移變換錯誤：點在平面直角坐標系上平移變換時，左右平移和上下平移時，橫坐標與縱坐標的數(shù)值變化混淆，且加或減一個數(shù)值也混淆。注意：坐標點的平移遵循“左減右加，上加下減”，詳見知識清單第6點。例11（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知點A1,0，B4,2，將線段AB平移至CD的位置，其中點C-2,1，則點【答案】1,3【分析】本題考查點的平移，根據(jù)點A1,0與點C【詳解】解：∵點A1,0的對應點C的坐標為-∴平移規(guī)律為橫坐標減3，縱坐標加1．∵點B4,2的對應點為點D∴點D的坐標為4-3,2+1，即故答案為：1,3．8.坐標系上關于點或圖形規(guī)律的問題錯誤：不能找到點的排布規(guī)律，總結(jié)不出橫坐標的規(guī)律和縱坐標的規(guī)律。注意：坐標系上點的規(guī)律，一般先看點的排列規(guī)則，然后分別總結(jié)橫坐標的數(shù)值規(guī)律和縱坐標的數(shù)值規(guī)律，一般橫坐標和縱坐標可以分別確定。但也有一些題目不是讓我們讀圖，而是通過文字描述尋找的規(guī)律，這時候我們要將每個變化后的點計算出來，至少計算前4個點的坐標，再總結(jié)規(guī)律。例12（24-25七年級下·四川德陽·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一巡查機器人接到指令，從原點O出發(fā)，沿O→A1→A2→A3→A【答案】1012,1【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標規(guī)律探究，解題的關鍵是識別點的移動周期，根據(jù)周期確定對應點的坐標特征．觀察已知點的坐標，發(fā)現(xiàn)每8個點為一個移動周期，分析周期內(nèi)點的坐標變化規(guī)律；用2025除以周期數(shù)8，通過商和余數(shù)確定A2025【詳解】解：由已知點坐標可知，點的移動以8個為一個周期，即A8k+1每個周期內(nèi)第1個點（余數(shù)為1）的坐標特征為A8∵2025÷8=253余1，即∴k=253∴A2025的x坐標=4×253=1012，y故答案為：1012,1．例13（25-26八年級上·黑龍江牡丹江·期中）如圖，Rt△ABO中，∠AOB=90°，A3,0，B0,4，AB=5，若△ABO≌△AB1C1≌△A1【答案】44,0【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，點的坐標的變化規(guī)律，找出點B的變化規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)題意可得B18,0，B212,5，B320,0，B424,5，……，得到當【詳解】解：∵A3,0，B∴OA=3，OB∵△ABO∴AB=AO=OB=∴B18,0，B212,5，∴當n為奇數(shù)時，Bn當n為偶數(shù)時，Bn∴當n=7時，8+6即B7故答案為：44,0．1．（25-26八年級上·江西九江·期中）在平面直角坐標系中，點P的坐標為-3,4，則點P到y(tǒng)軸的距離為（

A．3 B．4 C．5 D．-【答案】A【分析】本題考查點的坐標與距離的關系，點到y(tǒng)軸的距離等于該點橫坐標的絕對值，據(jù)此進行分析，即可作答．【詳解】解：∵點P的坐標為-3,4∴點P到y(tǒng)軸的距離為-3故選：A．2．（25-26八年級上·甘肅張掖·期中）在平面直角坐標系中，點-2,m-A．m＜3 B．m＞3 C．【答案】A【分析】本題考查平面直角坐標系中點的坐標特征，熟練掌握第三象限點的坐標特征是解題的關鍵．第三象限的點，橫坐標和縱坐標均為負數(shù)，據(jù)此即可解答．【詳解】∵點-2,∴橫坐標<0，縱坐標<0，∴m-3<0，即故選：A．3．（25-26八年級上·四川成都·期中）在平面直角坐標系xOy中，點A-5,3與點Bm-1,3關于yA．-6 B．6 C．-4 D【答案】B【分析】本題考查關于y軸對稱的點的坐標特征：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同．根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特征解答．【詳解】解：∵點A-5,3與點Bm∴點A與點B的縱坐標相同（均為3），橫坐標互為相反數(shù)．∴點B的橫坐標應等于點A橫坐標的相反數(shù)，即m-∴m=6故選：B．4．（25-26八年級上·貴州貴陽·期中）已知點Am，n和點B0，-3，若直線ABA．0 B．4或-4 C．12或-12 D．1【答案】C【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及平行于x軸的直線上點的坐標特征，熟記平行于x軸的直線上點的坐標特征是解決問題的關鍵．由AB∥x軸，可知點A與點B縱坐標相等；結(jié)合AB=4，利用兩點之間距離公式求點A【詳解】解：∵AB∥x軸，點Am∴n=∵AB=4，且AB∴m-即m=4∴m=當m=4時，mn當m=-4∴mn=故選：C．5．（25-26八年級上·貴州貴陽·期中）如圖，一動點按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點1,3，第2次運動到點2,0，第3次運動到點3,-1，……，按這樣的運動規(guī)律，則第2025次運動到點（A．2025,3 B．2025,0 C．2026,3 D．2025,【答案】A【分析】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，列出部分點的坐標，根據(jù)點的坐標變化找出規(guī)律“n,3【詳解】解：觀察，發(fā)現(xiàn)動點每4次為一個循環(huán)，點的坐標依次為“n,3∵2025=4×∴第2025次運動是第507次循環(huán)的第1次運動，∴第2025次運動的點的坐標是2025,3．故選：A．6．（江西省景德鎮(zhèn)市2025-2026學年上學期八年級期中考試數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，點P-2,x【答案】二【分析】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解題的關鍵．根據(jù)點的坐標符號判斷所在象限．【詳解】點P的橫坐標為-2縱坐標為x2由于x2≥0因此點P在第二象限．故答案為：二．7．（25-26八年級上·新疆喀什·期中）已知點P(2,4)，P、Q兩點關于x軸對稱，則點Q的點的坐標是【答案】(2,【分析】本題考查關于x軸對稱的點的坐標特征，掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特征，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點P2,4關于x軸對稱的點Q的橫坐標與P相同，為2；縱坐標與P的縱坐標互為相反數(shù)，為-故點Q的坐標為2,-故答案為2,-8．（25-26八年級上·陜西咸陽·期中）在平面直角坐標系中，若點Ma-2,a在y軸上，則點M關于【答案】(0,【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，熟練掌握y軸上點的橫坐標為0以及關于x軸對稱的點的坐標特征（橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)）是解題的關鍵．先根據(jù)點在y軸上的坐標特征求出a的值，確定點M的坐標，再依據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特征求出對稱點的坐標．【詳解】解：∵點M(a-∴a-解得a=2∴點M的坐標為(0,2)．點M關于x軸的對稱點，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，∴對稱點的坐標為(0,-故答案為：(0,-9．（25-26七年級上·湖南株洲·期中）如圖，輪船在燈塔的東偏、°方向上，距離燈塔千米．【答案】北3040【分析】本題考查了方位角和比例尺，掌握相關知識點是解題關鍵．根據(jù)圖形方位確定方位角，再根據(jù)比例尺求出距離，即可求解．【詳解】解：如圖，輪船在燈塔的東偏北30°距離為4×故答案為：北，30°，4010．（25-26八年級上·北京海淀·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0,4，點B的坐標為6,0，點C是x軸正半軸上的一個動點．連接AC，過點C作CD⊥AC，且CD（1）設點C的坐標為t,0，則點D的坐標為（2）當線段BD取最小值時，點C的坐標為．【答案】t+4,t/4+【分析】本題考查坐標與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點坐標距離公式、平方式的非負性等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關鍵．（1）過D作DH⊥x軸于H，證明得到OA=CH，DH=（2）利用兩點坐標公式得到BD=2t-1【詳解】解：（1）如圖，過D作DH⊥x軸于H，則∵CD⊥∴∠OAC=∠∴△AOC∴OA=CH，∵點A的坐標為0,4，點C的坐標為t,0，且點C是x∴OA=4，OC∴OH=OC+∴點D的坐標為t+4,故答案為：t（2）∵點B的坐標為6,0，∴BD==2∵t-12∴2t-1當t=1時，BD取得最小值，此時，點C的坐標為1,0故答案為：1,011．（25-26八年級上·重慶巴南·期中）在平面直角坐標系中，已知點P(1)當點P在y軸上時，求出點P的坐標；(2)當直線PA平行于x軸，且A(-4,(3)若點P到x軸，y軸距離相等，求m的值并寫出P點坐標．【答案】(1)點P的坐標為0,7(2)點P的坐標為-(3)m=-5或m=35【分析】本題考查了各象限以及坐標軸上點的坐標特點，熟練掌握坐標軸上點的坐標特征是解題的關鍵．（1）根據(jù)y軸上點的橫坐標為0列方程求出m的值，再求解即可；（2）根據(jù)平行于x軸上的直線上的點的縱坐標相等列方程求解m的值，再求解即可．（3）根據(jù)點P到x軸，y軸距離相等，則點的橫縱坐標的絕對值相等，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當點P2m-4,解得：m=2∴3∴點P的坐標為(0,7)．（2）解：∵PA平行于x軸，且A∴3解得：m=∴2∴點P的坐標為(-（3）解：∵點P2m-4,∴2m∴2m-4=3解得：m=-5或當m=2m則點P的坐標為-14,當m=352m則點P坐標為(-綜上所述，m=-5或m=35，點12．（25-26八年級上·廣東深圳·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A(1)在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1(2)求△ABC(3)判斷△ABC【答案】(1)-(2)5(3)△ABC【分析】本題考查作圖—軸對稱變換，坐標與圖形的變化—軸對稱，勾股定理及其逆定理．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．（1）先找出點B、C關于y軸對稱的點，然后依次連線即可，最后根據(jù)坐標系求出點C1（2）利用割補法求出△ABC（3）根據(jù)勾股定理求出三邊長，再根據(jù)勾股定理逆