5/5專題04冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)【清單01】指數(shù)及指數(shù)運算(1)、正整數(shù)指數(shù)冪；(2)、零指數(shù)冪；(3)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；(4)、的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)、，，；(6)、(6)、，，；(7)、，，；(8)、，，．(9)、【清單02】指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)在定義域上是單調(diào)⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【清單03】對數(shù)與對數(shù)運算(1)、常用對數(shù)：以為底，記為；自然對數(shù)：以為底，記為；(2)、；；其中且；(3)、(其中且，)；(4)、對數(shù)換底公式：；變形；(5)、；(6)、；(7)、，；(8)、和；【清單04】對數(shù)函數(shù)(1)、對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上在上是當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)常用技巧：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而．(見下圖)【清單05】冪函數(shù)常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性公共點冪函數(shù)常用技巧：冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．【題型一】指數(shù)、對數(shù)、冪化簡及求值【例1】．（25-26高一上·北京順義·期中）化簡下列各式，并求值．(1)(2)【變式1-1】．（25-26高一上·寧夏銀川·期中）計算：(1)；(2)．

【變式1-2】．（25-26高一上·浙江嘉興·期中）計算下列各式：(1)；(2)已知，求的值.【題型二】函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例2】．（25-26高一上·重慶·期中）如圖是指數(shù)函數(shù)的部分圖象，已知取這四個值，則曲線相對應(yīng)的依次為（）A． B．C． D．【變式2-1】．（25-26高三上·湖南長沙·月考）函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（

）A． B．C． D．【變式2-2】．（2025高一上·重慶永川·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【題型三】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)【例3】．（25-26高一上·天津濱海新·期中）已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-1】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)的定義域是A，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．0 D．8

【變式3-2】．（25-26高一上·湖南·期中）已知命題，，命題，．(1)若為假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍．【題型四】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)【例4】．（25-26高三上·寧夏中衛(wèi)·月考）設(shè)函數(shù)，且對于任意的，有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-1】．（25-26高一上·黑龍江哈爾濱·月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】．（25-26高三上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在[0,2]上的最大值.

【題型五】冪函數(shù)型復(fù)合函數(shù)【例5】．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．3【變式5-1】．（25-26高一上·山東濟寧·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列說法中正確的是（）A．的定義域為 B．的值域為C．為奇函數(shù) D．為減函數(shù)【題型六】指對冪比較大小【例6】．（25-26高一上·湖南長沙·期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式6-1】．（25-26高三上·江西贛州·期中）若，，，則，，之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式6-2】．（25-26高一上·山東棗莊·期中）若，記，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．

【題型七】利用函數(shù)的基本性質(zhì)求參數(shù)及參數(shù)范圍【例7】．（24-25高二下·廣西南寧·期末）已知定義在上的偶函數(shù)，對有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式7-1】．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．【變式7-2】．（23-24高三上·山東日照·開學(xué)考試）若是奇函數(shù)，則.【題型八】函數(shù)的實際應(yīng)用【例8】．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（

）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【變式8-1】．（2019·北京·高考真題）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【變式8-2】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)間的關(guān)系為已知五分記錄法的評判范圍為，設(shè)，五分記錄法中，最大值對應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，最小值對應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【題型九】綜合性質(zhì)【例9】．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【變式9-1】．（20-21高一上·全國·單元測試）設(shè)函數(shù)，且，．（1）當(dāng)時，求的最大值．（2）為何值時，函數(shù)的圖象與的圖象恒有兩個交點．

【變式9-2】．已知函數(shù)的定義域為D．若對于任意，且，都有，則稱函數(shù)為“凸函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)①，②與③是“凸函數(shù)”的序號是（只需寫出結(jié)論）；（2）若函數(shù)（a，b為常數(shù)）是“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（3）寫出一個定義在上的“凸函數(shù)”，滿足．（只需寫出結(jié)論）．

【題型一】容易記混指對冪的運算公式【例1】．（25-26高一上·山東·期中）（多選題）下列命題中正確的是（

）A．B．的值為C．若，則的值為D．若且，則【變式1-1】．（24-25高一下·河北保定·月考