高二年級學(xué)年（上期）期中考試數(shù)學(xué)試題（考試時間：分鐘，滿分分）命題人：汪世強(qiáng)審題人：周偉華第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由一般方程得到直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系求出即可；【詳解】由題意可得直線的斜率為，即，又，所以，故選：D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面對稱時，橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可得到答案.【詳解】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面對稱時，橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)可知，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，故選：C.3.已知、，則以為直徑的圓的一般方程為（）A.B.第1頁/共21頁C.D.【答案】B【解析】【分析】求出的中點(diǎn)和可得以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.【詳解】已知、，則中點(diǎn)坐標(biāo)為即.，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，展開可得，整理得.故選：B.4.設(shè)為空間一組基底，若向量，則向量在基底下的坐標(biāo)為.若在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意中坐標(biāo)的定義可得，由此可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而可得所求坐標(biāo).【詳解】由題意知：；設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，第2頁/共21頁即，，解得：，向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.5.如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，且，則線段的長為（）A.9B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】由，得到，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，，故．?頁/共21頁故選：C．6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為的直線的方程為與平面）A.B.C.D.【答案】B【解析】與平面所成角的正弦值.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，故其法向量為，因?yàn)橹本€的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.7.如圖，在長方體中，，若點(diǎn)在平面上運(yùn)動，則的最小值為（）第4頁/共21頁A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)長方體的對稱性有，即可確定最小值.【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征知，關(guān)于面對稱的點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，取等號.故選：C8.已知直線與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡方程，確定點(diǎn)軌跡，然后通過幾何意義求得最大值．【詳解】由，消去參數(shù)得，所以在以為圓心，為半徑的圓上，又點(diǎn)B是圓上的動點(diǎn)，此圓圓心為，半徑為，，∴的最大值為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交軌法求軌跡方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式．由圓的性質(zhì)知某點(diǎn)到圓上的點(diǎn)間距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為到圓心的距離與半徑的和．36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分第5頁/共21頁9.已知空間中三點(diǎn)，，，則正確的有（）A.與是共線向量B.是直線的一個單位方向向量C.與夾角的余弦值是D.是平面的一個法向量【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出，根據(jù)共線向量與方向向量的定義即可判斷ABC入兩向量夾角的余弦公式即可求得，D選項(xiàng)，設(shè)法向量，列方程組即可計算.【詳解】A選項(xiàng)，，，所以與不是是共線向量,故A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)，由所以是直線的一個方向向量，但不是單位方向向量，故B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故D選項(xiàng)正確.故選：CD10.圓與圓相交于，是（）A.的直線方程為B.公共弦的長為C.圓與圓的公切線段長為1D.線段的中垂線方程為第6頁/共21頁【答案】ABC【解析】【分析】兩圓方程相減可求出直線的方程，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦的長，求出的中垂線就是直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對于A，由于,故兩圓相交，則公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對于B，到直線的距離，所以公共弦的長為，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?，，所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，對于D，根據(jù)題意可知線段的中垂線就是直線，因?yàn)?，所以直線為，即，所以D錯誤，故選：ABC.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）第7頁/共21頁B.當(dāng)是靠近三等分點(diǎn)時，，，共面；C.當(dāng)時，；D.的最小值為．【答案】BCD【解析】A可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可判斷CD的真假.【詳解】以為基底，則，，,.對A：因?yàn)?所以，故A錯誤；對B：當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)，即時，，又，所以.故，，共面.故B正確；對C：因?yàn)椋裕?，所以，故，故C正確；對D：設(shè)，.第8頁/共21頁.所以，.當(dāng)時，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知點(diǎn)P是直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線：上一點(diǎn)，且兩直線平行，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最短距離是_____.【答案】1【解析】【分析】點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最短距離為這兩條平行線間的距離，利用平行線間的距離公式求解即可．【詳解】直線與直線平行，則，解得，此時兩直線為與．點(diǎn)P到點(diǎn)Q的最短距離為這兩條平行線間的距離．故答案：1．13.已知圓與圓的公共弦所在直線恒過定點(diǎn).若直線過點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】兩圓方程相減得到公共弦方程，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)時，原點(diǎn)到直線的距離的最大值，最大值為.第9頁/共21頁，令，解得，即，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)時，原點(diǎn)到直線的距離的最大值，最大值為.故答案為：14.ABCDCDEF的邊長都是6為M為對角線AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N為對角線DF的中點(diǎn)，則線段MN=______.【答案】【解析】【分析】用表示,平方求模即可.【詳解】根據(jù)題意，所以即為二面角的平面角，即，因?yàn)闉闉閷蔷€DF的中點(diǎn)，所以,又M為對角線AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則所以,所以,第10頁/共21頁.所以所以線段故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分.15.直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn).（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線與直線垂直，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長.【答案】（1）（2）【解析】1）由題意求得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線平行求得直線的斜率，進(jìn)而可求直線的方程.（2）求得直線的方程，計算可求線與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長.【小問1詳解】由題意聯(lián)立，解得，即直線過點(diǎn)，直線的斜率為，又直線與直線平行，所以直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為，即【小問2詳解】由直線，可得，所以直線的斜率，由（1）知直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，令，可得，所以直線與的交點(diǎn)，第11頁/共21頁令，可得，所以直線與的交點(diǎn)，所以，又，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長為.16.已知關(guān)于的方程.（1）若方程表示圓，求m的取值范圍；（2）若圓與圓外切，求的值；（3）若圓與直線相交于兩點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1（2）根據(jù)題意，求得圓與圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與圓相外切，列出方程，即求解；（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線的距離為，結(jié)合圓的弦長公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】由方程，整理得，因?yàn)榉匠瘫硎緢A，可得，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.【小問2詳解】由圓，可得，可得圓心，半徑為，又由圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，可得，即，第12頁/共21頁解得.【小問3詳解】由（2）知，圓圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)閳AC與直線相交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)圓的弦長公式，可得，可得，即，解得.17.中，面，滿足，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，證明即可；（2）分別求平面和平面的法向量，利用法向量的夾角公式求二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，?3頁/共21頁以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，，平面的一個法向量為，，則，又平面，所以平面．【小問2詳解】因?yàn)?，則，，依題意可知平面的一個法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的夾角為，所以，所以二面角的夾角的余弦值為．18.圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長為4的菱形，并且第14頁/共21頁，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，則的值；（3）在（2）的前提下，求出直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）存在，（3）【解析】1）根據(jù)菱形性質(zhì)及勾股定理得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)面距離的向量公式列式求解即可；（3）直接利用線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，第15頁/共21頁因?yàn)樗倪呅问沁呴L為4的菱形，并且，所以，均為等邊三角形，故，，且，因，所以，由勾股定理的逆定理得，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，，即，解得，，，故，第16頁/共21頁則，，則，令，則，，故，其中則，解得：或所以存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，此時.【小問3詳解】由（2）可得：，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.如圖所示，圓與軸的交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn).（1）記直線的斜率分別為，求的值；第17頁/共21頁【答案】（1）（2）【解析】1,即同解法二，代入韋達(dá)定理化簡求解，（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，即可根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解法一：設(shè)由題知，．①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，如圖所示，將，代入，解得，∴，∴，∴．第18頁/共21頁設(shè)，則，聯(lián)立，消去得，，∴，，連接，由圓的性質(zhì)可得，∴，∴．綜上可得，．解法二：由題知，．①當(dāng)直線的斜率不存在時，同法1．②當(dāng)直線的斜率存在時，同法1得∴，∴第19頁/共21頁綜上可得，．解法三：設(shè)直線方程為，則聯(lián)立，消去得，∴，，∴，整理得，∴【小問2詳解】由（1）知，∴直線和直線方程分別為和，聯(lián)立