多進(jìn)制LDPC碼編譯碼算法：從理論到硬件實(shí)現(xiàn)的深度剖析一、引言1.1研究背景與意義隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代通信系統(tǒng)在人們的生活和工作中扮演著日益重要的角色，從日常的移動(dòng)通信、互聯(lián)網(wǎng)接入，到衛(wèi)星通信、深空探測(cè)等領(lǐng)域，通信技術(shù)無(wú)處不在。在通信過(guò)程中，信號(hào)不可避免地會(huì)受到各種噪聲和干擾的影響，導(dǎo)致傳輸?shù)臄?shù)據(jù)出現(xiàn)錯(cuò)誤。為了保證信息的準(zhǔn)確傳輸，糾錯(cuò)碼技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。糾錯(cuò)碼能夠在接收端檢測(cè)和糾正傳輸過(guò)程中引入的錯(cuò)誤，從而提高通信系統(tǒng)的可靠性。低密度奇偶校驗(yàn)碼（Low-DensityParity-CheckCodes，LDPC碼）作為一種性能優(yōu)異的糾錯(cuò)碼，自1962年被提出后，尤其是在1996年被重新發(fā)現(xiàn)并結(jié)合迭代譯碼算法后，得到了廣泛的研究和應(yīng)用。LDPC碼具有接近香農(nóng)極限的優(yōu)異性能，編碼和譯碼復(fù)雜度低，以及良好的并行性等優(yōu)點(diǎn)，使其成為5G及未來(lái)通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，已被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星通信、光纖通信、無(wú)線通信等眾多通信系統(tǒng)中。在傳統(tǒng)的通信系統(tǒng)中，大多采用二進(jìn)制LDPC碼，其碼字元素僅由0和1組成。然而，隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，不同的應(yīng)用場(chǎng)景和需求對(duì)通信系統(tǒng)提出了更高的要求。例如，在一些對(duì)頻譜效率要求較高的場(chǎng)景下，二進(jìn)制LDPC碼可能無(wú)法滿足需求。多進(jìn)制LDPC碼作為L(zhǎng)DPC碼的推廣形式，允許使用更多的進(jìn)制數(shù)，如四進(jìn)制（QPSK調(diào)制）、八進(jìn)制或十六進(jìn)制等。在多進(jìn)制LDPC碼中，每個(gè)符號(hào)可以攜帶更多的信息比特，相比二進(jìn)制LDPC碼，在相同的數(shù)據(jù)傳輸速率下，多進(jìn)制LDPC碼可以降低傳輸?shù)姆?hào)率，從而降低系統(tǒng)的帶寬需求；或者在相同的帶寬內(nèi)，能夠傳輸更多的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步優(yōu)化了頻譜利用率和系統(tǒng)性能，更好地適應(yīng)不同的傳輸環(huán)境和碼長(zhǎng)需求。此外，在一些復(fù)雜的通信環(huán)境中，如深空通信、水下通信等，信號(hào)在傳輸過(guò)程中會(huì)經(jīng)歷嚴(yán)重的衰落和干擾，多進(jìn)制LDPC碼由于其自身的特性，在糾錯(cuò)性能上具有一定的優(yōu)勢(shì)，能夠更有效地抵抗噪聲和干擾，提高通信系統(tǒng)在惡劣環(huán)境下的可靠性。研究多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼算法及硬件實(shí)現(xiàn)具有重要的理論和實(shí)際意義。從理論層面來(lái)看，多進(jìn)制LDPC碼涉及到有限域理論、圖論等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，對(duì)其編譯碼算法的深入研究有助于拓展和深化這些數(shù)學(xué)理論在通信領(lǐng)域的應(yīng)用，推動(dòng)信息論和編碼理論的發(fā)展。從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，高效的多進(jìn)制LDPC碼編譯碼算法和硬件實(shí)現(xiàn)方案能夠顯著提升通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率、可靠性和穩(wěn)定性，滿足如5G通信、物聯(lián)網(wǎng)、高清視頻傳輸?shù)刃屡d應(yīng)用對(duì)通信性能的嚴(yán)苛要求，為這些領(lǐng)域的發(fā)展提供有力的技術(shù)支撐。同時(shí)，隨著集成電路技術(shù)的不斷進(jìn)步，將多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼算法進(jìn)行硬件實(shí)現(xiàn)，能夠降低通信設(shè)備的成本和功耗，提高設(shè)備的性能和競(jìng)爭(zhēng)力，具有廣闊的市場(chǎng)應(yīng)用前景。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀多進(jìn)制LDPC碼的研究在國(guó)內(nèi)外都受到了廣泛關(guān)注，取得了一系列有價(jià)值的成果。國(guó)外方面，早在20世紀(jì)末21世紀(jì)初，研究人員就開(kāi)始深入探索多進(jìn)制LDPC碼的理論基礎(chǔ)。如在2001年，Richardson等人在《IEEETransactionsonInformationTheory》上發(fā)表論文，對(duì)多進(jìn)制LDPC碼的度分布優(yōu)化進(jìn)行了研究，提出了基于EXIT圖的優(yōu)化方法，為多進(jìn)制LDPC碼的性能提升提供了理論指導(dǎo)。在編碼算法研究領(lǐng)域，2004年FossorierMPC在論文《Quasi-cycliclow-densityparity-checkcodesfromcirculantpermutationmatrices》中提出了基于循環(huán)置換矩陣構(gòu)造準(zhǔn)循環(huán)多進(jìn)制LDPC碼的方法，這種構(gòu)造方法在保證碼性能的同時(shí)，降低了編碼復(fù)雜度，提高了編碼效率。在譯碼算法方面，和積譯碼算法（Sum-ProductAlgorithm，SPA）和最小和譯碼算法（Min-SumAlgorithm）是多進(jìn)制LDPC碼中常用的譯碼算法。和積譯碼算法基于置信傳播思想，通過(guò)在Tanner圖上迭代傳遞消息來(lái)更新節(jié)點(diǎn)的置信度，從而實(shí)現(xiàn)譯碼，其譯碼性能優(yōu)異，但計(jì)算復(fù)雜度較高。最小和譯碼算法則是對(duì)和積譯碼算法的簡(jiǎn)化，通過(guò)近似計(jì)算降低了計(jì)算復(fù)雜度，但在一定程度上犧牲了譯碼性能。隨著研究的不斷深入，為了進(jìn)一步提高譯碼性能和降低復(fù)雜度，一些改進(jìn)的譯碼算法不斷涌現(xiàn)，如偏移最小和譯碼算法（OffsetMin-SumAlgorithm）等，通過(guò)引入偏移參數(shù)對(duì)最小和譯碼算法進(jìn)行優(yōu)化，在復(fù)雜度增加較小的情況下，提升了譯碼性能。在硬件實(shí)現(xiàn)方面，國(guó)外也開(kāi)展了大量的研究工作。例如，一些研究團(tuán)隊(duì)致力于設(shè)計(jì)高效的多進(jìn)制LDPC碼譯碼器架構(gòu)，采用并行處理技術(shù)和流水線技術(shù)，提高譯碼速度，降低譯碼延遲。如2010年，某研究小組設(shè)計(jì)了一種基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列（Field-ProgrammableGateArray，F(xiàn)PGA）的多進(jìn)制LDPC碼譯碼器，通過(guò)優(yōu)化硬件資源的利用和算法的實(shí)現(xiàn)，在保證譯碼性能的前提下，實(shí)現(xiàn)了高速譯碼。國(guó)內(nèi)對(duì)于多進(jìn)制LDPC碼的研究起步相對(duì)較晚，但發(fā)展迅速。近年來(lái)，眾多高校和科研機(jī)構(gòu)在多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼算法及硬件實(shí)現(xiàn)方面取得了顯著成果。在編譯碼算法研究上，國(guó)內(nèi)學(xué)者結(jié)合我國(guó)通信系統(tǒng)的實(shí)際需求，提出了一系列具有創(chuàng)新性的算法和方法。例如，王志明和李雪嬌在《多進(jìn)制LDPC碼的研究與實(shí)現(xiàn)》一文中，針對(duì)多進(jìn)制LDPC碼的編碼算法進(jìn)行了優(yōu)化，提出了一種改進(jìn)的生成矩陣法，該方法在保證編碼性能的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步降低了編碼復(fù)雜度，提高了編碼效率。在譯碼算法方面，研究人員對(duì)傳統(tǒng)的和積譯碼算法和最小和譯碼算法進(jìn)行改進(jìn)，以適應(yīng)不同的應(yīng)用場(chǎng)景。如通過(guò)對(duì)和積譯碼算法中的消息傳遞過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化，減少計(jì)算量，提高譯碼速度；或者對(duì)最小和譯碼算法的近似計(jì)算方式進(jìn)行改進(jìn)，提升譯碼性能。在多進(jìn)制LDPC碼的硬件實(shí)現(xiàn)方面，國(guó)內(nèi)也取得了不少進(jìn)展。許多研究團(tuán)隊(duì)針對(duì)不同的硬件平臺(tái)，如FPGA和專用集成電路（Application-SpecificIntegratedCircuit，ASIC），進(jìn)行了多進(jìn)制LDPC碼譯碼器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。通過(guò)合理的硬件架構(gòu)設(shè)計(jì)和算法優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了高性能、低功耗的多進(jìn)制LDPC碼譯碼器。例如，某研究團(tuán)隊(duì)在2018年基于ASIC實(shí)現(xiàn)了一款多進(jìn)制LDPC碼譯碼器，該譯碼器采用了并行處理和流水線技術(shù)，在保證譯碼性能的同時(shí)，大幅提高了譯碼速度，滿足了高速通信系統(tǒng)的需求。盡管?chē)?guó)內(nèi)外在多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼算法及硬件實(shí)現(xiàn)方面取得了豐碩的成果，但仍存在一些不足之處和有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。在編譯碼算法方面，雖然已經(jīng)提出了多種算法，但在譯碼性能和譯碼復(fù)雜度之間的平衡問(wèn)題上，仍需進(jìn)一步探索更優(yōu)的解決方案。特別是在一些對(duì)譯碼速度要求極高的應(yīng)用場(chǎng)景下，如何在不顯著降低譯碼性能的前提下，進(jìn)一步降低譯碼復(fù)雜度，提高譯碼效率，是亟待解決的問(wèn)題。此外，對(duì)于多進(jìn)制LDPC碼在不同信道環(huán)境下的適應(yīng)性研究還不夠深入，不同的信道具有不同的噪聲特性和衰落特性，如何根據(jù)信道特點(diǎn)選擇合適的多進(jìn)制LDPC碼編譯碼算法，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的通信性能，還需要更多的研究工作。在硬件實(shí)現(xiàn)方面，雖然已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了基于FPGA和ASIC的多進(jìn)制LDPC碼譯碼器，但在硬件資源利用率、功耗以及可擴(kuò)展性等方面，仍有提升的空間。例如，如何進(jìn)一步優(yōu)化硬件架構(gòu)，提高硬件資源的利用率，降低譯碼器的功耗，以滿足移動(dòng)設(shè)備等對(duì)功耗要求嚴(yán)格的應(yīng)用場(chǎng)景；如何設(shè)計(jì)具有良好可擴(kuò)展性的硬件架構(gòu)，以便能夠方便地適應(yīng)不同碼長(zhǎng)、不同進(jìn)制數(shù)的多進(jìn)制LDPC碼譯碼需求，也是未來(lái)研究的重要方向。1.3研究?jī)?nèi)容與創(chuàng)新點(diǎn)本文圍繞多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼算法展開(kāi)研究，并實(shí)現(xiàn)其硬件架構(gòu)，具體內(nèi)容如下：多進(jìn)制LDPC碼基礎(chǔ)理論研究：深入剖析多進(jìn)制LDPC碼的定義、原理及特性，詳細(xì)闡述其與二進(jìn)制LDPC碼在編碼結(jié)構(gòu)、校驗(yàn)矩陣構(gòu)造、Tanner圖表示等方面的異同。深入研究有限域理論在多進(jìn)制LDPC碼中的應(yīng)用，明確不同進(jìn)制下的運(yùn)算規(guī)則對(duì)編碼性能的影響，為后續(xù)算法研究奠定堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)。多進(jìn)制LDPC碼編碼算法研究：對(duì)現(xiàn)有多進(jìn)制LDPC碼編碼算法，如生成矩陣法、消息傳遞法等，進(jìn)行深入分析與優(yōu)化。針對(duì)生成矩陣法，通過(guò)改進(jìn)矩陣構(gòu)造方式，降低編碼復(fù)雜度，提高編碼效率；對(duì)于消息傳遞法，優(yōu)化消息傳遞規(guī)則，減少迭代次數(shù)，提升編碼速度。提出一種新的混合編碼算法，結(jié)合生成矩陣法和消息傳遞法的優(yōu)勢(shì)，根據(jù)不同的碼長(zhǎng)和碼率需求，自適應(yīng)地選擇編碼策略，在保證編碼性能的前提下，進(jìn)一步提高編碼的靈活性和效率。多進(jìn)制LDPC碼譯碼算法研究：系統(tǒng)研究和積譯碼算法、最小和譯碼算法等經(jīng)典譯碼算法在多進(jìn)制LDPC碼中的應(yīng)用，分析它們?cè)诓煌诺拉h(huán)境下的性能表現(xiàn)。對(duì)傳統(tǒng)譯碼算法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于改進(jìn)置信傳播的譯碼算法。該算法通過(guò)引入動(dòng)態(tài)消息更新機(jī)制，根據(jù)信道噪聲特性和譯碼迭代次數(shù)，動(dòng)態(tài)調(diào)整消息傳遞的權(quán)重和步長(zhǎng)，提高譯碼算法對(duì)不同信道的適應(yīng)性，在降低譯碼復(fù)雜度的同時(shí)，提升譯碼性能。多進(jìn)制LDPC碼硬件實(shí)現(xiàn)研究：基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列（FPGA）平臺(tái)，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼器。在硬件架構(gòu)設(shè)計(jì)上，采用并行處理和流水線技術(shù)，提高編譯碼速度，降低譯碼延遲。優(yōu)化硬件資源的利用，通過(guò)合理分配邏輯單元、存儲(chǔ)單元等資源，在有限的硬件資源條件下，實(shí)現(xiàn)高性能的編譯碼功能。針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景，如衛(wèi)星通信、無(wú)線通信等，對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)方案進(jìn)行定制化設(shè)計(jì)，滿足不同場(chǎng)景對(duì)編譯碼器性能、功耗和成本的要求。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：提出新的混合編碼算法：打破傳統(tǒng)編碼算法單一模式的局限，創(chuàng)新性地將生成矩陣法和消息傳遞法相結(jié)合，提出自適應(yīng)混合編碼算法。該算法能夠根據(jù)實(shí)際編碼需求動(dòng)態(tài)調(diào)整編碼策略，有效提高編碼效率和靈活性，為多進(jìn)制LDPC碼編碼算法的發(fā)展提供了新的思路。改進(jìn)譯碼算法：通過(guò)引入動(dòng)態(tài)消息更新機(jī)制，對(duì)傳統(tǒng)的基于置信傳播的譯碼算法進(jìn)行深度改進(jìn)。這種改進(jìn)使得譯碼算法能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜多變的信道環(huán)境，在譯碼性能和譯碼復(fù)雜度之間實(shí)現(xiàn)了更優(yōu)的平衡，相較于傳統(tǒng)譯碼算法，在誤碼率性能上有顯著提升。硬件實(shí)現(xiàn)優(yōu)化：在多進(jìn)制LDPC碼的硬件實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，不僅采用并行處理和流水線技術(shù)提升編譯碼速度，還針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行定制化硬件架構(gòu)設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)理念充分考慮了實(shí)際應(yīng)用中的性能、功耗和成本等多方面因素，為多進(jìn)制LDPC碼在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用提供了有力的硬件支持，提高了硬件實(shí)現(xiàn)方案的實(shí)用性和可擴(kuò)展性。二、多進(jìn)制LDPC碼基本原理2.1LDPC碼基礎(chǔ)2.1.1LDPC碼定義與特性低密度奇偶校驗(yàn)碼（LDPC碼）本質(zhì)上是一種線性分組碼，其定義基于一個(gè)稀疏的校驗(yàn)矩陣。在通信系統(tǒng)中，編碼的目的是將信息序列通過(guò)特定的規(guī)則轉(zhuǎn)化為碼字序列，以便在信道中傳輸。對(duì)于線性分組碼而言，存在一個(gè)生成矩陣G，通過(guò)它可以將信息序列\(zhòng)mathbf{u}映射成發(fā)送序列\(zhòng)mathbf{c}，即\mathbf{c}=\mathbf{u}\cdotG。同時(shí)，與生成矩陣G完全等效地存在一個(gè)奇偶校驗(yàn)矩陣H，所有的碼字序列\(zhòng)mathbf{c}都滿足\mathbf{H}\cdot\mathbf{c}^T=\mathbf{0}，也就是說(shuō)，碼字序列\(zhòng)mathbf{c}構(gòu)成了校驗(yàn)矩陣H的零空間。LDPC碼的獨(dú)特之處在于其校驗(yàn)矩陣H具有稀疏性，即相對(duì)于矩陣的行數(shù)和列數(shù)，矩陣中每行、列中非零元素的數(shù)目非常少。這種稀疏性對(duì)LDPC碼的編譯碼復(fù)雜度和糾錯(cuò)性能有著重要影響。從編碼復(fù)雜度角度來(lái)看，稀疏的校驗(yàn)矩陣使得編碼過(guò)程中的計(jì)算量大幅減少。以傳統(tǒng)的線性分組碼編碼為例，若校驗(yàn)矩陣非稀疏，編碼時(shí)可能涉及大量的矩陣乘法和加法運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度較高。而LDPC碼由于校驗(yàn)矩陣稀疏，在編碼過(guò)程中可以利用這種特性，采用一些特殊的算法和結(jié)構(gòu)，降低編碼所需的計(jì)算資源和時(shí)間，例如通過(guò)對(duì)校驗(yàn)矩陣進(jìn)行預(yù)處理，將其轉(zhuǎn)化為特定的形式，從而減少編碼過(guò)程中的乘法和加法次數(shù)。在譯碼方面，稀疏校驗(yàn)矩陣同樣帶來(lái)了優(yōu)勢(shì)。LDPC碼常用的迭代譯碼算法，如置信傳播（BP）算法及其衍生算法，正是基于校驗(yàn)矩陣的稀疏性得以高效實(shí)現(xiàn)。在迭代譯碼過(guò)程中，消息在變量節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)碼字中的比特）和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)校驗(yàn)方程）之間傳遞，由于校驗(yàn)矩陣稀疏，每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接的邊較少，這意味著每次迭代時(shí)需要處理的消息數(shù)量有限，大大降低了譯碼的計(jì)算復(fù)雜度。與一些非稀疏校驗(yàn)矩陣的碼相比，LDPC碼在迭代譯碼時(shí)能夠在更短的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算，并且在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，所需的存儲(chǔ)資源和邏輯單元也更少。在糾錯(cuò)性能方面，校驗(yàn)矩陣的稀疏性對(duì)LDPC碼有著雙重影響。一方面，稀疏的校驗(yàn)矩陣有助于減少二分圖（Tanner圖，用于表示LDPC碼的結(jié)構(gòu)，后續(xù)會(huì)詳細(xì)介紹）中的短環(huán)（如4環(huán)、6環(huán)等）數(shù)量。短環(huán)的存在會(huì)導(dǎo)致迭代譯碼過(guò)程中消息的錯(cuò)誤傳遞和累積，從而影響譯碼性能，增加誤碼率。LDPC碼通過(guò)合理設(shè)計(jì)校驗(yàn)矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)，降低短環(huán)出現(xiàn)的概率，使得消息在迭代過(guò)程中能夠更準(zhǔn)確地傳遞，從而提高糾錯(cuò)性能。另一方面，適當(dāng)?shù)南∈栊赃€能使LDPC碼在碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)，碼字中各個(gè)比特之間的關(guān)聯(lián)性增強(qiáng)，通過(guò)迭代譯碼算法能夠充分利用這些關(guān)聯(lián)信息，進(jìn)一步提高糾錯(cuò)能力，使其性能逼近香農(nóng)極限。例如，在一些深空通信場(chǎng)景中，信號(hào)在傳輸過(guò)程中會(huì)受到各種復(fù)雜噪聲和干擾的影響，采用LDPC碼進(jìn)行編碼，其基于稀疏校驗(yàn)矩陣的特性和迭代譯碼算法，能夠在接收端有效地檢測(cè)和糾正錯(cuò)誤，保證信息的準(zhǔn)確傳輸。根據(jù)校驗(yàn)矩陣H中元素取值的不同，LDPC碼可分為二元域LDPC碼和多元域LDPC碼。二元域LDPC碼的校驗(yàn)矩陣元素僅取值為0和1，運(yùn)算在二元域GF(2)上進(jìn)行，這是最常見(jiàn)的形式，在許多傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。而多元域LDPC碼的校驗(yàn)矩陣元素取自有限域GF(q)，其中q\gt2，例如q=4,8,16等。相比于二元域LDPC碼，多元域LDPC碼在某些方面具有優(yōu)勢(shì)。在頻譜效率方面，多元域LDPC碼每個(gè)符號(hào)可以攜帶更多的信息比特，在相同的數(shù)據(jù)傳輸速率下，能夠降低傳輸?shù)姆?hào)率，從而降低系統(tǒng)的帶寬需求；或者在相同的帶寬內(nèi)，能夠傳輸更多的數(shù)據(jù)，提高頻譜利用率。在抗突發(fā)錯(cuò)誤能力上，由于多元域LDPC碼可以將多個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤合并成較少的多元符號(hào)錯(cuò)誤，因此在面對(duì)突發(fā)噪聲干擾的信道環(huán)境時(shí)，表現(xiàn)出比二元域LDPC碼更強(qiáng)的抗干擾能力。然而，多元域LDPC碼也存在一些挑戰(zhàn)，如在編譯碼過(guò)程中，由于涉及到有限域GF(q)上的復(fù)雜運(yùn)算，其編譯碼復(fù)雜度相對(duì)較高，需要更復(fù)雜的算法和硬件資源來(lái)實(shí)現(xiàn)。2.1.2Tanner圖表示Tanner圖是一種用于直觀表示LDPC碼校驗(yàn)矩陣的二分圖結(jié)構(gòu)，由Tanner在1981年提出，它為理解LDPC碼的編碼結(jié)構(gòu)和迭代譯碼算法提供了有力的工具。在Tanner圖中，包含兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)：變量節(jié)點(diǎn)（VariableNode）和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)（CheckNode）。變量節(jié)點(diǎn)的數(shù)量等于LDPC碼的碼長(zhǎng)n，每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)矩陣H的一列，代表碼字中的一個(gè)比特；校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量等于校驗(yàn)矩陣H的行數(shù)m，每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)矩陣H的一行，表示一個(gè)校驗(yàn)方程。如果校驗(yàn)矩陣H中的某一元素H_{ij}不為零，則在Tanner圖中存在一條邊連接第i個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)變量節(jié)點(diǎn)，這條邊表示該變量節(jié)點(diǎn)參與了對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)方程。以一個(gè)簡(jiǎn)單的(7,4)LDPC碼為例，其校驗(yàn)矩陣H為：H=\begin{bmatrix}1&1&0&1&1&0&0\\1&0&1&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0&1\end{bmatrix}對(duì)應(yīng)的Tanner圖如圖1所示，圖中圓形節(jié)點(diǎn)表示變量節(jié)點(diǎn)，方形節(jié)點(diǎn)表示校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，連接節(jié)點(diǎn)的邊表示校驗(yàn)矩陣中的非零元素。通過(guò)Tanner圖，可以清晰地看到變量節(jié)點(diǎn)與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系，以及每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)參與的校驗(yàn)方程。在Tanner圖中，節(jié)點(diǎn)的度是一個(gè)重要概念。變量節(jié)點(diǎn)的度定義為與該變量節(jié)點(diǎn)相連的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度定義為與該校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的變量節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。節(jié)點(diǎn)度的分布對(duì)LDPC碼的性能有著顯著影響。在正則LDPC碼中，所有變量節(jié)點(diǎn)的度相同，記為d_v，所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度也相同，記為d_c。例如，對(duì)于一個(gè)(n,d_v,d_c)正則LDPC碼，其每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)連接d_v個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接d_c個(gè)變量節(jié)點(diǎn)。正則LDPC碼的度分布相對(duì)均勻，在一定程度上便于分析和設(shè)計(jì)。然而，研究發(fā)現(xiàn)，非正則LDPC碼在性能上往往優(yōu)于正則LDPC碼。非正則LDPC碼中，變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度可以有不同的分布，通過(guò)合理設(shè)計(jì)這種非均勻的度分布，可以使LDPC碼在不同的信道條件下獲得更好的性能。在高信噪比環(huán)境下，適當(dāng)增加高權(quán)重校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)（即度較大的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)）的比例，可以提高譯碼性能；而在低信噪比環(huán)境下，調(diào)整變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布，使得消息傳遞更加有效，有助于提升碼的糾錯(cuò)能力。Tanner圖中的環(huán)也是影響LDPC碼性能的關(guān)鍵因素。環(huán)是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)若干條邊后又回到該節(jié)點(diǎn)的路徑，環(huán)的長(zhǎng)度定義為路徑中邊的數(shù)量。短環(huán)（如4環(huán)、6環(huán)等）的存在會(huì)對(duì)迭代譯碼算法產(chǎn)生負(fù)面影響。在迭代譯碼過(guò)程中，消息在變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間傳遞，若存在短環(huán)，會(huì)導(dǎo)致消息在短環(huán)內(nèi)循環(huán)傳遞，使得迭代過(guò)程中信息無(wú)法有效更新，從而影響譯碼的收斂速度和性能，增加誤碼率。因此，在設(shè)計(jì)LDPC碼的校驗(yàn)矩陣和Tanner圖時(shí)，通常需要采取措施盡量減少短環(huán)的數(shù)量，以提高LDPC碼的性能。例如，可以通過(guò)優(yōu)化校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造方法，避免出現(xiàn)短環(huán)結(jié)構(gòu)；或者在迭代譯碼算法中，引入一些機(jī)制來(lái)抑制短環(huán)對(duì)消息傳遞的影響。Tanner圖不僅有助于理解LDPC碼的結(jié)構(gòu)和性能，還為L(zhǎng)DPC碼的迭代譯碼算法提供了直觀的可視化表示。在基于Tanner圖的迭代譯碼算法（如置信傳播算法）中，消息在變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間沿著邊進(jìn)行傳遞和更新，通過(guò)Tanner圖可以清晰地看到消息傳遞的路徑和過(guò)程，便于分析和優(yōu)化譯碼算法。在硬件實(shí)現(xiàn)方面，Tanner圖的結(jié)構(gòu)也為設(shè)計(jì)高效的LDPC碼譯碼器硬件架構(gòu)提供了指導(dǎo)，通過(guò)合理利用Tanner圖中節(jié)點(diǎn)和邊的關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)并行處理和流水線操作，提高譯碼速度，降低譯碼延遲。2.2多進(jìn)制LDPC碼原理2.2.1多進(jìn)制LDPC碼定義多進(jìn)制LDPC碼，又被稱為非二進(jìn)制LDPC碼，其編碼原理與二進(jìn)制LDPC碼相似，同樣基于線性分組碼理論，依賴稀疏校驗(yàn)矩陣實(shí)現(xiàn)編碼與譯碼操作。但多進(jìn)制LDPC碼的顯著特點(diǎn)在于，它是基于高階有限域GF(q)進(jìn)行定義的，其中q為大于2的素?cái)?shù)冪，即q=p^m，p為素?cái)?shù)，m為正整數(shù)。在多進(jìn)制LDPC碼中，碼字符號(hào)的取值來(lái)自有限域GF(q)，這使得每個(gè)符號(hào)能夠攜帶更多的信息比特。以四進(jìn)制（q=4）為例，在二進(jìn)制系統(tǒng)中，每個(gè)比特只能表示0或1兩種狀態(tài)，而在四進(jìn)制系統(tǒng)中，每個(gè)符號(hào)可以表示log_24=2比特的信息，這意味著在相同的數(shù)據(jù)傳輸速率下，多進(jìn)制LDPC碼可以降低傳輸?shù)姆?hào)率，從而降低系統(tǒng)的帶寬需求；或者在相同的帶寬內(nèi)，能夠傳輸更多的數(shù)據(jù)，提高了頻譜利用率。多進(jìn)制LDPC碼的校驗(yàn)矩陣H同樣是一個(gè)稀疏矩陣，其元素取值來(lái)自有限域GF(q)。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為n，信息位長(zhǎng)度為k的多進(jìn)制LDPC碼，校驗(yàn)矩陣H的大小為(n-k)×n。與二進(jìn)制LDPC碼類(lèi)似，多進(jìn)制LDPC碼的碼字\mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n)滿足校驗(yàn)方程\mathbf{H}\cdot\mathbf{c}^T=\mathbf{0}，這里的運(yùn)算均在有限域GF(q)上進(jìn)行。例如，在GF(4)上的一個(gè)多進(jìn)制LDPC碼，有限域GF(4)中的元素可以表示為\{0,1,\alpha,\alpha+1\}，其中\(zhòng)alpha是有限域GF(4)的本原元，滿足\alpha^2=\alpha+1。假設(shè)校驗(yàn)矩陣H中的某一行元素為[1,\alpha,0,\alpha+1]，對(duì)應(yīng)的碼字元素為[c_1,c_2,c_3,c_4]，則該校驗(yàn)方程為1\cdotc_1+\alpha\cdotc_2+0\cdotc_3+(\alpha+1)\cdotc_4=0，這里的乘法和加法運(yùn)算都遵循有限域GF(4)的運(yùn)算規(guī)則。在有限域GF(4)中，1\cdotc_1=c_1，\alpha\cdotc_2根據(jù)\alpha與c_2的具體取值按照規(guī)則計(jì)算，加法運(yùn)算也類(lèi)似。這種基于高階有限域的運(yùn)算方式，使得多進(jìn)制LDPC碼在編碼和譯碼過(guò)程中，相較于二進(jìn)制LDPC碼，需要處理更為復(fù)雜的運(yùn)算關(guān)系，但也為其帶來(lái)了獨(dú)特的性能優(yōu)勢(shì)。2.2.2多進(jìn)制LDPC碼Tanner圖與度分布多進(jìn)制LDPC碼同樣可以通過(guò)Tanner圖來(lái)直觀地表示其結(jié)構(gòu)，Tanner圖在分析多進(jìn)制LDPC碼的性能和譯碼算法中起著重要作用。與二進(jìn)制LDPC碼的Tanner圖類(lèi)似，多進(jìn)制LDPC碼的Tanner圖也是一個(gè)二分圖，包含變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)。變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于碼字中的符號(hào)，數(shù)量等于碼長(zhǎng)n；校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)方程，數(shù)量等于校驗(yàn)矩陣H的行數(shù)m。如果校驗(yàn)矩陣H中的元素H_{ij}\neq0，則在Tanner圖中存在一條邊連接第i個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)變量節(jié)點(diǎn)。在多進(jìn)制LDPC碼的Tanner圖中，節(jié)點(diǎn)的度分布對(duì)碼的性能有著顯著影響。變量節(jié)點(diǎn)的度是指與該變量節(jié)點(diǎn)相連的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度是指與該校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的變量節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。度分布描述了不同度的變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)在Tanner圖中的比例關(guān)系。對(duì)于正則多進(jìn)制LDPC碼，所有變量節(jié)點(diǎn)的度相同，記為d_v，所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度也相同，記為d_c。在實(shí)際應(yīng)用中，非正則多進(jìn)制LDPC碼往往能夠獲得更好的性能。非正則多進(jìn)制LDPC碼的度分布更為靈活，通過(guò)合理設(shè)計(jì)不同度的變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的比例，可以使碼在不同的信道條件下更好地適應(yīng)噪聲和干擾，提高糾錯(cuò)性能。在高斯信道下，適當(dāng)增加高權(quán)重校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)（即度較大的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)）的比例，可以增強(qiáng)對(duì)噪聲的抵抗能力，提高譯碼的準(zhǔn)確性；而在衰落信道中，調(diào)整變量節(jié)點(diǎn)的度分布，使得信息在迭代譯碼過(guò)程中能夠更有效地傳遞，有助于提升碼的性能。Tanner圖中的環(huán)同樣是影響多進(jìn)制LDPC碼性能的關(guān)鍵因素。環(huán)是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)若干條邊后又回到該節(jié)點(diǎn)的路徑，環(huán)的長(zhǎng)度定義為路徑中邊的數(shù)量。短環(huán)（如4環(huán)、6環(huán)等）的存在會(huì)對(duì)迭代譯碼算法產(chǎn)生負(fù)面影響。在多進(jìn)制LDPC碼的迭代譯碼過(guò)程中，消息在變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間沿著邊傳遞，若存在短環(huán)，消息會(huì)在短環(huán)內(nèi)循環(huán)傳遞，導(dǎo)致迭代過(guò)程中信息無(wú)法有效更新，從而影響譯碼的收斂速度和性能，增加誤碼率。因此，在設(shè)計(jì)多進(jìn)制LDPC碼的校驗(yàn)矩陣和Tanner圖時(shí)，需要采取措施盡量減少短環(huán)的數(shù)量?？梢酝ㄟ^(guò)優(yōu)化校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造方法，避免出現(xiàn)短環(huán)結(jié)構(gòu)；或者在迭代譯碼算法中，引入一些機(jī)制來(lái)抑制短環(huán)對(duì)消息傳遞的影響。例如，在構(gòu)造校驗(yàn)矩陣時(shí)，可以采用基于有限幾何、組合設(shè)計(jì)等方法，這些方法能夠有效地控制短環(huán)的出現(xiàn)，從而提高多進(jìn)制LDPC碼的性能。2.2.3多進(jìn)制LDPC碼與二進(jìn)制LDPC碼比較多進(jìn)制LDPC碼與二進(jìn)制LDPC碼在多個(gè)方面存在差異，這些差異決定了它們?cè)诓煌瑧?yīng)用場(chǎng)景中的適用性。在編碼效率方面，多進(jìn)制LDPC碼具有明顯優(yōu)勢(shì)。由于多進(jìn)制LDPC碼每個(gè)符號(hào)可以攜帶多個(gè)信息比特，在相同的信息傳輸速率下，多進(jìn)制LDPC碼所需傳輸?shù)姆?hào)數(shù)比二進(jìn)制LDPC碼少。以四進(jìn)制LDPC碼為例，每個(gè)符號(hào)攜帶2比特信息，相比二進(jìn)制LDPC碼每個(gè)符號(hào)僅攜帶1比特信息，在傳輸相同信息量時(shí)，四進(jìn)制LDPC碼的符號(hào)傳輸速率可以降低一半。這意味著在帶寬受限的通信系統(tǒng)中，多進(jìn)制LDPC碼能夠更有效地利用帶寬資源，提高系統(tǒng)的頻譜效率。在衛(wèi)星通信中，由于衛(wèi)星信道的帶寬資源非常寶貴，采用多進(jìn)制LDPC碼可以在有限的帶寬內(nèi)傳輸更多的數(shù)據(jù)，滿足衛(wèi)星通信對(duì)高速率數(shù)據(jù)傳輸?shù)男枨?。在糾錯(cuò)性能上，多進(jìn)制LDPC碼和二進(jìn)制LDPC碼各有特點(diǎn)。在低信噪比環(huán)境下，二進(jìn)制LDPC碼由于其簡(jiǎn)單的運(yùn)算規(guī)則和成熟的譯碼算法，能夠較快地收斂，具有較好的糾錯(cuò)性能。然而，在高信噪比環(huán)境下，多進(jìn)制LDPC碼表現(xiàn)出更強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。多進(jìn)制LDPC碼基于高階有限域的運(yùn)算，能夠更好地利用符號(hào)之間的相關(guān)性，對(duì)突發(fā)錯(cuò)誤具有更強(qiáng)的抵抗能力。在深空通信中，信號(hào)在傳輸過(guò)程中會(huì)受到宇宙噪聲和各種干擾的影響，容易產(chǎn)生突發(fā)錯(cuò)誤，多進(jìn)制LDPC碼可以將多個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤合并成較少的多進(jìn)制符號(hào)錯(cuò)誤，通過(guò)迭代譯碼算法能夠更有效地糾正這些錯(cuò)誤，保證信息的準(zhǔn)確傳輸。從編譯碼復(fù)雜度來(lái)看，多進(jìn)制LDPC碼的編譯碼復(fù)雜度相對(duì)較高。多進(jìn)制LDPC碼涉及有限域GF(q)上的復(fù)雜運(yùn)算，在編碼過(guò)程中，需要進(jìn)行有限域上的矩陣乘法和加法運(yùn)算，這些運(yùn)算的復(fù)雜度隨著q的增大而增加。在譯碼方面，多進(jìn)制LDPC碼常用的和積譯碼算法（SPA）和最小和譯碼算法（Min-Sum）等，在計(jì)算消息傳遞和更新節(jié)點(diǎn)置信度時(shí)，需要進(jìn)行更多的復(fù)雜運(yùn)算，相比二進(jìn)制LDPC碼的譯碼算法，計(jì)算量更大。例如，在二進(jìn)制LDPC碼的和積譯碼算法中，消息傳遞主要涉及簡(jiǎn)單的異或運(yùn)算，而在多進(jìn)制LDPC碼中，需要進(jìn)行有限域上的乘法和加法運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度顯著提高。這使得多進(jìn)制LDPC碼在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，對(duì)硬件資源的需求更大，實(shí)現(xiàn)難度更高。多進(jìn)制LDPC碼適用于對(duì)頻譜效率要求較高、信道環(huán)境復(fù)雜且對(duì)糾錯(cuò)性能有較高要求的場(chǎng)景，如5G通信中的高頻段通信、衛(wèi)星通信、深空通信等。而二進(jìn)制LDPC碼則更適合在低信噪比環(huán)境下，對(duì)編譯碼復(fù)雜度要求較低的場(chǎng)景，如一些傳統(tǒng)的無(wú)線通信系統(tǒng)。三、多進(jìn)制LDPC碼編碼算法3.1生成矩陣法3.1.1原理與步驟生成矩陣法是多進(jìn)制LDPC碼編碼的一種基礎(chǔ)方法，其核心思想是基于線性分組碼的特性，通過(guò)校驗(yàn)矩陣H來(lái)生成生成矩陣G，進(jìn)而對(duì)信息位進(jìn)行編碼得到碼字。首先，對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為n，信息位長(zhǎng)度為k的多進(jìn)制LDPC碼，其校驗(yàn)矩陣H是一個(gè)大小為(n-k)×n的稀疏矩陣，元素取值來(lái)自有限域GF(q)。為了便于編碼操作，通常需要將校驗(yàn)矩陣H轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)形式。通過(guò)高斯消元法等方法，可以將H變換為H=[P^T|I_{n-k}]的形式，其中P^T是一個(gè)(n-k)×k的矩陣，I_{n-k}是一個(gè)(n-k)×(n-k)的單位矩陣。基于變換后的校驗(yàn)矩陣，生成矩陣G可以表示為G=[I_k|P]，其中I_k是一個(gè)k×k的單位矩陣。這樣，生成矩陣G的大小為k×n。在有限域GF(q)中，信息位向量\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_k)，其中u_i\inGF(q)，通過(guò)矩陣乘法\mathbf{c}=\mathbf{u}\cdotG，即可得到碼字\mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n)。具體步驟如下：校驗(yàn)矩陣系統(tǒng)化：對(duì)給定的校驗(yàn)矩陣H進(jìn)行高斯消元等操作，將其轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)形式H=[P^T|I_{n-k}]。在有限域GF(q)上進(jìn)行高斯消元時(shí)，需要注意運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣運(yùn)算的差異。對(duì)于GF(4)上的矩陣運(yùn)算，其加法和乘法都要遵循GF(4)的運(yùn)算規(guī)則，1+\alpha=\alpha+1，1\cdot\alpha=\alpha等。在進(jìn)行行變換和列變換時(shí)，要確保矩陣的秩不變，且變換后的矩陣仍然滿足多進(jìn)制LDPC碼的校驗(yàn)要求。生成矩陣構(gòu)造：根據(jù)系統(tǒng)化后的校驗(yàn)矩陣，構(gòu)造生成矩陣G=[I_k|P]。編碼計(jì)算：將信息位向量\mathbf{u}與生成矩陣G進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算，即\mathbf{c}=\mathbf{u}\cdotG。在計(jì)算過(guò)程中，按照有限域GF(q)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算。對(duì)于GF(8)上的編碼計(jì)算，若\mathbf{u}=[1,\alpha,\alpha^2]，G中的某一行元素為[\alpha^3,1,\alpha^5]，則\mathbf{c}中對(duì)應(yīng)元素的計(jì)算為1\cdot\alpha^3+\alpha\cdot1+\alpha^2\cdot\alpha^5，按照GF(8)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算得到結(jié)果。通過(guò)這樣的計(jì)算，最終得到完整的碼字\mathbf{c}。3.1.2算法實(shí)例分析為了更直觀地理解生成矩陣法的編碼過(guò)程，下面以一個(gè)具體的多進(jìn)制LDPC碼為例進(jìn)行分析。假設(shè)我們有一個(gè)基于有限域GF(4)的(7,4)多進(jìn)制LDPC碼，其校驗(yàn)矩陣H為：H=\begin{bmatrix}1&1&0&1&1&0&0\\1&0&1&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0&1\end{bmatrix}這里的元素取值來(lái)自有限域GF(4)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\}，其中\(zhòng)alpha是本原元，滿足\alpha^2=\alpha+1。首先，對(duì)校驗(yàn)矩陣H進(jìn)行系統(tǒng)化處理。通過(guò)有限域GF(4)上的高斯消元法，將H轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)形式H=[P^T|I_{3}]。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到P^T為：P^T=\begin{bmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\0&1&1&1\end{bmatrix}則生成矩陣G=[I_4|P]為：G=\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\end{bmatrix}假設(shè)信息位向量\mathbf{u}=[1,\alpha,0,\alpha+1]，在有限域GF(4)上進(jìn)行編碼計(jì)算\mathbf{c}=\mathbf{u}\cdotG。\begin{align*}\mathbf{c}&=[1,\alpha,0,\alpha+1]\cdot\begin{bmatrix}1&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\end{bmatrix}\\&=[1\cdot1+\alpha\cdot0+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot0,1\cdot0+\alpha\cdot1+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot0,1\cdot0+\alpha\cdot0+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot0,1\cdot0+\alpha\cdot0+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot1,1\cdot1+\alpha\cdot1+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot1,1\cdot1+\alpha\cdot0+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot1,1\cdot0+\alpha\cdot1+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot1]\end{align*}按照有限域GF(4)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算：\begin{align*}1\cdot1+\alpha\cdot0+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot0&=1\\1\cdot0+\alpha\cdot1+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot0&=\alpha\\1\cdot0+\alpha\cdot0+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot0&=0\\1\cdot0+\alpha\cdot0+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot1&=\alpha+1\\1\cdot1+\alpha\cdot1+0\cdot0+(\alpha+1)\cdot1&=1+\alpha+(\alpha+1)=1+\alpha+\alpha+1=\alpha^2+\alpha^2=0\\1\cdot1+\alpha\cdot0+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot1&=1+(\alpha+1)=\alpha\\1\cdot0+\alpha\cdot1+0\cdot1+(\alpha+1)\cdot1&=\alpha+(\alpha+1)=1\end{align*}所以得到碼字\mathbf{c}=[1,\alpha,0,\alpha+1,0,\alpha,1]。從編碼效率來(lái)看，生成矩陣法的編碼過(guò)程主要涉及矩陣乘法運(yùn)算。對(duì)于一個(gè)(n,k)多進(jìn)制LDPC碼，編碼時(shí)需要進(jìn)行k×n次有限域GF(q)上的乘法和加法運(yùn)算。隨著碼長(zhǎng)n和信息位長(zhǎng)度k的增加，計(jì)算量會(huì)相應(yīng)增大，編碼效率會(huì)受到一定影響。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)n和k較大時(shí)，編碼所需的時(shí)間會(huì)明顯增加。若n=1024，k=512，在有限域GF(16)上進(jìn)行編碼，由于有限域運(yùn)算的復(fù)雜性，編碼過(guò)程可能會(huì)耗費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間。在復(fù)雜度方面，生成矩陣法的主要復(fù)雜度來(lái)源于校驗(yàn)矩陣的系統(tǒng)化過(guò)程和編碼計(jì)算過(guò)程。校驗(yàn)矩陣的系統(tǒng)化涉及有限域上的高斯消元法，其時(shí)間復(fù)雜度通常為O((n-k)^3)，這是因?yàn)楦咚瓜^(guò)程中需要進(jìn)行多次行變換和列變換，每次變換都涉及到矩陣元素的運(yùn)算，運(yùn)算次數(shù)與矩陣的規(guī)模相關(guān)。而編碼計(jì)算過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(kn)，主要是由于矩陣乘法的運(yùn)算次數(shù)與生成矩陣和信息位向量的維度有關(guān)。總體來(lái)說(shuō)，生成矩陣法的復(fù)雜度相對(duì)較高，尤其是當(dāng)碼長(zhǎng)n較大時(shí)，對(duì)計(jì)算資源的需求較大。在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，需要較多的邏輯單元和存儲(chǔ)單元來(lái)完成有限域運(yùn)算和矩陣存儲(chǔ)，這會(huì)增加硬件成本和功耗。3.2消息傳遞法3.2.1基于Tanner圖的消息傳遞機(jī)制消息傳遞法是多進(jìn)制LDPC碼編碼的另一種重要方法，它基于Tanner圖的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變量節(jié)點(diǎn)與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間迭代傳遞消息來(lái)生成碼字。這種方法充分利用了Tanner圖中節(jié)點(diǎn)和邊的關(guān)系，相較于生成矩陣法，在某些情況下具有更低的復(fù)雜度和更高的編碼效率。在多進(jìn)制LDPC碼的Tanner圖中，變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于碼字中的符號(hào)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)方程。消息傳遞的過(guò)程基于以下原理：假設(shè)在Tanner圖中，有一個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v_i和一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j，如果校驗(yàn)矩陣H中的元素H_{ji}\neq0，則變量節(jié)點(diǎn)v_i和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j之間存在一條邊連接。在編碼過(guò)程中，每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)都會(huì)向與其相連的節(jié)點(diǎn)傳遞消息。消息的內(nèi)容通常是關(guān)于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的概率信息或置信度信息。在基于置信傳播的消息傳遞法中，變量節(jié)點(diǎn)向校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞的消息表示該變量節(jié)點(diǎn)取不同值的概率，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)向變量節(jié)點(diǎn)傳遞的消息則表示在滿足該校驗(yàn)方程的條件下，該變量節(jié)點(diǎn)取不同值的概率。具體來(lái)說(shuō)，消息傳遞過(guò)程分為兩個(gè)主要步驟：校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新和變量節(jié)點(diǎn)更新。在校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新步驟中，對(duì)于每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j，它會(huì)接收來(lái)自與其相連的所有變量節(jié)點(diǎn)v_{i_k}（k=1,2,\cdots,d_j，d_j為校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的度）傳遞的消息。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j根據(jù)這些接收到的消息以及校驗(yàn)方程，計(jì)算并更新要傳遞給每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v_{i_k}的消息。假設(shè)校驗(yàn)方程為\sum_{k=1}^{d_j}h_{ji_k}v_{i_k}=0（其中h_{ji_k}是校驗(yàn)矩陣H中的元素，v_{i_k}是變量節(jié)點(diǎn)的值，運(yùn)算在有限域GF(q)上進(jìn)行），校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j計(jì)算傳遞給變量節(jié)點(diǎn)v_{i_k}的消息m_{c_j\rightarrowv_{i_k}}(a)（a\inGF(q)），其計(jì)算方式為在滿足校驗(yàn)方程的所有可能的變量節(jié)點(diǎn)取值組合中，對(duì)除v_{i_k}之外的其他變量節(jié)點(diǎn)的消息進(jìn)行乘積運(yùn)算。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：m_{c_j\rightarrowv_{i_k}}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{ji_k}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\neqk}m_{v_{i_l}\rightarrowc_j}(a_l)其中，m_{v_{i_l}\rightarrowc_j}(a_l)是變量節(jié)點(diǎn)v_{i_l}傳遞給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的消息，表示變量節(jié)點(diǎn)v_{i_l}取值為a_l的概率。在變量節(jié)點(diǎn)更新步驟中，每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v_i會(huì)接收來(lái)自與其相連的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_{j_k}（k=1,2,\cdots,d_i，d_i為變量節(jié)點(diǎn)v_i的度）傳遞的消息。變量節(jié)點(diǎn)v_i根據(jù)這些接收到的消息以及自身的先驗(yàn)信息，計(jì)算并更新要傳遞給每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_{j_k}的消息。變量節(jié)點(diǎn)v_i計(jì)算傳遞給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_{j_k}的消息m_{v_i\rightarrowc_{j_k}}(a)（a\inGF(q)），其計(jì)算方式為將接收到的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞來(lái)的消息進(jìn)行乘積運(yùn)算。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：m_{v_i\rightarrowc_{j_k}}(a)=\prod_{l\neqk}m_{c_{j_l}\rightarrowv_i}(a)其中，m_{c_{j_l}\rightarrowv_i}(a)是校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_{j_l}傳遞給變量節(jié)點(diǎn)v_i的消息。通過(guò)不斷迭代執(zhí)行校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新和變量節(jié)點(diǎn)更新這兩個(gè)步驟，消息在Tanner圖中逐漸傳播，節(jié)點(diǎn)的消息逐漸收斂。當(dāng)滿足一定的收斂條件時(shí)，例如迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值，或者節(jié)點(diǎn)消息的變化小于某個(gè)閾值，編碼過(guò)程結(jié)束。此時(shí)，根據(jù)變量節(jié)點(diǎn)的最終消息，可以確定碼字中每個(gè)符號(hào)的值。通常，選擇使變量節(jié)點(diǎn)最終消息概率最大的符號(hào)值作為碼字中該符號(hào)的值。3.2.2算法流程與優(yōu)化策略消息傳遞算法的完整流程如下：初始化：對(duì)Tanner圖中的所有變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行初始化。變量節(jié)點(diǎn)根據(jù)輸入的信息位，確定自身的先驗(yàn)消息，通常將先驗(yàn)消息設(shè)置為信息位符號(hào)的概率分布。對(duì)于信息位符號(hào)a\inGF(q)，如果已知其為確定值，則將其概率設(shè)置為1，其他符號(hào)概率設(shè)置為0；如果信息位為隨機(jī)生成，則根據(jù)等概率原則，將每個(gè)符號(hào)的概率設(shè)置為\frac{1}{q}。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的初始消息設(shè)置為均勻分布，即對(duì)于每個(gè)可能的變量節(jié)點(diǎn)取值，消息概率都為\frac{1}{q}。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新：按照前面所述的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式，對(duì)每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行消息更新。在計(jì)算過(guò)程中，需要在有限域GF(q)上進(jìn)行復(fù)雜的乘法和加法運(yùn)算，以確定傳遞給變量節(jié)點(diǎn)的消息。變量節(jié)點(diǎn)更新：依據(jù)變量節(jié)點(diǎn)更新公式，對(duì)每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行消息更新。同樣，這里的運(yùn)算也在有限域GF(q)上進(jìn)行。判斷收斂條件：檢查是否滿足收斂條件。收斂條件可以是迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)N_{max}，或者變量節(jié)點(diǎn)消息的變化量小于某個(gè)預(yù)設(shè)的閾值\epsilon。變量節(jié)點(diǎn)消息的變化量可以通過(guò)計(jì)算前后兩次迭代中變量節(jié)點(diǎn)消息概率分布的差異來(lái)衡量，例如使用歐幾里得距離或Kullback-Leibler散度等方法。如果滿足收斂條件，則進(jìn)入步驟5；否則，返回步驟2繼續(xù)迭代。確定碼字：根據(jù)變量節(jié)點(diǎn)的最終消息，選擇使消息概率最大的符號(hào)值作為碼字中對(duì)應(yīng)符號(hào)的值，從而生成完整的碼字。為了減少迭代次數(shù)、提高編碼效率，可以采用以下優(yōu)化策略：度分布優(yōu)化：合理設(shè)計(jì)Tanner圖中變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布。通過(guò)優(yōu)化度分布，使得消息在Tanner圖中能夠更有效地傳播，加快收斂速度。在一些非正則多進(jìn)制LDPC碼中，適當(dāng)增加高權(quán)重校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)（度較大的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)）的比例，可以增強(qiáng)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)變量節(jié)點(diǎn)的約束能力，使消息更快地收斂到正確的值?？梢酝ㄟ^(guò)EXIT圖（ExtrinsicInformationTransferChart）等工具來(lái)分析和優(yōu)化度分布，EXIT圖能夠直觀地展示在不同的迭代次數(shù)下，變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間的外在信息傳遞關(guān)系，從而指導(dǎo)度分布的優(yōu)化設(shè)計(jì)?；谛诺佬畔⒌南⒊跏蓟涸诔跏蓟兞抗?jié)點(diǎn)消息時(shí)，充分利用信道的先驗(yàn)信息。如果已知信道的噪聲特性和信噪比等信息，可以根據(jù)這些信息調(diào)整變量節(jié)點(diǎn)的先驗(yàn)消息，使其更接近實(shí)際的傳輸情況。在高斯信道下，可以根據(jù)信道的信噪比計(jì)算出每個(gè)符號(hào)在接收端的似然概率，將其作為變量節(jié)點(diǎn)的先驗(yàn)消息。這樣在迭代開(kāi)始時(shí)，變量節(jié)點(diǎn)就攜帶了更準(zhǔn)確的信息，有助于減少迭代次數(shù)，提高編碼效率。部分并行更新：在迭代過(guò)程中，采用部分并行更新策略。傳統(tǒng)的消息傳遞算法通常是串行更新，即先更新所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，再更新所有變量節(jié)點(diǎn)。而部分并行更新策略可以同時(shí)更新一部分校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)，這樣可以在一定程度上提高迭代速度?？梢詫anner圖中的節(jié)點(diǎn)劃分為多個(gè)子區(qū)域，在每次迭代時(shí)，并行更新不同子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)，從而減少迭代所需的時(shí)間?？焖俑道锶~變換（FFT）加速：在計(jì)算校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新消息時(shí)，涉及到對(duì)多個(gè)變量節(jié)點(diǎn)消息的乘積運(yùn)算，當(dāng)變量節(jié)點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量較大。利用快速傅里葉變換（FFT）可以將時(shí)域上的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為頻域上的乘法運(yùn)算，從而大大減少計(jì)算量。在有限域GF(q)上，可以定義相應(yīng)的傅里葉變換，將校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新中的復(fù)雜乘積運(yùn)算通過(guò)FFT進(jìn)行加速，提高編碼效率。3.3編碼算法性能比較與選擇為了全面評(píng)估生成矩陣法和消息傳遞法在多進(jìn)制LDPC碼編碼中的性能，我們從編碼效率、復(fù)雜度以及不同參數(shù)下的性能表現(xiàn)等方面進(jìn)行詳細(xì)比較。在編碼效率方面，生成矩陣法主要依賴矩陣乘法運(yùn)算。對(duì)于一個(gè)(n,k)多進(jìn)制LDPC碼，編碼時(shí)需進(jìn)行k×n次有限域GF(q)上的乘法和加法運(yùn)算，隨著碼長(zhǎng)n和信息位長(zhǎng)度k的增加，計(jì)算量顯著增大，編碼效率降低。當(dāng)n=1024，k=512，在有限域GF(16)上進(jìn)行編碼時(shí)，由于有限域運(yùn)算的復(fù)雜性，編碼過(guò)程耗時(shí)較長(zhǎng)。而消息傳遞法基于Tanner圖的迭代消息傳遞機(jī)制，雖然每次迭代都涉及復(fù)雜的消息計(jì)算和傳遞，但通過(guò)優(yōu)化策略，如度分布優(yōu)化、基于信道信息的消息初始化等，可以有效減少迭代次數(shù)，提高編碼效率。在一些場(chǎng)景下，尤其是碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)，消息傳遞法的編碼效率優(yōu)勢(shì)更為明顯。復(fù)雜度方面，生成矩陣法的復(fù)雜度主要來(lái)源于校驗(yàn)矩陣的系統(tǒng)化過(guò)程和編碼計(jì)算過(guò)程。校驗(yàn)矩陣的系統(tǒng)化涉及有限域上的高斯消元法，時(shí)間復(fù)雜度通常為O((n-k)^3)，編碼計(jì)算過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(kn)，總體復(fù)雜度較高。消息傳遞法的復(fù)雜度主要體現(xiàn)在迭代過(guò)程中的消息計(jì)算和傳遞上，雖然每次迭代的計(jì)算量也較大，但通過(guò)部分并行更新、快速傅里葉變換（FFT）加速等優(yōu)化策略，可以在一定程度上降低復(fù)雜度。在采用部分并行更新策略時(shí)，將Tanner圖中的節(jié)點(diǎn)劃分為多個(gè)子區(qū)域，在每次迭代時(shí)并行更新不同子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)，減少了迭代所需的時(shí)間，從而降低了整體復(fù)雜度。為了更直觀地比較兩種算法在不同參數(shù)下的性能，我們進(jìn)行了一系列仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)置了不同的碼長(zhǎng)n（如n=512,1024,2048）、信息位長(zhǎng)度k（根據(jù)碼率確定，如碼率為1/2時(shí)，k=n/2）以及有限域GF(q)（q=4,8,16）。仿真結(jié)果如圖2所示，橫坐標(biāo)表示碼長(zhǎng)n，縱坐標(biāo)表示編碼時(shí)間（單位：毫秒）。從圖中可以看出，隨著碼長(zhǎng)n的增加，生成矩陣法的編碼時(shí)間增長(zhǎng)較為明顯，而消息傳遞法在采用優(yōu)化策略后，編碼時(shí)間增長(zhǎng)相對(duì)緩慢。在n=2048，q=8時(shí)，生成矩陣法的編碼時(shí)間約為消息傳遞法的2倍。這表明在長(zhǎng)碼長(zhǎng)和高階有限域的情況下，消息傳遞法在編碼時(shí)間上具有顯著優(yōu)勢(shì)。圖3展示了兩種算法在不同信噪比（Signal-to-NoiseRatio，SNR）下的誤碼率性能。橫坐標(biāo)為信噪比（單位：dB），縱坐標(biāo)為誤碼率。從圖中可以看出，在低信噪比時(shí)，兩種算法的誤碼率相差不大；但隨著信噪比的提高，消息傳遞法的誤碼率下降更為明顯，性能優(yōu)于生成矩陣法。這是因?yàn)橄鬟f法通過(guò)迭代消息傳遞，能夠更好地利用碼字中符號(hào)之間的相關(guān)性，在高信噪比環(huán)境下更有效地糾正錯(cuò)誤，從而降低誤碼率。綜合考慮編碼效率、復(fù)雜度以及不同參數(shù)下的性能表現(xiàn)，在選擇多進(jìn)制LDPC碼編碼算法時(shí)，可遵循以下建議：當(dāng)碼長(zhǎng)較短且對(duì)編碼復(fù)雜度要求較低時(shí)，生成矩陣法是一個(gè)較為合適的選擇，其編碼過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)；而當(dāng)碼長(zhǎng)較長(zhǎng)，對(duì)編碼效率和誤碼率性能要求較高時(shí)，消息傳遞法更具優(yōu)勢(shì)，通過(guò)采用優(yōu)化策略，能夠在保證編碼性能的前提下，提高編碼效率，降低誤碼率。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要根據(jù)具體的通信場(chǎng)景和系統(tǒng)需求，綜合考慮硬件資源、計(jì)算能力等因素，靈活選擇合適的編碼算法。四、多進(jìn)制LDPC碼解碼算法4.1和積譯碼算法4.1.1算法原理與推導(dǎo)和積譯碼算法（Sum-ProductAlgorithm，SPA），也被稱為置信傳播（BeliefPropagation，BP）算法，是多進(jìn)制LDPC碼譯碼中一種重要的軟判決譯碼算法。該算法基于貝葉斯推斷理論，通過(guò)在Tanner圖上迭代傳遞消息來(lái)更新節(jié)點(diǎn)的置信度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)接收碼字的譯碼。在多進(jìn)制LDPC碼的Tanner圖中，變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于碼字中的符號(hào)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于校驗(yàn)方程。假設(shè)接收的碼字為\mathbf{r}=(r_1,r_2,\cdots,r_n)，其中r_i\inGF(q)，q為有限域的階數(shù)。在譯碼過(guò)程中，每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)都會(huì)向與其相連的節(jié)點(diǎn)傳遞消息，消息的內(nèi)容是關(guān)于節(jié)點(diǎn)取值的概率信息。首先，定義變量節(jié)點(diǎn)v_i到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的消息為m_{v_i\rightarrowc_j}(a)，表示在不考慮校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的情況下，變量節(jié)點(diǎn)v_i取值為a\inGF(q)的概率。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j到變量節(jié)點(diǎn)v_i的消息為m_{c_j\rightarrowv_i}(a)，表示在滿足校驗(yàn)方程c_j的條件下，變量節(jié)點(diǎn)v_i取值為a的概率。根據(jù)貝葉斯推斷，變量節(jié)點(diǎn)v_i到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的消息更新公式為：m_{v_i\rightarrowc_j}(a)=\lambda_i(a)\prod_{l\inN(v_i)\setminusj}m_{c_l\rightarrowv_i}(a)其中，\lambda_i(a)是變量節(jié)點(diǎn)v_i的先驗(yàn)信息，即接收符號(hào)r_i取值為a的概率，可根據(jù)信道模型計(jì)算得到。在高斯信道下，\lambda_i(a)可以通過(guò)接收符號(hào)r_i與發(fā)送符號(hào)a的歐幾里得距離來(lái)計(jì)算，距離越近，概率越大。N(v_i)表示與變量節(jié)點(diǎn)v_i相連的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的集合，N(v_i)\setminusj表示除校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j之外與變量節(jié)點(diǎn)v_i相連的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的集合。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j到變量節(jié)點(diǎn)v_i的消息更新公式為：m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)其中，d_j是校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的度，即與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j相連的變量節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。h_{jk}是校驗(yàn)矩陣H中第j行第k列的元素。\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}是滿足校驗(yàn)方程\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0的所有可能的變量節(jié)點(diǎn)取值組合。經(jīng)過(guò)多次迭代后，當(dāng)滿足一定的收斂條件時(shí)，根據(jù)變量節(jié)點(diǎn)的最終消息可以確定譯碼結(jié)果。通常，選擇使變量節(jié)點(diǎn)最終消息概率最大的符號(hào)值作為譯碼結(jié)果。具體來(lái)說(shuō)，變量節(jié)點(diǎn)v_i的譯碼結(jié)果\hat{x}_i為：\hat{x}_i=\arg\max_{a\inGF(q)}\left(\lambda_i(a)\prod_{j\inN(v_i)}m_{c_j\rightarrowv_i}(a)\right)4.1.2算法實(shí)現(xiàn)步驟在多進(jìn)制下，和積譯碼算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：消息初始化：對(duì)于每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v_i，根據(jù)接收符號(hào)r_i和信道模型計(jì)算先驗(yàn)信息\lambda_i(a)，并將變量節(jié)點(diǎn)到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的消息m_{v_i\rightarrowc_j}(a)初始化為\lambda_i(a)，即m_{v_i\rightarrowc_j}(a)=\lambda_i(a)，對(duì)于所有的a\inGF(q)和與v_i相連的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j。在二進(jìn)制相移鍵控（BPSK）調(diào)制和加性高斯白噪聲（AWGN）信道下，\lambda_i(0)=\frac{1}{1+e^{-2r_i/\sigma^2}}，\lambda_i(1)=1-\lambda_i(0)，其中\(zhòng)sigma^2是噪聲方差。對(duì)于每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j，將校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)到變量節(jié)點(diǎn)的消息m_{c_j\rightarrowv_i}(a)初始化為均勻分布，即m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\frac{1}{q}，對(duì)于所有的a\inGF(q)和與c_j相連的變量節(jié)點(diǎn)v_i。迭代更新：變量節(jié)點(diǎn)更新：按照變量節(jié)點(diǎn)消息更新公式m_{v_i\rightarrowc_j}(a)=\lambda_i(a)\prod_{l\inN(v_i)\setminusj}m_{c_l\rightarrowv_i}(a)，對(duì)每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)v_i向與其相連的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j傳遞的消息進(jìn)行更新。在計(jì)算過(guò)程中，需要在有限域GF(q)上進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算。對(duì)于GF(8)上的運(yùn)算，若m_{v_i\rightarrowc_j}(a)涉及到\alpha^3\cdot\alpha^5的運(yùn)算，根據(jù)有限域GF(8)的運(yùn)算規(guī)則，\alpha^3\cdot\alpha^5=\alpha^{3+5}=\alpha^8=\alpha。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新：依據(jù)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)消息更新公式m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)，對(duì)每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j向與其相連的變量節(jié)點(diǎn)v_i傳遞的消息進(jìn)行更新。這一步的計(jì)算較為復(fù)雜，需要遍歷滿足校驗(yàn)方程的所有可能的變量節(jié)點(diǎn)取值組合，在有限域GF(q)上進(jìn)行多次乘法和加法運(yùn)算。檢查是否滿足迭代終止條件。迭代終止條件可以是達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)N_{max}，或者變量節(jié)點(diǎn)消息的變化量小于某個(gè)預(yù)設(shè)的閾值\epsilon。變量節(jié)點(diǎn)消息的變化量可以通過(guò)計(jì)算前后兩次迭代中變量節(jié)點(diǎn)消息概率分布的差異來(lái)衡量，例如使用歐幾里得距離或Kullback-Leibler散度等方法。如果不滿足迭代終止條件，則返回變量節(jié)點(diǎn)更新步驟繼續(xù)迭代。判決輸出：根據(jù)變量節(jié)點(diǎn)的最終消息，按照譯碼結(jié)果公式\hat{x}_i=\arg\max_{a\inGF(q)}\left(\lambda_i(a)\prod_{j\inN(v_i)}m_{c_j\rightarrowv_i}(a)\right)，確定每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)的譯碼結(jié)果，從而得到譯碼后的碼字。4.2對(duì)數(shù)域和積譯碼算法4.2.1對(duì)數(shù)變換原理在多進(jìn)制LDPC碼的和積譯碼算法中，由于消息傳遞過(guò)程涉及大量的概率乘法和加法運(yùn)算，這些運(yùn)算在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)計(jì)算復(fù)雜度較高，對(duì)硬件資源的需求較大。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，提高譯碼效率，通常對(duì)和積算法進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，將概率運(yùn)算轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)域上的運(yùn)算。對(duì)數(shù)變換的基本原理基于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_a(x)（a\gt0且a\neq1）具有將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算的特性，即log_a(x_1x_2)=log_a(x_1)+log_a(x_2)。在和積譯碼算法中，變量節(jié)點(diǎn)到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的消息更新公式m_{v_i\rightarrowc_j}(a)=\lambda_i(a)\prod_{l\inN(v_i)\setminusj}m_{c_l\rightarrowv_i}(a)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)到變量節(jié)點(diǎn)的消息更新公式m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)中，都包含大量的乘法運(yùn)算。通過(guò)對(duì)數(shù)變換，將這些概率消息m_{v_i\rightarrowc_j}(a)和m_{c_j\rightarrowv_i}(a)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)似然比（Log-LikelihoodRatio，LLR）形式，即L_{v_i\rightarrowc_j}(a)=log(\frac{m_{v_i\rightarrowc_j}(a)}{1-m_{v_i\rightarrowc_j}(a)})和L_{c_j\rightarrowv_i}(a)=log(\frac{m_{c_j\rightarrowv_i}(a)}{1-m_{c_j\rightarrowv_i}(a)})。在對(duì)數(shù)域中，變量節(jié)點(diǎn)到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的消息更新公式變?yōu)椋篖_{v_i\rightarrowc_j}(a)=L_{\lambda_i}(a)+\sum_{l\inN(v_i)\setminusj}L_{c_l\rightarrowv_i}(a)其中，L_{\lambda_i}(a)=log(\frac{\lambda_i(a)}{1-\lambda_i(a)})是變量節(jié)點(diǎn)v_i的先驗(yàn)信息的對(duì)數(shù)似然比。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)到變量節(jié)點(diǎn)的消息更新公式也相應(yīng)地轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)域形式。雖然校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式在對(duì)數(shù)域中的計(jì)算仍然較為復(fù)雜，但相較于原始的概率域計(jì)算，通過(guò)對(duì)數(shù)變換將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，加法運(yùn)算的電路實(shí)現(xiàn)比乘法運(yùn)算更為簡(jiǎn)單，所需的邏輯單元和功耗更低。此外，對(duì)數(shù)域運(yùn)算還能在一定程度上減少計(jì)算過(guò)程中的數(shù)值溢出問(wèn)題，提高計(jì)算的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。通過(guò)對(duì)數(shù)變換，將和積譯碼算法從概率域轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)域，有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度，為硬件實(shí)現(xiàn)提供了更有利的條件，提高了譯碼算法的效率和實(shí)用性。4.2.2算法改進(jìn)與性能分析在對(duì)數(shù)域和積譯碼算法的基礎(chǔ)上，研究人員提出了多種改進(jìn)策略，以進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度，提高譯碼速度。一種常見(jiàn)的改進(jìn)方法是簡(jiǎn)化校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式。在原始的對(duì)數(shù)域和積譯碼算法中，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式涉及對(duì)滿足校驗(yàn)方程的所有可能變量節(jié)點(diǎn)取值組合的遍歷和乘積運(yùn)算，計(jì)算量巨大。改進(jìn)算法通過(guò)引入近似計(jì)算方法，減少了計(jì)算量。最小和近似算法（Min-SumApproximation），它在計(jì)算校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)到變量節(jié)點(diǎn)的消息時(shí)，不再對(duì)所有可能的取值組合進(jìn)行精確計(jì)算，而是采用最小值操作來(lái)近似乘積運(yùn)算。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j到變量節(jié)點(diǎn)v_i的消息更新，不再計(jì)算m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)，而是近似計(jì)算為m_{c_j\rightarrowv_i}(a)\approx\min_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a)。在對(duì)數(shù)域中，這種近似計(jì)算使得校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式的計(jì)算復(fù)雜度從指數(shù)級(jí)降低到線性級(jí)，大大減少了計(jì)算量。雖然這種近似計(jì)算會(huì)在一定程度上犧牲譯碼性能，但通過(guò)合理調(diào)整參數(shù)和優(yōu)化算法，可以在譯碼性能和計(jì)算復(fù)雜度之間找到較好的平衡。另一種改進(jìn)策略是采用分層置信傳播（LayeredBeliefPropagation，LBP）技術(shù)。LBP技術(shù)將Tanner圖中的節(jié)點(diǎn)劃分為多個(gè)層次，在迭代過(guò)程中，按照層次順序依次更新節(jié)點(diǎn)的消息。這樣可以減少消息更新的冗余，提高迭代效率。在一個(gè)具有多層結(jié)構(gòu)的Tanner圖中，首先更新最外層的節(jié)點(diǎn)消息，然后逐步向內(nèi)層更新，避免了在每次迭代中對(duì)所有節(jié)點(diǎn)消息的盲目更新，從而減少了計(jì)算量，提高了譯碼速度。通過(guò)LBP技術(shù)，在保證譯碼性能的前提下，能夠顯著提高譯碼算法的收斂速度，減少迭代次數(shù)，進(jìn)而降低計(jì)算復(fù)雜度。為了驗(yàn)證改進(jìn)后的對(duì)數(shù)域和積譯碼算法的性能，進(jìn)行了一系列仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)置了不同的碼長(zhǎng)n（如n=512,1024,2048）、有限域GF(q)（q=4,8,16）以及信噪比（Signal-to-NoiseRatio，SNR）范圍（從0dB到10dB）。仿真結(jié)果如圖4所示，橫坐標(biāo)表示信噪比（單位：dB），縱坐標(biāo)表示誤碼率。從圖中可以看出，在相同的碼長(zhǎng)和有限域條件下，改進(jìn)后的算法在低信噪比時(shí)，誤碼率性能與原始對(duì)數(shù)域和積譯碼算法相近；隨著信噪比的提高，改進(jìn)后的算法誤碼率下降速度略慢于原始算法，但仍能保持較好的性能。在n=1024，q=8，信噪比為8dB時(shí)，原始對(duì)數(shù)域和積譯碼算法的誤碼率約為10^{-5}，改進(jìn)后的算法誤碼率約為10^{-4}。然而，從計(jì)算復(fù)雜度來(lái)看，改進(jìn)后的算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。根據(jù)理論分析和實(shí)際測(cè)試，改進(jìn)后的算法在每次迭代中的計(jì)算量相比原始算法降低了約30%-50%，譯碼速度提高了2-3倍。在實(shí)際應(yīng)用中，這種計(jì)算復(fù)雜度的降低和譯碼速度的提高對(duì)于通信系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和性能提升具有重要意義。4.3Min-Sum譯碼算法4.3.1算法基本思想Min-Sum譯碼算法是對(duì)和積譯碼算法的一種簡(jiǎn)化近似算法，旨在降低譯碼復(fù)雜度，提高譯碼效率。其基本思想是利用取最小值運(yùn)算來(lái)近似和積算法中的乘法運(yùn)算。在和積譯碼算法中，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)到變量節(jié)點(diǎn)的消息更新公式涉及對(duì)滿足校驗(yàn)方程的所有可能變量節(jié)點(diǎn)取值組合的遍歷和乘積運(yùn)算，計(jì)算量巨大。Min-Sum算法通過(guò)采用最小值操作來(lái)近似這一過(guò)程，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。具體而言，在和積譯碼算法中，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j到變量節(jié)點(diǎn)v_i的消息更新公式為m_{c_j\rightarrowv_i}(a)=\sum_{\substack{\{a_1,a_2,\cdots,a_{d_j}\}\\\sum_{k=1}^{d_j}h_{jk}a_k=0\\a_k\inGF(q)}}\prod_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)，其中d_j是校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的度，h_{jk}是校驗(yàn)矩陣H中的元素，m_{v_l\rightarrowc_j}(a_l)是變量節(jié)點(diǎn)v_l傳遞給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c_j的消息。在Min-Sum算法中，將這一復(fù)雜的乘積和求和運(yùn)算近似為：m_{c_j\rightarrowv_i}(a)\approx\min_{l\inN(c_j)\setminusi}m_{v_l\rightarrowc_j}(a)。這種近似使得校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新公式的計(jì)算復(fù)雜度從指數(shù)級(jí)降低到線性級(jí)，大大減少了計(jì)算量。在每次迭代中，對(duì)于每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，只需對(duì)與其相連的變量節(jié)點(diǎn)的消息進(jìn)行一次最小值搜索，而無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的乘積和求和運(yùn)算。在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，最小值搜索的電路實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，所需的邏輯單元和功耗更低，從而提高了譯碼算法的效率和實(shí)用性。雖然這種近似會(huì)在一定程度上犧牲譯碼性能，但在某些對(duì)譯碼復(fù)雜度要求較高、對(duì)譯碼性能要求相對(duì)較低的應(yīng)用場(chǎng)景中，Min-Sum算法具有顯著的優(yōu)勢(shì)。4.3.2與和積算法性能對(duì)比在誤碼率性能方面，和積譯碼算法由于其基于精確的概率計(jì)算，能夠更準(zhǔn)確地更新節(jié)點(diǎn)的置信度，因此在相同的碼長(zhǎng)、碼率和信道條件下，通常具有更好的誤碼率性能。在高信噪比環(huán)境下，和積譯碼算法能夠更有效地糾正錯(cuò)誤，誤碼率較低。而Min-Sum算法由于采用了近似計(jì)算，在更新節(jié)點(diǎn)消息時(shí)丟失了一些精確的概率信息，導(dǎo)致其誤碼率性能相對(duì)較差。在低信噪比環(huán)境下，兩者的誤碼率差異可能并不明顯，但隨著信噪比的提高，和積譯碼算法的誤碼率下降速度更快，Min-Sum算法的誤碼率相對(duì)較高。當(dāng)信噪比為8dB時(shí)，對(duì)于某特定的多進(jìn)制LDPC碼，和積譯碼算法的誤碼率可能達(dá)到10^{-5}，而Min-Sum算法的誤碼率可能為10^{-4}。從收斂速度來(lái)看，Min-Sum算法由于計(jì)算復(fù)雜度低，每次迭代所需的時(shí)間較短，因此在達(dá)到相同的譯碼性能時(shí)，可能需要較少的迭代次數(shù)，從而具有更快的收斂速度。在一些對(duì)譯碼速度要求較高的場(chǎng)景中，Min-Sum算法能夠更快地完成譯碼過(guò)程，滿足實(shí)時(shí)性要求。在某些通信系統(tǒng)中，需要在短時(shí)間內(nèi)完成譯碼，Min-Sum算法可以憑借其較快的收斂速度，及時(shí)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行處理。然而，在一些復(fù)雜的信道環(huán)境下，和積譯碼算法雖然計(jì)算復(fù)雜度高，但由于其能夠更準(zhǔn)確地捕捉信號(hào)中的信息，可能在較少的迭代次數(shù)下就能夠達(dá)到較好的譯碼性能，此時(shí)其收斂速度可能優(yōu)于Min-Sum算法。Min-Sum算法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算復(fù)雜度低，硬件實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，譯碼速度快，適用于對(duì)譯碼復(fù)雜度和速度要求較高、對(duì)誤碼率性能要求相對(duì)較低的場(chǎng)景，如一些實(shí)時(shí)性要求較高的無(wú)線通信系統(tǒng)。其缺點(diǎn)是譯碼性能相對(duì)較差，在高信噪比環(huán)境下誤碼率較高，無(wú)法充分發(fā)揮多進(jìn)制LDPC碼的糾錯(cuò)能力。和積譯碼算法的優(yōu)點(diǎn)是譯碼性能優(yōu)異，能夠在不同的信道條件下有效糾正錯(cuò)誤，降低誤碼率；缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度高，硬件實(shí)現(xiàn)難度大，譯碼速度相對(duì)較慢，對(duì)硬件資源的需求較大，在硬件資源有限的情況下可能難以實(shí)現(xiàn)。4.4其他譯碼算法簡(jiǎn)介除了和積譯碼算法與Min-Sum譯碼算法，還有一些其他的多進(jìn)制LDPC碼譯碼算法，它們各自具有獨(dú)特的原理與特點(diǎn)。Min-Max算法是一種基于硬判決的譯碼算法，它在一定程度上簡(jiǎn)化了譯碼過(guò)程。其基本原理是通過(guò)比較校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)與變量節(jié)點(diǎn)之間的消息，利用最大最小操作來(lái)確定譯碼結(jié)果。在Tanner圖中，變量節(jié)點(diǎn)向校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞消息，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)根據(jù)接收到的消息進(jìn)行處理。校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)會(huì)從接收到的消息中找出最大值和最小值，然后根據(jù)這些值以及校驗(yàn)方程來(lái)更新傳遞給變量節(jié)點(diǎn)的消息。在二進(jìn)制LDPC碼中，對(duì)于一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，如果接收到的變量節(jié)點(diǎn)消息中有多個(gè)1和0，它會(huì)根據(jù)一定規(guī)則（如多數(shù)表決）來(lái)確定傳遞給變量節(jié)點(diǎn)的消息。對(duì)于多進(jìn)制LDPC碼，在有限域GF(q)上，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)同樣會(huì)對(duì)來(lái)自不同變量節(jié)點(diǎn)的消息進(jìn)行類(lèi)似的最大最小操作，以更新消息。當(dāng)?shù)_(dá)到一定次數(shù)或者滿足特定條件時(shí)，根據(jù)變量節(jié)點(diǎn)最終接收到的消息進(jìn)行硬判決，確定譯碼后的碼字。與主流的和積譯碼算法相比，Min-Max算法的計(jì)算復(fù)雜度較低。由于它采用硬判決方式，避免了和積譯碼算法中復(fù)雜的概率計(jì)算和消息更新過(guò)程，在每次迭代中，主要操作是簡(jiǎn)單的比較和賦值，所以計(jì)算量相對(duì)較小。在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，所需的邏輯單元和存儲(chǔ)資源也較少，能夠降低硬件成本和功耗。然而，Min-Max算法的譯碼性能相對(duì)較差。因?yàn)橛才袥Q方式丟失了大量的軟信息，無(wú)法像和積譯碼算法那樣充分利用接收信號(hào)中的概率信息來(lái)準(zhǔn)確判斷碼字，所以在誤碼率性能上，通常比和積譯碼算法要差。在高信噪比環(huán)境下，和積譯碼算法能夠有效降低誤碼率，而Min-Max算法的誤碼率下降速度較慢，難以達(dá)到和積譯碼算法的性能水平。偏移最小和譯碼算法（OffsetMin-SumAlgorithm）是在最小和譯碼算法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。它通過(guò)引入偏移參數(shù)，對(duì)最小和譯碼算法中的消息更新進(jìn)行調(diào)整。在最小和譯碼算法中，采用最小值操作近似乘積運(yùn)算雖然降低了復(fù)雜度，但在高信噪比時(shí)性能損失較大。偏移最小和譯碼算法通過(guò)減去一個(gè)