第十一章

三角形11.2

與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角第2課時(shí)

直角三角形的性質(zhì)和判定

1.了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.2.掌握直角三角形的判定.3.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1.掌握直角三角形的判定.

2.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶.你知道其中的道理嗎？?jī)?nèi)角三兄弟之爭(zhēng)在這個(gè)家里，我是永遠(yuǎn)的老大.

老大的度數(shù)為90°，老二若是比老大的度數(shù)大，那么老二的度數(shù)要大于90°，而三角形的內(nèi)角和為180°，相互矛盾，因而是不可能的.如下圖所示是我們常用的三角板，兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的兩個(gè)銳角互余知識(shí)點(diǎn)1問題1：學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因?yàn)?/p>

∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？問題2：ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．(直角三角形的性質(zhì)定理）應(yīng)用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．歸納總結(jié)例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？圖利用直角三角形的性質(zhì)證明角相等或求角的度數(shù)素養(yǎng)考點(diǎn)1方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.圖解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.圖與圖有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°

D如圖，AB∥CD，EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EP⊥EF，與∠EFD的平分線FP相交于點(diǎn)P，且∠BEP＝50°，則∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A例2如圖，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，

∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，∠DCB＝45°.求∠ABE的度數(shù)．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.【思考】通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D歸納總結(jié)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形知識(shí)點(diǎn)2ABC學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】

在△ABC中，

因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.ABCABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）歸納總結(jié)例1如圖，∠C=90°，

∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.利用直角三角形的判定定理識(shí)別直角三角形素養(yǎng)考點(diǎn)2已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為(

)A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.試判斷△ABD的形狀．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．1.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CBD3.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，與∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC4.將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD＝20°，則∠BOC的大小為（）A．140°B．160°C．170°D．150°B5.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．求證：△ACD是直角三角形．證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形學(xué)前溫故新課早知1.平角的度數(shù)是

.

2.兩條平行線被第三條直線所截,則

相等;內(nèi)錯(cuò)角

;同旁內(nèi)角

.

180°同位角

相等

互補(bǔ)

學(xué)前溫故新課早知1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于

.如圖,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=

.

2.在△ABC中,∠A=55°,∠B=25°,則∠C的度數(shù)是

.

3.直角三角形的兩個(gè)銳角

.

180°180°100°互余

4.有兩個(gè)角

的三角形是直角三角形.

互余

三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用【例題】

如圖,在△ABC中,AE是邊BC上的高,AD是角平分線,∠B=42°,∠C=68°,分別求∠BAC,∠DAE的度數(shù).分析:從已知條件入手,首先對(duì)△ABC應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù),然后根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠DAC的度數(shù);在Rt△AEC中,由∠EAC與∠C互余,求出∠EAC的度數(shù),最后根據(jù)∠DAE=∠DAC-∠EAC求出∠DAE的度數(shù).解:∵∠B=42°,∠C=68°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.∵AD是△ABC的角平分線,∴∠DAC=∠BAC=35°.∵AE是高,∠C=68°,∴∠EAC=90°-∠C=22°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.12345671.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,則∠C的大小是(

).A.40° B.75° C.35° D.105°答案解析解析關(guān)閉∵∠A=70°,∠B=35°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-35°=75°.答案解析關(guān)閉B12345672.如圖,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,則∠AED的度數(shù)是(

)

A.50° B.60°C.70° D.80°答案解析解析關(guān)閉∵∠A=60°,∠B=40°,∴∠C=180°-∠A-∠B=80°.又DE∥BC,∴∠AED=∠C=80°.答案解析關(guān)閉D1234567A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉12345674.一塊三角形木板的殘余部分如圖所示,量得(陰影部分)∠A=100°,∠B=40°,則這塊三角形木板的另外一個(gè)角的大小是

.

答案答案關(guān)閉40°12345675.在△ABC中,若∠A=