專題2.1等式與不等式考點(diǎn)清單【清單01】等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.（2）等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.【清單02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立．則稱其為恒等式，也稱兩邊恒等.注意：恒等式是進(jìn)行代數(shù)式變形的依據(jù)之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清單03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.【清單04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判別式：Δ=b2-4ac【清單05】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的兩根記作x1，x2則【清單06】方程組的解集1.一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組，方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集2.方程組的解法：代入消元法、加減消元法.發(fā)現(xiàn)：當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無窮多個(gè)元素.此時(shí)，如果講其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其它未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來.【清單07】不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2：a>b，c>0?ac>bc性質(zhì)3：a>b，c<0?ac<bc性質(zhì)4：a>b?b<a；a<b?b>a（不等式的傳遞性）性質(zhì)5：a>b?b<a；a<b?b>a推論1：a+b>c?a>c-b（移項(xiàng)法則）推論2：a>b，c>d?a＋c>b＋d（同向可加，不等號(hào)方向不變.可推廣）推論3：a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4：a>b>0，n∈N*?an>bn（n∈N,n>1）推論5:a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清單08】證明不等式的方法1.作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．2.綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.3.反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.4.分析法：推理形式是“要證（結(jié)論）p,只需證明q”，可以表示為p?=q5.作商法：當(dāng)明確比較內(nèi)容均為正時(shí)，可利用作商法，一般步驟：①作商；②變形；③與1比較；④結(jié)論．【清單09】不等式的重要結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清單10】不等式的解集與不等式組的解集1.能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.2.不等式組中各個(gè)不等式解集的交集稱為不等式組的解集.【清單11】絕對(duì)值不等式1.絕對(duì)值的概念：．2.含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．3.常見絕對(duì)值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，即A（a）,B(b)，線段AB的中點(diǎn)M（x）則(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式:AB=|a-b|(2)數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式:5.拓廣：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【清單12】一元二次不等式的解法1.概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常見解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．②判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．③求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．【清單13】分式不等式的解法1.定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.2.常見類型：eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清單14】均值不等式1.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為2.均值不等式：（1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．（2）基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（3）幾何意義：①如果矩形的長、寬分別為a,b，那么矩形的面積是ab,可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，均值不等式的幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形面積最大.②如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心，AC=a，BC=b,D在半圓上，DC⊥AB，計(jì)算可得OD=，CD=,a≠b時(shí)，>a=b時(shí)，=【清單15】均值不等式與最值1.已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值（簡記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值（簡記：積定和最?。貏e提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！2.常用推論：（1）（）（2）（，）；（3）【考點(diǎn)題型一】已知一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例1】（23-24高一·上海·課堂例題）已知方程的兩個(gè)根為、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【變式1-1】（24-25高一上·上海黃浦·期中）已知方程的兩個(gè)根為，，則．【變式1-2】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根為，則．【變式1-3】（24-25高一上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則.【變式1-4】（24-25高一上·福建廈門·階段練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則.【考點(diǎn)題型二】含參數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例2】（24-25高一上·云南保山·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩實(shí)根，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.【變式2-1】（24-25高一上·河北邯鄲·期中）小張、小胡兩位同學(xué)解關(guān)于的方程，小張同學(xué)寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的根為或，小胡同學(xué)寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的根為或，則的值為（

）A．17 B．7 C． D．【變式2-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．若方程的兩根為，且滿足，則m的值為【變式2-3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、，且，求實(shí)數(shù)的值.【變式2-4】（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，求代數(shù)式的值；(2)若該方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【考點(diǎn)題型三】不等式性質(zhì)及其應(yīng)用【例3】（多選）（24-25高一上·甘肅嘉峪關(guān)·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【變式3-1】（多選）（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則的取值范圍是．【變式3-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，比較大?。海咀兪?-4】（2024高三·全國·專題練習(xí)），，則，的大小關(guān)系為．【考點(diǎn)題型四】簡單不等式（組）的解法【例4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解不等式．【變式4-1】（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）不等式的最小整數(shù)解為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·山西·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C．或} D．或}【變式4-3】（24-25高一上·上?！て谥校┦共坏仁街械忍?hào)成立的x的取值范圍是.【變式4-4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解下列不等式（組）：(1)；(2).【考點(diǎn)題型五】一元二次不等式的解法【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函數(shù)滿足且，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(3)解關(guān)于的不等式.【變式5-1】（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋?1)求的值；(2)解不等式．【變式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【變式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）設(shè)函數(shù)，求不等式的解集；【變式5-4】（24-25高一上·山東·期中）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式.【考點(diǎn)題型六】由不等式（組）的解（集）求參數(shù)（范圍）【例6】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)若為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式.【變式6-1】（24-25高一上·山東濱州·階段練習(xí)）若不等式組的解集是，則m的取值范圍（）A． B．C． D．無法確定【變式6-2】（多選）（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集為D．若，則的最大值為1【變式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整數(shù)恰有4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式6-4】（22-23高一上·天津?yàn)I海新·期中）設(shè)函數(shù)(1)若不等式的解集為求的值；(2)若求不等式的解集；【考點(diǎn)題型七】不等式的判斷與證明【例7】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，且滿足，則（

）A． B．C． D．【變式7-1】（24-25高一上·四川遂寧·期中）已知a>0，，則，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（多選）（24-25高三上·湖南·期中）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【變式7-3】（多選）（24-25高三上·陜西渭南·期中）已知，，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【變式7-4】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】“配湊法”求最值【例8】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知，，．(1)求的最小值和的最小值；(2)求的最小值．【變式8-1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知，則有（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【變式8-3】（24-25高一上·廣東·期中）若，則的最小值為．【變式8-4】（24-25高一上·山東菏澤·期中）已知，則的最大值為，取得最大值時(shí)的的值為.【考點(diǎn)題型九】“1”的代換求最值【例9】（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知，.(1)求的最小值；(2)若，求的最小值.【變式9-1】（24-25高一上·廣西桂林·期中）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（多選）（24-25高一上·黑龍江雞西·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法中正確的有（

）A．有最大值 B．有最大值4C．無最大值 D．有最小值【變式9-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．【變式9-4】（24-25高一上·廣東·期中）已知正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【考點(diǎn)題型十】“和”“積”共存式條件最值問題【例10】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為．【變式10-1】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期中）已知正數(shù)、滿足，則的最小值等于（

）A．10 B． C． D．【變式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．9 D．8【變式10-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式10-4】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十一】均值不等式的實(shí)際應(yīng)用【例11】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）“守護(hù)碧水藍(lán)天，共治污水之源”，重慶市某自來水廠決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量．經(jīng)測算，水廠擬安裝一種新的污水凈化設(shè)備．這種凈水設(shè)備的購置費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2，預(yù)計(jì)安裝后該水廠需繳納的總水費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為，將該水廠的凈水設(shè)備購置費(fèi)與安裝后需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬元）．(1)要使不超過11.2萬元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；(2)設(shè)備占地面積為多少平方米時(shí)，的值最小，并求出此最小值．【變式11-1】（24-25高一上·山東臨沂·期中）如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》"勾股網(wǎng)方圖"作注時(shí)給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）．則，．某同學(xué)讀到此書中的“趙爽弦圖”時(shí)，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（

）A．24 B．30 C．32 D．36【變式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過（

）后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好.以下結(jié)論敘述正確的個(gè)數(shù)為（）①若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為②若窗戶面積和地面面積都增加原來的，則教室通風(fēng)效果不變③若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好④若窗戶面積第一次增加了，第二次增加了，地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差A(yù)．1 B．2 C．3 D．4【變式11-4】（24-25高一上·上海浦東新·期中）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元／次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.(1)寫出一年的總運(yùn)費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出x的取值范圍）；(2)要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最少，則每次購買多少噸？(3)要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和不超過200萬元，則每次購買量在什么范圍內(nèi)？【考點(diǎn)題型十二】根據(jù)不等式成立、恒成立求參數(shù)（范圍）【例12】（24-25高一上·重慶渝北·期中）已知二次函數(shù)，滿足，且的解集為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【變式12-1】（24-25高一上·江蘇常州·期中）已知不等式，的解集為，且不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【變式12-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式12-3】（24-25高一上·福建福州·期中）若正實(shí)數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是.【變式12-4】（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，.(1)若關(guān)于的不等式的解集為或x>2，求實(shí)數(shù)，的值；(2)當(dāng)時(shí)，圖象始終在圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

專題2.1等式與不等式考試清單【清單01】等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.（2）等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.【清單02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立．則稱其為恒等式，也稱兩邊恒等.注意：恒等式是進(jìn)行代數(shù)式變形的依據(jù)之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清單03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.【清單04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判別式：Δ=b2-4ac【清單05】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的兩根記作x1，x2則【清單06】方程組的解集1.一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立，就能得到方程組，方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集2.方程組的解法：代入消元法、加減消元法.發(fā)現(xiàn)：當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無窮多個(gè)元素.此時(shí)，如果講其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其它未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來.【清單07】不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2：a>b，c>0?ac>bc性質(zhì)3：a>b，c<0?ac<bc性質(zhì)4：a>b?b<a；a<b?b>a（不等式的傳遞性）性質(zhì)5：a>b?b<a；a<b?b>a推論1：a+b>c?a>c-b（移項(xiàng)法則）推論2：a>b，c>d?a＋c>b＋d（同向可加，不等號(hào)方向不變.可推廣）推論3：a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4：a>b>0，n∈N*?an>bn（n∈N,n>1）推論5:a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清單08】證明不等式的方法1.作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．2.綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.3.反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.4.分析法：推理形式是“要證（結(jié)論）p,只需證明q”，可以表示為p?=q5.作商法：當(dāng)明確比較內(nèi)容均為正時(shí)，可利用作商法，一般步驟：①作商；②變形；③與1比較；④結(jié)論．【清單09】不等式的重要結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清單10】不等式的解集與不等式組的解集1.能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.2.不等式組中各個(gè)不等式解集的交集稱為不等式組的解集.【清單11】絕對(duì)值不等式1.絕對(duì)值的概念：．2.含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．3.常見絕對(duì)值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，即A（a）,B(b)，線段AB的中點(diǎn)M（x）則(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式:AB=|a-b|(2)數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式:5.拓廣：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【清單12】一元二次不等式的解法1.概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常見解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．②判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．③求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．【清單13】分式不等式的解法1.定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.2.常見類型：eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清單14】均值不等式1.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為2.均值不等式：（1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．（2）基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（3）幾何意義：①如果矩形的長、寬分別為a,b，那么矩形的面積是ab,可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，均值不等式的幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形面積最大.②如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心，AC=a，BC=b,D在半圓上，DC⊥AB，計(jì)算可得OD=，CD=,a≠b時(shí)，>a=b時(shí)，=【清單15】均值不等式與最值1.已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值（簡記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值（簡記：積定和最?。貏e提醒：應(yīng)用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！2.常用推論：（1）（）（2）（，）；（3）【考點(diǎn)題型一】已知一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知方程的兩個(gè)根為、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得；（2）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得；（3）根據(jù)韋達(dá)定理及x1（4）根據(jù)韋達(dá)定理及計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椤⑹欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，，所以.（2）.（3）.（4）.【變式1-1】（24-25高一上·上海黃浦·期中）已知方程的兩個(gè)根為，，則．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解【詳解】因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為，，所以，則．故答案為：3【變式1-2】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根為，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】利用一元二次方程求根公式分別求出，從而可求解.【詳解】方程的兩個(gè)根為，由求根公式可得：，或，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，綜上可得.故答案為：.【變式1-3】（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件，轉(zhuǎn)化求解表達(dá)式的值即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，即，且，所以故答案為：.【變式1-4】（24-25高一上·福建廈門·階段練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】利用韋達(dá)定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，，則.故答案為：.【考點(diǎn)題型二】含參數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例2】（24-25高一上·云南保山·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩實(shí)根，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的判別式列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可求解.【詳解】（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴.（2）∵方程有兩實(shí)根，，∴，∴，且，，∴，，，∴，或，∵，∴.【變式2-1】（24-25高一上·河北邯鄲·期中）小張、小胡兩位同學(xué)解關(guān)于的方程，小張同學(xué)寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的根為或，小胡同學(xué)寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的根為或，則的值為（

）A．17 B．7 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求的值，問題可解.【詳解】由題意：；.所以.故選：D【變式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．若方程的兩根為，且滿足，則m的值為【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得的表示，化簡條件結(jié)合韋達(dá)定理形式可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈膬筛鶠?，所以，所以，解得，符合條件，故答案為：.【變式2-3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】利用韋達(dá)定理，結(jié)合完全平方公式即可得解.【詳解】一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，則，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意；綜上，.【變式2-4】（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，求代數(shù)式的值；(2)若該方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）利用韋達(dá)定理求出，代入即可；（2）利用韋達(dá)定理，滿足兩根之積小于零即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理可得方程的兩個(gè)實(shí)根滿足，，所以.（2）若方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【考點(diǎn)題型三】不等式性質(zhì)及其應(yīng)用【例3】（多選）（24-25高一上·甘肅嘉峪關(guān)·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)不等性質(zhì)直接判斷AB選項(xiàng)，利用作差法可判斷CD選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，可知，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，滿足，，此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，，則，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，則，，即，D選項(xiàng)正確；故選：AD.【變式3-1】（多選）（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】賦值法驗(yàn)證A，由不等式的基本性質(zhì)驗(yàn)證BD，作差法驗(yàn)證C.【詳解】對(duì)A，取，且成立，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由與，則，所以，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?，，所以，所以，故C正確；對(duì)D，由，得，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】應(yīng)用不等式性質(zhì)求目標(biāo)式的范圍.【詳解】由題設(shè)，則，即.故答案為：【變式3-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，比較大?。海敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】應(yīng)用作差法比較大小即可.【詳解】我們有.而，故，所以.故答案為：.【變式3-4】（2024高三·全國·專題練習(xí)），，則，的大小關(guān)系為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法比大小.【詳解】由已知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，故答案為：.【考點(diǎn)題型四】簡單不等式（組）的解法【例4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解不等式．【答案】答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】分類討論解絕對(duì)值不等式【分析】分類討論參數(shù)即可解.【詳解】解：因?yàn)?，故分以下兩種情況討論：①當(dāng)，即時(shí)，原不等式無解，即不等式的解集為．②當(dāng)，即時(shí)，原不等式可變?yōu)椋裕C上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．【變式4-1】（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）不等式的最小整數(shù)解為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】公式法解絕對(duì)值不等式【分析】解不等式，可得出滿足此不等式的的最小整數(shù)值.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則恒成立，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，.綜上所述，不等式的解集為，則滿足原不等式的最小整數(shù)解為，故選：C.【變式4-2】（24-25高一上·山西·階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C．或} D．或}【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組或，再解不等式組可得解集．【詳解】因?yàn)?，所以，所以或，解得或，所以不等式的解集為．故選：B．【變式4-3】（24-25高一上·上?！て谥校┦共坏仁街械忍?hào)成立的x的取值范圍是.【答案】R【知識(shí)點(diǎn)】分類討論解絕對(duì)值不等式【分析】絕對(duì)值不等式可以通過討論絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式值的正負(fù)來去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而化簡為一次不等式，求出對(duì)應(yīng)解集即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式化簡為，即，則，∴；當(dāng)時(shí)，原不等式化簡為，即恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，原不等式化簡為，即，則，∴，綜上所述：.故答案為：R【變式4-4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解下列不等式（組）：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元一次不等式【分析】（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求出解集；（2）解不等式①和②，畫出數(shù)軸，求出解集.【詳解】（1）去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)化簡，得，所以不等式的解集為．（2）解不等式①，得，解不等式②，得，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來如圖．由圖可知，不等式組的解集為．【考點(diǎn)題型五】一元二次不等式的解法【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函數(shù)滿足且，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為(3)時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為.【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）由已知可得的圖象的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，求出，即可得到的解析式；（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)y=fx在區(qū)間上的最值.（3）不等式gx<0即，通過討論和的大小，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，所以二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，又，故設(shè)，因?yàn)?，所以，則，所以，就.（2）由（1）知，的對(duì)稱軸為直線，且開口向上，所以函數(shù)y=fx在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)y=fx在區(qū)間上的最小值為，最大值為；（3）因?yàn)?，由?）知，，不等式gx<0即為即，即，所以，當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為.【變式5-1】（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋?1)求的值；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）由題意得和3為方程的根，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而求解；（2）直接根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】（1）由題意，和3為方程的根，則，解得，所以.（2）由（1）知，，所以不等式，即為，即，即，解得或，所以不等式的解集為.【變式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)，(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，并不等式轉(zhuǎn)化為，因式分解后，討論的取值，解不等式.【詳解】（1）由題意可知，的根是1和2，所以，解得：，；（2）由（1）知，，，所以不等式為，即，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【變式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）設(shè)函數(shù)，求不等式的解集；【答案】答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】由題設(shè)有，應(yīng)用分類討論求一元二次不等式的解集.【詳解】由題設(shè)，所以不等式化為，解方程，又a>0，所以當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.【變式5-4】（24-25高一上·山東·期中）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式.【答案】(1)，(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】先根據(jù)已知不等式的解集，結(jié)合韋達(dá)定理，求出和的值，再將其代入后面的不等式，分類討論進(jìn)行求解.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和是方程的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理，可得，.解得，.（2）由（1）知，，則不等式為，即.當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.當(dāng)時(shí)，的解為或.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為.當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，此時(shí)不等式無解.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為.

綜上所得，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為.【考點(diǎn)題型六】由不等式（組）的解（集）求參數(shù)（范圍）【例6】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)若為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式.【答案】(1)，(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解以及根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和是方程的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理，可得，.解得，.（2）由（1）知，，則不等式為，即.當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為.當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，此時(shí)不等式無解.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為.綜上所得，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為.【變式6-1】（24-25高一上·山東濱州·階段練習(xí)）若不等式組的解集是，則m的取值范圍（）A． B．C． D．無法確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、解含參數(shù)的一元一次不等式【分析】根據(jù)解集確定集合包含關(guān)系，即可得參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁浇M的解集是，所以，故.故選：B【變式6-2】（多選）（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集為D．若，則的最大值為1【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由不等式的解集為，確定之間的關(guān)系，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以整理得則．，解得．，即，解得，則．故選：ACD．【變式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整數(shù)恰有4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】先依題意求出，接著求不等式的解集，根據(jù)解集特征求出解集中的整數(shù)是，從而得，再結(jié)合即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，因?yàn)?，所以該不等式解集為，不滿足解集中的整數(shù)恰有4個(gè)；當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足解集中的整數(shù)恰有4個(gè)；所以，，不等式化為，解方程，所以不等式的解集為，又，所以不等式解集中的整數(shù)是，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式6-4】（22-23高一上·天津?yàn)I海新·期中）設(shè)函數(shù)(1)若不等式的解集為求的值；(2)若求不等式的解集；【答案】(1)(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集與對(duì)應(yīng)的方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理列方程求解即可；（2）整理不等式可得，根據(jù)的符號(hào)以及和的大小關(guān)系分類討論即可.【詳解】（1）由題意，不等式的解集為，則和3是方程的兩個(gè)根，得，解得，所以.（2）若，則，即，因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，③當(dāng)時(shí)，解集為，④當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【考點(diǎn)題型七】不等式的判斷與證明【例7】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，A錯(cuò)誤；先利用基本不等式與將消去，再利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式求解判斷B，C，D選項(xiàng)．【詳解】，,兩式相加，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．又，故D正確．故選：BCD．【變式7-1】（24-25高一上·四川遂寧·期中）已知a>0，，則，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、由基本不等式比較大小【分析】利用基本不等式，先比較與，然后比較與，再比較與，由此確定出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則.故選：A.【變式7-2】（多選）（24-25高三上·湖南·期中）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：利用基本不等式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：利用“1”的妙用，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：利用基本不等式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：利用配湊思想，根據(jù)基本不等式即可判斷；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【變式7-3】（多選）（24-25高三上·陜西渭南·期中）已知，，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式證明不等關(guān)系【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A、B的正誤；利用作差法可得C的正誤；根據(jù)基本不等式可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確．對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確．故選：ABD．【變式7-4】（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、基本不等式求和的最小值【分析】先根據(jù)已知等式化簡得出再應(yīng)用基本不等式判斷A,結(jié)合取值范圍判斷B，C,再應(yīng)用立方和公式結(jié)合已知條件，應(yīng)用不等式取等條件判斷D.【詳解】由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，B正確；取，，可得，，滿足條件，此時(shí)則，A錯(cuò)誤；由，得，所以，第二個(gè)等號(hào)在，即時(shí)成立，故兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，因此，D正確；取，，可得，，滿足條件，此時(shí)，C錯(cuò)誤；故選：BD.【考點(diǎn)題型八】“配湊法”求最值【例8】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）已知，，．(1)求的最小值和的最小值；(2)求的最小值．【答案】(1)的最小值為，的最小值為(2)【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】（1）依題意可得，利用消元法及基本不等式計(jì)算可得；（2）結(jié)合（1）可得，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.（2）因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.【變式8-1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】由條件得，通過配湊變形，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為.故選：C.【變式8-2】（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知，則有（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值.故選：.【變式8-3】（24-25高一上·廣東·期中）若，則的最小值為．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】將整理為，再根據(jù)不等式性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，故答案為：3【變式8-4】（24-25高一上·山東菏澤·期中）已知，則的最大值為，取得最大值時(shí)的的值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用配湊法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】，因?yàn)椋剩?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：；.【考點(diǎn)題型九】“1”的代換求最值【例9】（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知，.(1)求的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)3(2)1【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）構(gòu)造得，再利用基本不等式即可；（2）構(gòu)造得，再利用乘“1”法即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為3.（2）由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為1.【變式9-1】（24-25高一上·廣西桂林·期中）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.【變式9-2】（多選）（24-25高一上·黑龍江雞西·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法中正確的有（

）A．有最大值 B．有最大值4C．無最大值 D．有最小值【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，求選項(xiàng)中算式的最值.【詳解】正實(shí)數(shù)，滿足，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以有最大值，A選項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以有最小值4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；正實(shí)數(shù)，滿足，則，得，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在12,1上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，沒有最大值，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.【變式9-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由條件可得，然后利用“1”的代換構(gòu)造乘積為定值，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是.故答案為：【變式9-4】（24-25高一上·廣東·期中）已知正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)1(2)【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）利用基本不等式可求的最大值；（2）根據(jù)，結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，得，即的最大值為1.（2）由，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.【考點(diǎn)題型十】“和”“積”共存式條件最值問題【例10】（24-25高一上·河北衡水·階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故答案為：【變式10-1】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期中）已知正數(shù)、滿足，則的最小值等于（

）A．10 B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】推導(dǎo)出，，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)、滿足，可得，則，所以，，，可得，，所以，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.【變式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由可得，代入，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為12.故選：A.【變式10-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，即，整理可得，且，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，所以取得最大值．故選：C.【變式10-4】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為，故選：C【考點(diǎn)題型十一】均值不等式的實(shí)際應(yīng)用【例11】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）“守護(hù)碧水藍(lán)天，共治污水之源”，重慶市某自來水廠決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量．經(jīng)測算，水廠擬安裝一種新的污水凈化設(shè)備．這種凈水設(shè)備的購置費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2，預(yù)計(jì)安裝后該水廠需繳納的總水費(fèi)（單位：萬元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為，將該水廠的凈水設(shè)備購置費(fèi)與安裝后需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬元）．(1)要使不超過11.2萬元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；(2)設(shè)備占地面積為多少平方米時(shí)，的值最小，并求出此最小值．【答案】(1)(2)設(shè)備占地面積為25平方米時(shí)，的值最小，最小值為11萬元.【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）由題意得，解不等式即可；（2）將變形為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題意得，令，即，整理得，即，解得，所以設(shè)備占地面積的取值范圍為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以設(shè)備占地面積為25平方米時(shí)，的值最小，最小值為11萬元.【變式11-1】（24-25高一上·山東臨沂·期中）如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》"勾股網(wǎng)方圖"作注時(shí)給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）．則，．某同學(xué)讀到此書中的“趙爽弦圖”時(shí)，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（

）A．24 B．30 C．32 D．36【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、不等式【分析】根據(jù)題意，，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由題可知，，，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又“趙爽弦圖”的面積為，所以當(dāng)時(shí)，“趙爽弦圖”的最小面積為.故選：C【變式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過（

）后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】由，利用基本不等式取等條件可確定結(jié)果.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，因此經(jīng)過后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．故選：B．【變式11-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好.以下