第三章指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)運(yùn)算指數(shù)函數(shù)的圖像指數(shù)比較大小指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用一．指數(shù)運(yùn)算（共7小題）1.下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.化簡(jiǎn)求值:(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）=3．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)【詳解】（1）由題意，所以.（2）由題意，所以.4．計(jì)算．(1)；(2)．【答案】(1)3(2)2【詳解】（1）=；（2）.5．計(jì)算：.【答案】【詳解】原式.6．回答下面兩題：(1)計(jì)算：(2)計(jì)算：已知，則=【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式；（2），所以.7．（1）計(jì)算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）-1；（2）①，②.【詳解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由題意知，所以.二．指數(shù)函數(shù)的圖像（共8小題）8.函數(shù)（，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（，且），當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)榈膱D象在的基礎(chǔ)上向下平移超過(guò)1個(gè)單位長(zhǎng)度，故D錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)，又的圖象在的基礎(chǔ)上向下平移了不到1個(gè)單位長(zhǎng)度，故A，B錯(cuò)誤.故選：C.9．函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【詳解】易知，顯然函數(shù)上的點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，可知函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.故選：B10．已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)，且），若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由圖可得，則有，且該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).故選：A.11．若函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為遞減函數(shù)，因?yàn)閳D象不經(jīng)過(guò)第一象限，所以當(dāng)時(shí)，，解得，故選：A.12．函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)（且）令，即，可得，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)．故選：A．13．已知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn).若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，,則設(shè)，則，解得，則，故選：A.14．（多選）若函數(shù)的圖象過(guò)第一，三，四象限，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題意可知：函數(shù)大致圖象如下圖所示，若，則的圖象必過(guò)第二象限，不符合題意，所以．當(dāng)時(shí)，要使的圖象過(guò)第一、三、四象限，，解得．故選：BC．15．如圖，曲線①②③④中有3條分別是函數(shù)，，的圖象，其中曲線①與④關(guān)于軸對(duì)稱，曲線②與③關(guān)于軸對(duì)稱，則的圖象是曲線．（填曲線序號(hào)）【答案】②【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)和的圖象分別是曲線③④中的一條，當(dāng)時(shí)，，所以曲線③是函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以的圖象是曲線②.故答案為：②.三．指數(shù)比較大小（共3小題）16.已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于，，故，又，故，故選：B17．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若，且，由函數(shù)在上為減函數(shù)，，則，又函數(shù)在上為減函數(shù)，則，又函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，則，因此可得.故選：C.18.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，結(jié)合對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，知，所以.故選：A四．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（共8小題）19．“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有，即，即，即，故有，解得，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.20．函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由是奇函數(shù)，得①，由是偶函數(shù)，得②聯(lián)立①②得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值是，故選：B．21．已知函數(shù)且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．若，則C．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)D．若，則【答案】C【詳解】函數(shù)且為指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；若，則在R上單調(diào)遞增，所以，則，故B錯(cuò)誤；指數(shù)函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)0,1，故C正確；若，則在R上單調(diào)遞減，則由，得，故D錯(cuò)誤；故選：C.22．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以f?x=?f故，所以.故選：B23.已知函數(shù)的表達(dá)式為，則滿足的實(shí)數(shù)m的最大值為．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，有，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故對(duì)有，即，即有，解得，故m的最大值為.故答案為：.24.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，，，則，解得.故答案為：025．已知指數(shù)函數(shù)（，且）的圖像過(guò)點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由指數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，可得，解得.所以.（2）由，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以有，解得.26．已知，且，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且．(1)求和的值；(2)求的解集．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，又，故解得，則，又，則（負(fù)值舍去）．（2），它是定義在R上的減函數(shù)，不等式化為，所以，解得．所以不等式的解集為．五．指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用（共8小題）27．（多選）己知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù).又因?yàn)楹驮谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù).對(duì)選項(xiàng)A，B，因?yàn)?，所以，所以，即，故A正確，B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，D，，且為奇函數(shù)，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC28．（多選）對(duì)于函數(shù)，則（

）A．與具有相同的最小值B．與在上具有相同的單調(diào)性C．與都是軸對(duì)稱圖形D．與在上具有相反的單調(diào)性【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖像如圖所示，由圖可知與的最小值都為1，A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上不單調(diào)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，C項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，與在上均單調(diào)遞減，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC29．（多選）已知函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．的取值范圍為【答案】CD【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，

由，得不出，故A錯(cuò)誤，令，此時(shí)，但是，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，所以C正確.因?yàn)椋?，故，令，由指?shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，故D正確.故選：CD30．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，又為減函數(shù)，根據(jù)“同增異減”法則：的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）恒成立，，即恒成立，，解得：.31．已知函數(shù).(1)判斷奇偶性并證明；(2)利用定義證明在R上單調(diào)遞增；(3)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：定義域?yàn)镽，又，所以為奇函數(shù)；（2）證明：由（1）知，，任取，且，則因?yàn)?，則所以，即，所以在R上單調(diào)遞增.（3）為奇函數(shù)，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，由題意，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則只需，令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以k的取值范圍為32．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值域.(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為局部對(duì)稱函數(shù)，其中為的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn).若是的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，，所以的值域?yàn)?；?）令，，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以要使在上單調(diào)遞增，只需在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，的圖象開(kāi)口向下，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，則需，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由是的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)，可得，，代入整理得，①令，則，，代入①式得，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.33.已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)、的值及的值域；(2)解不等式；(3)若對(duì)任意恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，值域?yàn)?2)或x>1(3)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)可得所以，解得或．又，所以，所以，．所以，因?yàn)?，則，所以，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?（2）由（1）得，任取、，且，則，則，所以，即函數(shù)為上的減函數(shù)，由題意知：在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集為或.（3）由上可知：在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，由，即，即，即，化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，令，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以．34．已知函數(shù)（a>0且）是定義在R上的奇函數(shù).(1)求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)a=2(2)【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，令x=0得,解得a=2.（2），不等式，即為，可化為，設(shè)，因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即為當(dāng)時(shí),恒成立，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象開(kāi)口向上,若在上恒成立，則，即解得.35．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)判斷的單調(diào)性并給出證明；(3)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)在上是減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，將代入，整理得，?dāng)時(shí)，有，即恒成立，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.（2）由（1）知：函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù).設(shè)任意，且，則由，可得，又，則，則，則函數(shù)在上是減函數(shù).（3）因?yàn)榇嬖冢钩闪?，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，由題意可知：?jiǎn)栴}等價(jià)轉(zhuǎn)化為，易知當(dāng)，，所以.36．已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷并用定義證明在定義域上的單調(diào)性；(3)若，不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，即，解得，時(shí)，，滿足是上奇函數(shù)；故（2），則在上單調(diào)遞減．證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)槭巧掀婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，因?yàn)闉樯蠁握{(diào)遞減；則，對(duì)成立，即成立，故，故37．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求的解析式并用定義證明的單調(diào)性；(2)使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，則，且，所以為定義在上的奇函數(shù)，故，即.是上的增函數(shù)，證明如下：任取，且，則，所以，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，不等式即，故，則令，因?yàn)?，所以，由題意可知，，因?yàn)楹瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故，所以，即實(shí)