3/3專題03不等式及其應(yīng)用、基本不等式（期末復(fù)習講義）核心考點復(fù)習目標考情規(guī)律3.1不等式的基本性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加/乘性）能依據(jù)性質(zhì)進行簡單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)?；A(chǔ)題，乘負變號是必考點。3.2基本不等式的形式與推導(dǎo)能準確寫出基本不等式，理解其幾何意義。理解性考點，是應(yīng)用的基礎(chǔ)。3.3“一正二定三相等”的運用條件能準確判斷給定問題是否滿足基本不等式的使用條件。高頻易錯點，是解題的第一步，常被忽略。3.4直接利用基本不等式求最值能對符合“積定”或“和定”條件的表達式直接應(yīng)用公式求最值。最基礎(chǔ)的考查方式。3.5“配湊法”應(yīng)用基本不等式能通過拆項、添項、湊系數(shù)等技巧，將表達式轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式。期末解答題核心考法，是能力的區(qū)分點。3.6換元法（化繁為簡）當表達式復(fù)雜時，能通過代換簡化問題，轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式條件最值問題。3.7“1”的代換法（條件等式）當已知條件能巧妙地運用或變形“1”，可將目標式乘以“1”進行計算。高頻題型，技巧性強，是高分的關(guān)鍵。3.8分式型最值問題能處理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函數(shù)，通過分離常數(shù)、換元或基本不等式求最值。常見中檔題，分離常數(shù)是常用技巧。3.9二次使用基本不等式（連續(xù)放縮）能判斷在什么情況下需要兩次或多次使用基本不等式，并保證每次放縮的等號能同時成立。難度最高的題型之一，常用于證明或求復(fù)雜式子的最值，對邏輯嚴謹性要求高。3.10恒成立問題中求參數(shù)范圍（綜合應(yīng)用）對于恒成立的問題，能將其轉(zhuǎn)化為求目標式的最小值或最大值，從而確定參數(shù)a的范圍。期末壓軸題常見模式，綜合性強，易錯點在于混淆“≥最大值”與“≤最小值”的邏輯關(guān)系。3.11基本不等式在實際問題（如面積、成本最優(yōu)化）中的應(yīng)用能根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值。命題趨勢偏向應(yīng)用，考查數(shù)學建模能力知識點01等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；性質(zhì)2如果，，那么；性質(zhì)3如果，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，，那么；知識點02比較兩個實數(shù)大小兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，有：；；另外，若，則有；；.知識點03不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容1對稱性a>b?ba2傳遞性a>b,b>c?ac3可加性a>b?a+cb+c推論1：a+b>c?a>c?b；推論2：a>b,c>d?a+c>b+d4可乘性a>b,c>0?acbca>b,c<0?ac<bc；推論3：a>b>0,c>d>0?ac>bd；推論4：a>b>0?anbn（推論5：a>b>0?5取倒數(shù)a>b,ab>0?1a1知識點04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2說明：①對于非負數(shù)a,b，我們把a+b2稱為a,b的，ab稱為a,b②我們把不等式ab≤a+b③“當且僅當a=b時取‘=’號”這句話的含義是：一方面是當時，有ab=a+b2④結(jié)構(gòu)特點：和式與積式的關(guān)系.知識點05利用基本不等式求最值①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值；②已知x，y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值．知識點06幾個重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a變形式：（a，b∈R）（當且僅當a=b時取等號）.（2）基本不等式：（a>0，b>0）（當且僅當a=b時取等號）.變形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，則ba+ab≥2知識點07基本不等式鏈拓展.m>n時，知識點08權(quán)方和不等式的二維形式若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)知識點09糖水不等式定理若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;知識點10糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確解｜題｜技｜巧直接法：依據(jù)不等式基本性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性等），結(jié)合已知條件直接推導(dǎo)判斷。（2）特殊值法：選取滿足已知條件的特殊數(shù)值代入不等式，驗證是否成立。（3）作差（商）法：對不等式兩邊作差（商），結(jié)合已知條件判斷差（商）的正負，進而確定不等式是否成立（作商法需注意正負），部分復(fù)雜式子判斷可用此思路延伸?！镜淅?】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多選）已知，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2】（24-25高一上·安徽安慶·期末）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．題型二由不等式關(guān)系，求解不等式范圍解｜題｜技｜巧（1）直接運算：依據(jù)不等式基本性質(zhì)，對已知不等式變形求解即可．（2）線性組合：若求多個式子線性組合的范圍，先將目標式表示為已知范圍式子的線性組合，再利用不等式性質(zhì)，分別求各組合部分范圍后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·廣東汕尾·期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知實數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多選）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為題型三作差法比較式子大小關(guān)系【典例1】）若，，則（用“”、“”或“”填空）．【典例2】已知，且，則.（填中最恰當?shù)囊粋€）【變式1】已知，，設(shè)，，則與的大小關(guān)系為．【變式2】（用不等號“”或“”填空）題型四糖水不等式及其應(yīng)用【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是（

）A． B．C． D．【變式1】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：．(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．題型五直接用基本不等式求和或積的最值解｜題｜技｜巧（1）定條件：確認“一正（各項為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號能取到，即存在實數(shù)使等號成立）”.（2）選公式：和定求積最大，用；積定求和最小，用.（3）代計算：代入定值，結(jié)合等號成立條件（驗證是否滿足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）已知實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．5【典例2】（24-25高一上·陜西漢中·期末）若，且，則（

）A．有最小值為 B．有最大值為C．有最小值為 D．有最大值為【變式1】（24-25高一上·重慶·期末）已知都是正實數(shù)，若，則的最大值為.【變式3】（24-25高一上·河北秦皇島·期末）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3】（24-25高一上·廣東東莞·期末）（多選）若a，，且，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為6 B．的最小值為6C．a(chǎn)b的最大值為9 D．a(chǎn)b的最小值為9題型六巧用“1”或常數(shù)關(guān)系及拼湊法求最值（含權(quán)方和不等式的應(yīng)用）解｜題｜技｜巧（1）找“1”或常數(shù)：觀察條件，將已知等式變形出“1”或常數(shù)，用于構(gòu)造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼湊：用變形出的“1”或常數(shù)，將目標式與含“1”或常數(shù)的式子相乘展開，湊出能用基本不等式求解的式子。（3）驗證等號：展開后用基本不等式求最值，同時驗證等號成立條件，確保最值有效。【典例1】（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·山西·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知，則的最小值為.【變式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多選）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為題型七二次與二次（一次）的商式求最值【典例1】已知，則的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【典例2】設(shè)，則（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·廣東江門·期末）若，則的最小值是.【變式2】若，則的最小值為.題型八換元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【典例2】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【變式1】已知正實數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【變式2】已知，，，則的最大值為．【變式3】若對恒有，則的取值范圍是題型九兩次應(yīng)用基本不等式求最值【典例1】對任意的正實數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，則8ab2+a【變式1】已知實數(shù)m，n滿足m>2n>0，則m2+2【變式2】已知正數(shù)a，b滿足，，則的最小值為.題型十條件等式變形求最值【典例1】（多選）已知兩個實數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·重慶·期末）（多選）已知且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）已知，則下列正確的是（）A．B．的最小值為2C．的最小值為D．的最小值為【變式2】已知且，則的最大值為，最小值為．題型十一利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍【典例1】（24-25高一上·山東聊城·期末）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【變式3】已知，且，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十二基本不等式的應(yīng)用【典例1】如圖所示，某小區(qū)要建造一個一面靠墻的無蓋長方體垃圾池，垃圾池的容積為50m3，為了合理利用地形，要求垃圾池靠墻一面的長為5m，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為180元（不計靠墻一面的造價），設(shè)垃圾池的高為，墻高5m.當垃圾池的總造價最低時，垃圾池的高應(yīng)為（

）A． B．3 C． D．4【典例2】“谷子”經(jīng)濟發(fā)展越來越快，某公司要生產(chǎn)1000個玩偶，已知該公司每小時生產(chǎn)玩偶數(shù)量固定，且每小時的生產(chǎn)成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與生產(chǎn)速度x（個∕時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元，為使全程生產(chǎn)成本最低，該公司的生產(chǎn)速度是個∕時．【典例3】如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園.設(shè)菜園的長為米，寬為米.(1)若菜園面積為49平方米，則，為何值時，所用籬笆總長最小？最小值為多少？(2)若使用的籬笆總長為40米，當，為多少時，有最小值？并求出最小值.【變式1】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【變式2】某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層的厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，則的最小值是萬元．【變式3】2025年上海奇跡花園國際藝術(shù)花展于9月20日正式啟幕，本次花展首次實現(xiàn)沉浸IP展、花卉景觀、跨界藝術(shù)、光影夜花園四展合一，為市民游客打造一個可游、可賞、可感的秋季治愈系童話世界.某公園受此啟發(fā)打算設(shè)計一個八邊形活動區(qū)域，該區(qū)域的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的十字形區(qū)域，十字形的面積為.計劃在正方形上建一座花壇，造價為2100元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪地磚，造價為105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為40元.設(shè)長為，總造價為元，求：(1)設(shè)長為，用表示，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計可使總造價最低，并求出最低造價.【變式4】某學校為了更好地美化校園，計劃修建一個如圖所示的總面積為的花園．圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（圖中區(qū)域的形狀、大小完全相同）．設(shè)矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為．

(1)用含有的代數(shù)式表示；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使鮮花種植的總面積最大？最大面積為多少？期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·廣東惠州·期末）若，則有（

）A．最小值3 B．最小值6C．最大值6 D．最大值32．（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一個直角三角形的斜邊長為8，則其面積的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．184．（24-25高一上·北京密云·期末）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，則的最小值為（

）A．25 B．6 C．10 D．56．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為2元，為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（

）A．12件 B．24件 C．36件 D．40件7．（24-25高一上·廣東清遠·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．22 D．268．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高一下·貴州六盤水·期末）下列選項為真命題的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，，則10．（24-25高一下·湖南婁底·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．期末重難突破練（測試時間：40分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．82．（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．43．（24-25高一上·重慶黔江·期末）已知實數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．84．（24-25高一上·山東淄博·期末）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或5．（24-25高一上·遼寧大連·期末）已知正實數(shù)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知x，y，z為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·浙江麗水·期末）已知正數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題9．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的對稱中心是，若正數(shù)滿足，則的最小值是．四、解答題11．（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）已知、均為正實數(shù)，.(1)若，求的最小值：(2)若，求的最小值.12．（24-25高一上·浙江麗水·期末）如圖，設(shè)矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點，設(shè)，.(1)當時，求的值；(2)設(shè)的面積為，求的最大值.期末綜合拓展練（測試時間：15分鐘）一、單選題1．（2025·北京·高考真題）已知，則（

）A． B．C． D．2．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．3．（2022·上?！じ呖颊骖}）若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2025·上海·高考真題）設(shè)，則的最小值為．6．（2022·上?！じ呖颊骖}），，則的最小值是.

專題03不等式及其應(yīng)用、基本不等式（期末復(fù)習講義）核心考點復(fù)習目標考情規(guī)律3.1不等式的基本性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加/乘性）能依據(jù)性質(zhì)進行簡單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)。基礎(chǔ)題，乘負變號是必考點。3.2基本不等式的形式與推導(dǎo)能準確寫出基本不等式，理解其幾何意義。理解性考點，是應(yīng)用的基礎(chǔ)。3.3“一正二定三相等”的運用條件能準確判斷給定問題是否滿足基本不等式的使用條件。高頻易錯點，是解題的第一步，常被忽略。3.4直接利用基本不等式求最值能對符合“積定”或“和定”條件的表達式直接應(yīng)用公式求最值。最基礎(chǔ)的考查方式。3.5“配湊法”應(yīng)用基本不等式能通過拆項、添項、湊系數(shù)等技巧，將表達式轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式。期末解答題核心考法，是能力的區(qū)分點。3.6換元法（化繁為簡）當表達式復(fù)雜時，能通過代換簡化問題，轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式條件最值問題。3.7“1”的代換法（條件等式）當已知條件能巧妙地運用或變形“1”，可將目標式乘以“1”進行計算。高頻題型，技巧性強，是高分的關(guān)鍵。3.8分式型最值問題能處理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函數(shù)，通過分離常數(shù)、換元或基本不等式求最值。常見中檔題，分離常數(shù)是常用技巧。3.9二次使用基本不等式（連續(xù)放縮）能判斷在什么情況下需要兩次或多次使用基本不等式，并保證每次放縮的等號能同時成立。難度最高的題型之一，常用于證明或求復(fù)雜式子的最值，對邏輯嚴謹性要求高。3.10恒成立問題中求參數(shù)范圍（綜合應(yīng)用）對于恒成立的問題，能將其轉(zhuǎn)化為求目標式的最小值或最大值，從而確定參數(shù)a的范圍。期末壓軸題常見模式，綜合性強，易錯點在于混淆“≥最大值”與“≤最小值”的邏輯關(guān)系。3.11基本不等式在實際問題（如面積、成本最優(yōu)化）中的應(yīng)用能根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值。命題趨勢偏向應(yīng)用，考查數(shù)學建模能力知識點01等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么_____；性質(zhì)2如果，，那么____；性質(zhì)3如果，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，，那么____；知識點02比較兩個實數(shù)大小兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，有：；；另外，若，則有；；.知識點03不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容1對稱性a>b?b＜a2傳遞性a>b,b>c?a＞c3可加性a>b?a+c＞b+c推論1：a+b>c?a>c?b；推論2：a>b,c>d?a+c>b+d4可乘性a>b,c>0?ac＞bca>b,c<0?ac<bc；推論3：a>b>0,c>d>0?ac>bd；推論4：a>b>0?an＞bn（n∈N推論5：a>b>0?5取倒數(shù)a>b,ab>0?1a＜1知識點04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（當且僅當說明：①對于非負數(shù)a,b，我們把a+b2稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a,b的幾何平均數(shù)②我們把不等式ab≤a+b③“當且僅當a=b時取‘=’號”這句話的含義是：一方面是當a=b時，有ab=a+b2；另一方面當ab=④結(jié)構(gòu)特點：和式與積式的關(guān)系.知識點05利用基本不等式求最值①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值2P②已知x，y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值．S2知識點06幾個重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a變形式：ab≤a2+b22（（2）基本不等式：ab≤a+b2（a>0，b>0變形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，則ba+ab≥2知識點07基本不等式鏈拓展.m>n時，知識點08權(quán)方和不等式的二維形式若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)知識點09糖水不等式定理若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;知識點10糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確解｜題｜技｜巧直接法：依據(jù)不等式基本性質(zhì)（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性等），結(jié)合已知條件直接推導(dǎo)判斷。（2）特殊值法：選取滿足已知條件的特殊數(shù)值代入不等式，驗證是否成立。（3）作差（商）法：對不等式兩邊作差（商），結(jié)合已知條件判斷差（商）的正負，進而確定不等式是否成立（作商法需注意正負），部分復(fù)雜式子判斷可用此思路延伸。【典例1】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷ABC選項，利用作差法可判斷D選項.【詳解】因為，，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，在不等式的兩邊同時除以得，C錯；對于D選項，，故，D對.故選：D.【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多選）已知，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】舉反例可說明選項A、C錯誤；不等式等價變形，利用不等式的性質(zhì)可得選項B正確；利用作差法可得選項D正確.【詳解】對于A，當時滿足，但不成立，故A不正確；對于B，等價于，∵，∴，故，故B正確；對于C，當時滿足，但，故C不正確；對于D，，故D正確.故選：BD.【變式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷可得答案.【詳解】A.當時，，選項A錯誤.B.若，滿足，但，選項B錯誤.C.由得，由得，故，選項C正確.D.若，則，選項D錯誤.故選：C.【變式2】（24-25高一上·安徽安慶·期末）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用賦值法取可排除；利用不等式的性質(zhì)可判斷.【詳解】對于：取，則，，故錯誤；對于：因為，所以，故正確；對于：因為，所以，所以

故正確.故選：BD.題型二由不等式關(guān)系，求解不等式范圍解｜題｜技｜巧（1）直接運算：依據(jù)不等式基本性質(zhì)，對已知不等式變形求解即可．（2）線性組合：若求多個式子線性組合的范圍，先將目標式表示為已知范圍式子的線性組合，再利用不等式性質(zhì)，分別求各組合部分范圍后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解．【詳解】因為，又，，所以的取值范圍是．故選：C．【典例2】（24-25高一上·廣東汕尾·期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由題意得，進而求得即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，則，所以.故選：D.【變式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知實數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)得到，得到答案.【詳解】，又，故，即.故選：D【變式2】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】因為，，則，可得，由不等式的基本性質(zhì)可得.故選：A.【變式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多選）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)逐項求解判斷.【詳解】對于A，由，得，而，因此，A正確；對于B，由，得，而，則，B錯誤；對于C，由，，得，C正確；對于D，由，得，則，D正確.故選：ACD題型三作差法比較式子大小關(guān)系【典例1】）若，，則（用“”、“”或“”填空）．【答案】【分析】用作差法比較大小即可.【詳解】因為，所以.故答案為：【典例2】已知，且，則.（填中最恰當?shù)囊粋€）【答案】【分析】利用作差法，比較大小，即可得答案.【詳解】由，則，，故，故答案為：【變式1】已知，，設(shè)，，則與的大小關(guān)系為．【答案】【詳解】．因為，，所以，，，所以，所以．【變式2】（用不等號“”或“”填空）【答案】【分析】應(yīng)用作差法比較大小即可.【詳解】，所以.故答案為：題型四糖水不等式及其應(yīng)用【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意建立不等關(guān)系即可.【詳解】由題意可知糖水原濃度為，加糖之后的濃度為，則有.故選：C【變式1】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用條件及不等式的性質(zhì)逐項判斷即得.【詳解】對于A，由得，，故A正確；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由題得，故C錯誤；對于D，由糖水不等式得，所以，故D錯誤.故選：A.【變式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：．(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【詳解】（1），因為，所以，所以，即．（2）因為是三角形的三邊，所以，由（1）知，同理，所以，又，所以所以原不等式成立．題型五直接用基本不等式求和或積的最值解｜題｜技｜巧（1）定條件：確認“一正（各項為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號能取到，即存在實數(shù)使等號成立）”.（2）選公式：和定求積最大，用；積定求和最小，用.（3）代計算：代入定值，結(jié)合等號成立條件（驗證是否滿足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）已知實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．5【答案】B【分析】直接利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當，即，所以的最小值是.故選：B.【典例2】（24-25高一上·陜西漢中·期末）若，且，則（

）A．有最小值為 B．有最大值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意可得，當且僅當時取等號，解得.故選：D.【變式1】（24-25高一上·重慶·期末）已知都是正實數(shù)，若，則的最大值為.【答案】【分析】由基本不等式即可求解；【詳解】，可得：，當且僅當時，取等號，所以的最大值為，故答案為：【變式3】（24-25高一上·河北秦皇島·期末）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】原式可變?yōu)?，利用基本不等式求?【詳解】由，當且僅當時取等號，可得.可得的最小值為4，故選：A.【變式3】（24-25高一上·廣東東莞·期末）（多選）若a，，且，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為6 B．的最小值為6C．a(chǎn)b的最大值為9 D．a(chǎn)b的最小值為9【答案】BD【分析】正數(shù)a，b滿足，可得，解出即可得出ab的最小值，正數(shù)a，b滿足，可得，解出即可得出的最小值.【詳解】正數(shù)a，b滿足，，即，解得，即ab，當且僅當時取等號，，即ab的最小值為9，正數(shù)a，b滿足，，即，解得，當且僅當時取等號，，即的最小值為故選：BD.題型六巧用“1”或常數(shù)關(guān)系及拼湊法求最值（含權(quán)方和不等式的應(yīng)用）解｜題｜技｜巧（1）找“1”或常數(shù)：觀察條件，將已知等式變形出“1”或常數(shù)，用于構(gòu)造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼湊：用變形出的“1”或常數(shù)，將目標式與含“1”或常數(shù)的式子相乘展開，湊出能用基本不等式求解的式子。（3）驗證等號：展開后用基本不等式求最值，同時驗證等號成立條件，確保最值有效?！镜淅?】（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法計算即可求解.【詳解】由題意知，，，當且僅當即時，等號成立，所以.故選：A【典例2】（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則為奇函數(shù)且是增函數(shù)，由可得，即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)，定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故為奇函數(shù)；則，，故；因為為增函數(shù)，故，即，，故與同號，顯然它們都是正數(shù)；當且僅當，即時等號成立；故選：D.【變式1】（24-25高一上·山西·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求的最小值.【詳解】由題意得，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為6.故選：C.【變式2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知，則的最小值為.【答案】/4.5【分析】根據(jù)“1”的變形技巧，利用基本不等式得解.【詳解】由可得，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：【變式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多選）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AD【分析】利用基本不等式即可判斷選項ACD；對于選項B有，所以，將式子化為一元二次函數(shù)即可求得最值.【詳解】對于選項A：，故A正確.對于選項B：因為，所以，所以，又因為，，故，解得：，故當時，式子取最小值2.故B錯誤.對于選項C：，當且僅當，即時等號成立，又，，所以等號取不到，故選項C錯誤.對于選項D：，故選項D正確.故選：AD題型七二次與二次（一次）的商式求最值【典例1】已知，則的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化簡變形利用基本不等式計算即可．【詳解】易知．因為，所以，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，故，則的最大值是．故選：A【典例2】設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對變形后，利用基本不等式求解.【詳解】，則，，當且僅當時，等號成立，則.故選：D.【變式1】（24-25高一上·廣東江門·期末）若，則的最小值是.【答案】/【分析】依題意利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，故答案為：【變式2】若，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當時，，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為4.故答案為：4題型八換元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【答案】【詳解】設(shè)，則，因此因，當且僅當，即時取等號，所以.故的最大值為.【典例2】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【詳解】正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8?n4n當且僅當8mn=nm，即故a+b+2cb+c故選：D【變式1】已知正實數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【答案】3+2【詳解】設(shè)x+3y=mx?y=n，則2x+2y=m+n≤42當且僅當n2m=m4n且m+n=4，即故答案為：3+2【變式2】已知，，，則的最大值為．【答案】/【詳解】令，，則，，，，，所以，所以，當且僅當，，即，時等號成立．故答案為：【變式3】若對恒有，則的取值范圍是【答案】【分析】問題化為恒成立，討論的符號確定代數(shù)式的范圍，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由，令，則，當時，，當且僅當，即時取等號，若時，，則，此時代數(shù)式的范圍為，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，若時，，則，此時代數(shù)式的范圍為，綜上，，所以對恒有，只需，即.故答案為：題型九兩次應(yīng)用基本不等式求最值【典例1】對任意的正實數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，則8ab2+a【答案】16【詳解】任意的正實數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，8a=a?由于b,c為正實數(shù)，故由基本不等式得9bc當且僅當9bc=c所以a?≥28當且僅當8a+1=16綜上，8ab2+a故答案為：16【點睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時，常常需要變形，比如湊項法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等【變式1】已知實數(shù)m，n滿足m>2n>0，則m2+2【答案】8【詳解】因為m>2n>0，所以m?2n>0，n∴m=≥4n≥2當且僅當8nm?2n=2所以m2故答案為：8.【變式2】已知正數(shù)a，b滿足，，則的最小值為.【答案】【分析】由，，平方得到，代入目標式化簡變形通過兩次運用基本不等式計算即可求出最小值．【詳解】解：由，得，因為，，所以，當且僅當，即時取“等號”，所以當，，時，的最小值為故答案為：題型十條件等式變形求最值【典例1】（多選）已知兩個實數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【分析】利用重要不等式逐項判斷即可.【詳解】因為兩個實數(shù)、滿足，由重要不等式可得，故，當且僅當時，即當或時，等號成立，B對；另一方面，可得，當且僅當時，即當或時，等號成立，A對；對于CD選項，由題意可得，由重要不等式可得，可得，當且僅當時，即當或時，等號成立，D對；因為，故，所以，即，當且僅當時，即當或時，等號成立，又，C對.故選：ABCD.【典例2】（24-25高一上·重慶·期末）（多選）已知且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先化簡式子得到，應(yīng)用基本不等式的乘“1”法可判斷BD，A直接應(yīng)用基本不等式即可判斷，C轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意:，，，又，，，對A，，則，當且僅當且，即時等號成立，A正確；對B，，當且僅當且，即時等號成立，B錯誤；對C，由，又，故，所以，當且僅當時等號成立，C正確；對D，，當且僅當且，即時等號成立，D正確.故選：ACD.【變式1】（多選）已知，則下列正確的是（）A．B．的最小值為2C．的最小值為D．的最小值為【答案】ACD【分析】將已知式化成，再根據(jù)各選項的待求式，利用基本不等式，通過消元變形即可逐一求出最值判斷選項.【詳解】依題意，由，可得對于A，由，故A正確；對于B，由，結(jié)合A項，因，當且僅當時等號成立，由可得，即當時，的最小值為，故B錯誤；對于C，由A項，當且僅當，即時，等號成立，故C正確；對于D，因，則，由C項已得當時，取得最小值，故此時取得最小值為，故D正確．故選：ACD【變式2】已知且，則的最大值為，最小值為．【答案】/0.4【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，將化為，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】由,可得，當且僅當，即時取到等號,即的最大值為；，可得，當且僅當，即或時取到等號，即的最小值為；故答案為：；題型十一利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍【典例1】（24-25高一上·山東聊城·期末）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用恒成立等價條件轉(zhuǎn)化，再利用不等式即可求得結(jié)果【詳解】因為，所以恒成立等價于恒成立，又，當且僅當時取等號，故.故選：A【典例2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因為，，且，則，則，所以，當且僅當時，即當，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【變式1】已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】不等式恒成立，等價于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解關(guān)于的不等式即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，不等式恒成立，等價于的最小值大于，所以，解得，故選：B【變式2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為，且，若恒成立，則，又，當且僅當，即，時，等號成立，，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式3】已知，且，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】恒成立問題先轉(zhuǎn)化為的最值問題，由條件等式利用常數(shù)的代換將式子轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求出最值，最后求解關(guān)于的不等式可得.【詳解】已知，則，因為，當且僅當時等號成立，由，解得．故的最小值為4．因為恒成立，所以，即，解得，即．故選：D題型十二基本不等式的應(yīng)用【典例1】如圖所示，某小區(qū)要建造一個一面靠墻的無蓋長方體垃圾池，垃圾池的容積為50m3，為了合理利用地形，要求垃圾池靠墻一面的長為5m，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為180元（不計靠墻一面的造價），設(shè)垃圾池的高為，墻高5m.當垃圾池的總造價最低時，垃圾池的高應(yīng)為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】利用長方體垃圾池的容積及長與高表示寬，再求各面面積，得出總造價，利用基本不等式求最值.【詳解】由題意，無蓋長方體垃圾池的容積為，長為5m，高為，寬，，則總造價，當且僅當，即時取等號，且，所以當垃圾池的高為時，垃圾池總造價最低.故選：C.【典例2】“谷子”經(jīng)濟發(fā)展越來越快，某公司要生產(chǎn)1000個玩偶，已知該公司每小時生產(chǎn)玩偶數(shù)量固定，且每小時的生產(chǎn)成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與生產(chǎn)速度x（個∕時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元，為使全程生產(chǎn)成本最低，該公司的生產(chǎn)速度是個∕時．【答案】60【分析】列出全程生產(chǎn)成本的表達式并結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】生產(chǎn)速度為x（個∕時）（），生產(chǎn)時間為小時，則全程生產(chǎn)成本，，當時，即等號成立，綜上，當該公司全程生產(chǎn)成本最低時，生產(chǎn)速度為60個/時．故答案為：60．【典例3】如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園.設(shè)菜園的長為米，寬為米.(1)若菜園面積為49平方米，則，為何值時，所用籬笆總長最?。孔钚≈禐槎嗌?？(2)若使用的籬笆總長為40米，當，為多少時，有最小值？并求出最小值.【答案】(1)為，為時，所用籬笆總長最小，最小值為(2)當時有最小值，最小值是【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）由題意可知，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】（1）由題意得，所用籬笆總長為.因為，當且僅當時，即，時等號成立，所以菜園的長為，寬為時，所用籬笆總長最小，最小值為；（2）由題意得，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，有最小值，最小值是.答（1）菜園的長為，寬為時，所用籬笆總長最小，最小值為，（2）當時，有最小值，最小值是.【變式1】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列出利潤函數(shù)，利用換元法化簡函數(shù)表達式，再利用基本不等式求出利潤的最小值．【詳解】設(shè)該超市每月銷售該商品所獲得利潤為，每件利潤為元，每月的銷售量為件，，令，則，，當且僅當，即時取等號，該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為元．故選：B．【變式2】某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層的厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，則的最小值是萬元．【答案】【分析】由題可得，然后由基本不等式可得答案.【詳解】因為不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元，則，又由題可得.當且僅當，即時取等號.故答案為：【變式3】2025年上海奇跡花園國際藝術(shù)花展于9月20日正式啟幕，本次花展首次實現(xiàn)沉浸IP展、花卉景觀、跨界藝術(shù)、光影夜花園四展合一，為市民游客打造一個可游、可賞、可感的秋季治愈系童話世界.某公園受此啟發(fā)打算設(shè)計一個八邊形活動區(qū)域，該區(qū)域的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的十字形區(qū)域，十字形的面積為.計劃在正方形上建一座花壇，造價為2100元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪地磚，造價為105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為40元.設(shè)長為，總造價為元，求：(1)設(shè)長為，用表示，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計可使總造價最低，并求出最低造價.【答案】(1)，(2)當?shù)拈L為m時，總造價最低，為59000元【分析】（1）根據(jù)題中條件，結(jié)合十字形區(qū)域面積為，可得，整理可得解析式，根據(jù)，，可求得x的范圍，即可得答案.（2）分別求出各個區(qū)域的面積及造價，可得總造價的表達式，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）因為十字形區(qū)域面積為，所以，解得，因為，所以，因為，所以，所以，.（2）四個矩形地磚面積，造價；四個三角形草坪面積；造價；正方形花壇面積，造價；總造價，化簡得，因為，當且僅當（在范圍中）時取等號，此時元．綜上，當?shù)拈L為時，總造價最低，為59000元．【變式4】某學校為了更好地美化校園，計劃修建一個如圖所示的總面積為的花園．圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（圖中區(qū)域的形狀、大小完全相同）．設(shè)矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為．

(1)用含有的代數(shù)式表示；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使鮮花種植的總面積最大？最大面積為多少？【答案】(1)，(2)當時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.【分析】（1）設(shè)矩形花園的長為，結(jié)合，進而求得關(guān)于的關(guān)系式；（2）由（1）知，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)矩形花園的長為，因為矩形花園的總面積為，所以，可得，又，則，又因為陰影部分是寬度為1m的小路，可得，可得，即關(guān)于的關(guān)系式為.（2）由（1）知，，，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以當時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·廣東惠州·期末）若，則有（

）A．最小值3 B．最小值6C．最大值6 D．最大值3【答案】B【分析】由基本不等式求解．【詳解】因為，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立.所以，當時，則有最小值6，故選：B.2．（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法計算即可求解.【詳解】由題意知，，，當且僅當即時，等號成立，所以.故選：A3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一個直角三角形的斜邊長為8，則其面積的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積公式，利用重要不等式，可得答案.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為，則，直角三角形的面積為，當且僅當時取等號.故選：C.4．（24-25高一上·北京密云·期末）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A和D，利用作差法排除；對于B，利用不等式性質(zhì)推理排除；對于C，利用基本不等式可推理得到.【詳解】對于A，由，因，故得，即A錯誤；對于B，由兩邊同除以，可得，故B錯誤；對于C，因，則，當且僅當時取等號，因，故得，即C正確；對于D，由，因，故得，故D錯誤.故選：C.5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，則的最小值為（

）A．25 B．6 C．10 D．5【答案】D【分析】利用常值代換法和基本不等式即可求其最小值.【詳解】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最小值為5．故選：D6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為2元，為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（

）A．12件 B．24件 C．36件 D．40件【答案】D【分析】平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為，則，利用基本不等式，即可求得和此時的值.【詳解】設(shè)平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為，則，當且僅當時，等號成立，即當每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品40件時，平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，為40元.故選：D.7．（24-25高一上·廣東清遠·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．22 D．26【答案】C【分析】變形得到，，由基本不等式求出最小值.【詳解】因為，所以，因為，當且僅當，即時等號成立，此時的最小值為22．故選：C8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式進行求解即可.【詳解】都為正數(shù)，，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：二、多選題9．（24-25高一下·貴州六盤水·期末）下列選項為真命題的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】BCD【分析】對A，舉反例說明；對B，利用作差比較法和不等式性質(zhì)求解判斷；對C，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷；對D，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷.【詳解】對于A，取，滿足，但，故A錯誤；對于B，若，則，所以，即，又，故，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以，又，則，故D正確.故選：BCD.10．（24-25高一下·湖南婁底·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用作差法可判斷AD選項，利用基本不等式可判斷BC選項.【詳解】對于A選項，對任意的、，，即，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，當，時，由A選項可知，則，故，當且僅當時，等號成立，故，B對；對于C選項，當時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，C錯；對于D選項，因為，，則，故，D對.故選：ABD.期末重難突破練（測試時間：40分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】D【分析】由基本不等式求最小值．【詳解】因為所以，當且僅當即時等號成立，故選：D．2．（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，又，所以，所以，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以，，所以，當且僅當，即，等號成立，所以的最小值為.故選：B.3．（24-25高一上·重慶黔江·期末）已知實數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】將變形后，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知實數(shù)，，故，當且僅當時等號成立，故的最大值為4，故選：B4．（24-25高一上·山東淄博·期末）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】先將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，求出最小值，解不等式即可得到答案.【詳解】不等式恒成立，等價于，又，故恒成立，所以，又，故，即，解得或故選：B5．（24-25高一上·遼寧大連·期末）已知正實數(shù)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，令，則，又，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為，當且僅當時取等號，所以的取值范圍是.故選：C二、多選題6．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知x，y，z為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及“1”的妙用逐項判斷即可.【詳解】對于A，由，得，當且僅當時取等號，A錯誤；對于B，由，得，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，得，當且僅當，即時陬等號，C正確；對于D，由，得，則，當且僅當，即取等號，而，因此，D正確.故選：BCD7．（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B